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Actualizado: hace 6 horas 10 mins

No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria

Lun, 04/18/2016 - 06:30

“Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente”. Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué.

Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar. Lo que sigue se refiere a experimentos aleatorios independientes (es decir, su resultado en un momento dado no influye en el resultado del mismo experimento en otro momento, como puede pasar al lanzar un dado o una moneda) con un número finito de resultados en el que conocemos la probabilidad de cada uno de ellos.

Vamos al tema. Esta entrada me vino a la mente después de ver un tuit del famoso tuitero deportivo @2010MisterChip. Otro tuitero, @ScottiePeppino, le comentaba lo siguiente a raíz de una apuesta que el primero había realizado:

@2010MisterChip hombre, siendo un hombre de estadísticas como eres, apostar por el equipo que lleva sin ganar en ese estadio 30 partidos…

— Scottie Peppino (@ScottiePeppino) 11 de abril de 2016

A lo que MisterChip contestaba lo siguiente

Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente. Estadística pura y dura 😉 https://t.co/ylyJpoVa6g

— MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si accedéis al mismo podéis ver mi respuesta

@2010MisterChip Esto…Hablando de azar (si citas "estadística" supongo que te refieres a eso), lo que has dicho no es para nada correcto

— gaussianos (@gaussianos) 11 de abril de 2016

y algunas más de otros tuiteros. Todos intentábamos hacerle ver que había caído en una famosa falacia estadística, pero, hasta el día de hoy, la única respuesta que he visto de MisterChip es la siguiente (si hay alguna más decídmelo):

Cambia "jugador" por "mal jugador" y estaremos de acuerdo. https://t.co/03oXVSLo9H

— MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si analizamos el tema de manera probabilística (entiendo que ésa era la intención de MisterChip al hablar de “estadística”), el asunto es como sigue: estamos ante un experimento aleatorio con dos posibles resultados (victoria de equipo de casa o victoria del equipo visitante, no consideramos el empate) en el que tenemos la probabilidad de cada uno de ellos (se podría hablar de cómo se determinan dichas probabilidades, pero eso es otro tema). Además, dichos resultados son independientes.

Si realizamos el experimento, podemos obtener cualquiera de los dos resultados. Imaginemos que gana el equipo de casa. Si volvemos a realizar el experimento, la pregunta es la siguiente: ¿ha aumentado la probabilidad de que gane el equipo visitante? La respuesta es NO. Para hacer un análisis probabilístico correcto, en este caso tenemos que considerar que el resultado obtenido en un enfrentamiento no influye en lo que pasará en el enfrentamiento siguiente (los resultados son independientes).

La creencia de que muchos resultados “hacia un lado” aumentan la probabilidad de que en la siguiente ocasión la cosa irá “hacia el otro lado” o, más en general, que los resultados obtenidos influyen en los siguientes (vamos, que el juego “tiene memoria”) se denomina falacia del jugador. Uno de los ejemplos más conocidos de esta falacia es el caso que se dio el 18 de agosto de 1913 en una de las ruletas del casino de Monte Carlo. En aquella ocasión, la bolita cayó la friolera de ¡¡26 veces seguidas!! en el negro. Lo que ocurrió es que, a medida que iban saliendo “negros”, los jugadores iban apostando cada vez más al “rojo”, porque entendían que con tantas apariciones del negro era mucho más probable que en la siguiente tirada saliera rojo. Y no, esto no es así: la probabilidad de rojo no aumentaba en este caso. Tomando la ruleta como un juego de probabilidades, y dando un 0.5 al rojo y un 0.5 al negro (esto no exacto, pero para el caso en el que estamos nos vale), esas probabilidades se mantienen en cada tirada independientemente de lo que saliera en tiradas anteriores (la ruleta “no tiene memoria”). ¿Qué ocurrió? Pues no es difícil imaginarlo: el casino ganó muchísimo dinero en ese rato.

¿Por qué entonces pensamos de esta errónea manera (y, si somos jugadores, tan perjudicial para nuestro bolsillo)? Pues porque tendemos a pensar que si los resultados anteriores se desvían sustancialmente de lo que marcan las probabilidades, dicha desviación se corregirá pronto para dejarlo todo “como debe ser” (en este caso, mismo número de rojos que de negros). Eso es, a todas luces, falso. Y de este error por nuestra parte se aprovechan a veces los organizadores de este tipo de juegos, dándonos, por ejemplo, los números calientes y los números fríos (intentando así influir en nuestra percepción sobre las probabilidades de cada número en la siguiente tirada). De hecho, en juegos tipo la ruleta, en una situación como ésta de tantos “negros” seguidos podría ser más razonable pensar que dicha ruleta está “trucada” (premeditadamente o no, eso no es importante) para que salgan más “negros” que “rojos”, por lo que quizás tendría más sentido volver a apostar al “negro” en la tirada siguiente (esta forma de razonar se conoce como principio de Hume).

Y un último detalle. Es también interesante distinguir entre “número de veces que se ha producido cada resultado” y “probabilidad de cada resultado”. Que las probabilidades sean iguales no significa, ni mucho menos, que conforme aumentamos el número de realizaciones del experimento las veces en las que sale cada resultado tiendan a igualarse. Voy a poner un ejemplo para intentar explicar qué quiero decir:

Imaginemos que tiramos una moneda 100 veces y salen 40 caras y 60 cruces. En este caso, llevaríamos un 40% de caras y un 60% de cruces. Imaginemos que seguimos tirando la monda y llegamos a 1000 tiradas, obteniendo 460 caras y 540 cruces. Las probabilidades se van acercando, 0.46 para “cara” y 0.54 para “cruz”, pero la distancia entre el número de veces de cada una es mayor (antes era 20 y ahora es 80).

Recordad: la probabilidades en estos casos se calculan dividiendo casos favorables entre casos posibles. Por ello, aunque las probabilidades se vayan igualando, la diferencia de las veces que sale cada uno de los resultados puede ser cada vez mayor.

Se ha escrito mucho sobre la falacia del jugador, y en internet podéis encontrar gran cantidad de artículos sobre el tema. Os dejo éste del maestro Adrián Paenza: La falacia del jugador.

Sobre la manera de determinar las probabilidades de cada uno de los resultados quería hacer un comentario. ¿Tiene sentido tomar los resultados anteriores entre ambos equipos para determinar dicha probabilidad? Si la respuesta es afirmativa, el hecho de que un equipo haya perdido los últimos enfrentamientos directos debería entonces, bajo mi punto de vista, hacer que la probabilidad de victoria del “perdedor habitual” baje respecto a estimaciones anteriores, pero nunca que suba. Y si no lo veis, ahí va un ejemplo:

Imaginemos que el Granada ha perdido 20 veces seguidas en el Bernabéu, y que “su” probabilidad de victoria era de 0.1. ¿Significa eso que si vuelven a jugar ahora en el Bernabéu tienen una probabilidad mayor de ganar?

Pues yo creo que no. A ver qué pensáis vosotros.

Y sobre el hecho de que los resultados anteriores puedan influir en la mente de los jugadores del equipo “perdedor habitual”, cabrían las dos posibilidades. Podría ser de manera positiva (más ganas de romper la mala racha) o de manera negativa (como llevan muchos años perdiendo no se ven con capacidad de ganar). Pero eso significaría que introducimos efectos externos en el análisis (podrían añadirse más: la buena o mala temporada que está haciendo cada uno, la moral que se tiene en esa época, si se juegan algo importante en ese momento o no…), efectos que no tienen que ver con la probabilidad. Por ello no cabría hablar de estadística en este caso.

Este artículo participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Pimedios.es.

La sucesión de Golomb y una aparición “dorada”

Mar, 03/29/2016 - 06:00

El mundo de las matemáticas es apasionante por muchas razones, y una de las principales (bajo mi punto de vista) es la aparición de objetos matemáticos conocidos en los lugares más insospechados. Eso es lo que ocurre en la conocida como sucesión de Golomb, de la cual vamos a hablar en esta entrada.

La sucesión de Golomb (que también se conoce como sucesión de Silverman), es una sucesión no decreciente de enteros positivos en la que cada término a_n indica el número de veces que aparece el número n en dicha sucesión. Comienza con a_1=1, y el resto de valores a_k corresponden al entero positivo que haga que se satisfaga la condición anterior.

Su nombre se debe a Solomon Golomb, un matemático, ingeniero y profesor estadounidense nacido en 1932.

Solomon Golomb

Además de dar nombre a esta sucesión, Golomb inventó el juego Cheskers, una variante ajedrecística de las damas, en 1948, y describió los poliominós y los pentóminos en 1953. Más información en Solomon W. Golomb en la Wikipedia en inglés.

Vamos a ir construyendo la sucesión de Golomb paso a paso. Como a_1=1, tenemos que el 1 aparece una única vez en la sucesión. Por tanto, a_2 no puede ser 1, por lo que debe ser a_2=2. Eso indica que el 2 aparece dos veces en la sucesión, por lo que es obligatorio que a_3=2. Ya tenemos nuestras dos apariciones del 2, pero a_3=2 indica que el 3 también debe aparecer dos veces, por lo que es necesario que a_4=3 y a_5=3. Ahora, a_4=3 nos dice que el 4 debe aparecer 3 veces, por lo que los tres siguientes valores deben ser 4; y a_5=3 indica que el 5 también aparece 3 veces, lo que nos lleva a que los siguientes 3 valores deben ser igual a 5…y así sucesivamente.

Los primeros valores de la sucesión de Golomb (A001462 en la OEIS) son los siguientes:

\begin{matrix} 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, \\ 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, \\ 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, \\ 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, \\ 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, \\ 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, \\ 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19 \end{matrix}

Como veis, no es demasiado complicado describir los elementos de esta sucesión, pero no nos vendría mal una relación de recurrencia que nos ayude, ¿verdad? Pues la hay. Se debe a Colin Mallows, y es la siguiente:

\begin{matrix} a(1)=1 \\ \\ a(n+1)=1+a(n+1-a(a(n))) \end{matrix}

Interesante, ¿verdad? Pues queda lo mejor: tenemos una maravillosa expresión asintótica para a_n. Se ha demostrado que, cuando n \to \infty:

a_n \xrightarrow{n \to \infty} \phi^{2-\phi} \cdot n^{\phi-1}

siendo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} el número áureo, el número de oro. ¿No es magnífico?

Podéis ver demostraciones de este resultado aquí. En la siguiente imagen os dejo una de ellas:

Por cierto, sobre esta demostración un apunte. En la misma se calcula que

a=\left (\phi-1 \right )^{\frac{-1}{\phi+1}}

Pero después “parece” que se da otro valor (en la solución final). Bien, podéis comprobar vosotros mismo que ambos valores son iguales, es decir:

a=\left (\phi-1 \right )^{\frac{-1}{\phi+1}}=\phi^{2-\phi}

Si queréis más datos sobre cómo de buena es esta aproximación asintótica, podéis echar un vistazo a The error term in Golomb’s sequence, de Ilan Vardi. También presenta un método eficiente para calcular valores grandes de la sucesión de Golomb.

Como decía al principio, es magnífico ver cómo números tan bellos como \phi aparecen de manera inesperada en un sitio como éste, la sucesión de Golomb, al cual parecía no estar invitado. Cosas así siempre me recuerdan a la curiosa, y también inesperada, aparición de \pi en el conjunto de Mandelbrot, de la que hablé en Pi y el conjunto de Mandelbrot. ¿Conocéis más casos parecidos a estos?

Tuve conocimiento de esta sucesión a través del vídeo Six sequences, de Numberphile, del cual también saqué información para escribir La sorprendente constante de Khinchin en octubre de 2014.

Foto de Golomb tomada de aquí.

Encontrada la mejor manera de apilar naranjas 8-dimensionales

Sáb, 03/26/2016 - 11:54

¿Tienes un montón de pelotitas esféricas 8-dimensionales en el garaje y no sabes cuál es la mejor manera de colocarlas? Bien, pues tu problema (parece que ya) está resuelto: ya se sabe cuál es la forma más eficiente de disponer esferas 8-dimensionales.

En el trabajo The sphere packing problem in dimensión 8 (publicado hace apenas un par de semanas), la matemática Maryna S. Viazovska (de la Berlin Mathematical School y de la Humboldt University, también de Berlín) demuestra lo siguiente:

No hay ningún empaquetamiento de esferas unidad en dimensión 8 que tenga densidad mayor que la que da la red E_8

Maryna Viazkovska

Vamos a explicar un poco de qué va todo este tema.

El sphere packing problem (o problema de empaquetamiento de esferas) consiste en encontrar la manera más eficiente de colocar esferas unidad (de radio 1), entendiendo por más eficiente a la disposición que deje una menor cantidad de espacio vacío entre ellas (es decir, la más densa). Este problema, que puede estudiarse en cualquier dimensión, ha interesado a la comunidad matemática desde hace un buen puñado de años.

Para n=1, nuestro espacio \mathbb{R} es una recta y nuestras esferas unidad son intervalos de amplitud (diámetro) 2. En este caso podemos rellenar la recta completa con intervalos sin dejar huecos, por lo que, si llamamos \Delta_n a la densidad de la colocación más eficiente en \mathbb{R}^n, se tiene claramente que \Delta_1=1

En el caso n=2, tenemos que \mathbb{R}^2 es un plano y la esfera unidad es un círculo de radio 1. Aquí se sabe que la disposición más densa es una como la siguiente:

Joseph Louis Lagrange, en 1773, fue el primero en probar que esta disposición era la disposición regular más densa en dos dimensiones. Axel Thue, a principios del siglo XX, probó que también era la más densa aun considerando también disposiciones irregulares, pero dicha demostración se consideró incompleta. Sobre 1940, László Fejes Toth dio una demostración que, ahora sí, se considera correcta.

Por cierto, la densidad de esta disposición, llamada empaquetamiento hexagonal, es:

\Delta_2=\cfrac{\pi}{\sqrt{12}} \approx 0.90690

Es decir, con este empaquetamiento cubrimos algo más del 90% del plano.

Para n=3, tenemos que \mathbb{R}^3 es el espacio tridimensional que todos conocemos y la esfera unidad es un esfera maciza tridimensional de radio 1. En este caso, la disposición más densa es la denominada empaquetamiento compacto, que podríamos definir como la colocación más habitual de naranjas que podemos encontrar en una frutería:

Este problema es conocido como la conjetura de Kepler, y fue planteada por Johannes Kepler en 1611. La densidad de esta disposición es:

\Delta_3=\cfrac{\pi}{\sqrt{18}} \approx 0.74048

Esto es, dicha colocación ocupa algo menos del 75% del espacio tridimensional.

En 1831, Gauss demostró que ésta es la mayor densidad siempre que la disposición de esferas sea regular (es decir, siempre que la colocación de las mismas siga un patrón), pero todavía quedaba por ver si también superaba a las disposiciones irregulares. En 1998, Thomas Hales concluyó la demostración, no sin polémica por el uso del ordenador. Os recomiendo que leáis La conjetura de Kepler para más detalles de esta historia.

Y hasta ahora no se había encontrado la disposición más densa para ninguna otra dimensión. Para n=8 se sabía que la red E_8 era la disposición periódica más densa, pero no sabíamos si había alguna no periódica que fuera más densa que ella. Maryna Viazkovska se ha encargado de demostrar que no es así. La densidad de dicha disposición es:

\Delta_8=\cfrac{\pi^4}{384} \approx 0.25367

Es decir, en \mathbb{R}^8 sólo podemos aspirar a rellenar algo más del 25% del espacio con esferas unidad.

Ah, por cierto. Seguro que os preguntáis qué es la red E_8, ¿verdad? Pues es el subgrupo discreto de \mathbb{R}^8 que puede definirse mediante el conjunto de puntos, \Gamma_8, siguiente:

\Gamma_8=\{(x_1, \ldots , x_8) \in \mathbb{Z}^8 \cup (\mathbb{Z} + \cfrac{1}{2})^8 \Bigg / \displaystyle{\sum_{i=1}^8 x_i \equiv 0 \; (\mbox{mod } 2)} \}

Tenéis más información en E_8 lattice (en la Wikipedia en inglés) y en los enlaces que encontraréis un poco más abajo.

Y como suele pasar en muchas ocasiones en matemáticas, un problema resuelto puede ayudar a resolver otros. En este caso, el trabajo de Viazkovska ha servido para que también se concluya la demostración para n=24. La propia Maryna junto con Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller y Danylo Radchenko prueban en The sphere packing problem in dimension 24 que la red Leech es la más densa dentro de \mathbb{R}^{24}, siendo su densidad la siguiente:

\Delta_{24}=\cfrac{\pi^{12}}{12!} \approx 0.00192

Y un apunte final. Por si alguien se lo pregunta, el sphere packing problem tiene aplicaciones prácticas, por ejemplo en los códigos de corrección de errores. Podéis consultar Communication and ball packing para más información.

Fuentes y enlaces relacionados:

Algunos enlaces de Gaussianos relacionados con estoys y otros empaquetamientos:

Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog La aventura de la ciencia.

Andrew Wiles, premio Abel 2016

Mar, 03/15/2016 - 08:26

El matemático británico Andrew Wiles, de la Universidad de Oxford, ha sido galardonado con el Premio Abel 2016 por la Norwegian Academy of Science and Letters “por su impresionante demostración del último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad de curvas elípticas semiestables, iniciando una nueva era en la teoría de números”. Wiles añade este premio al Premio Fermat (1995), al Premio Wolf en Matemáticas (1995/6), a la Royal Medal de la Royal Society (1996), a la IM Silver Plaque (1998) y al Premio Shaw (2005), entre otros.

Andrew Wiles

Andrew Wiles junto al enunciado del UTF.

La vida de Andrew Wiles ha estado unida desde siempre al último teorema de Fermat. Él mismo cuenta que cuando tenía 10 años encontró un libro en el que se hablaba del último teorema de Fermat, y que quedó intrigado al ver un problema que él podía entender pero que llevaba más de 300 años sin resolverse. Según él, desde ese mismo instante pensó que algún día tendría que encontrar la solución.

Y lo consiguió, aunque le costó dos intentos (en primera instancia, su demostración contenía un error que le costó un año solucionar) y varios años de trabajo dedicados exclusivamente a este problema. Pero lo dicho, lo consiguió. La resolución del UTF le reportó fama mundial, y no solamente dentro de la comunidad matemática. Wiles es uno de los pocos matemáticos (quizás el único) que ha tenido repercusión en medios de comunicación generalistas por la demostración de un teorema matemático (hay otro muy reciente, Grisha Perelman, pero fue noticia más por su carácter que por sus logros matemáticos).

Con este premio Abel, Wiles consigue por fin uno de los máximos galardones que puede recibir un matemático. El otro, la Medialla Fields, no la pudo conseguir, ya que cuando resolvió el error de su demostración ya sobrepasaba los 40 años (edad máxima requerida para recibir dicho premio). Mi más sincera enhorabuena.

Fuentes y enlaces relacionados:

Imagen de Wiles tomada de aquí.

El primer producto infinito con Pi como protagonista

Lun, 03/14/2016 - 05:00

Hoy es 14 de marzo y, como todos los años, en esta fecha se celebra mundialmente el día de Pi por ser 3-14 la notación que se utiliza para este día en ciertas zonas de nuestro planeta. Además, añadiendo las dos últimas cifras de este año 2016, en esta ocasión tenemos la típica aproximación a cuatro decimales que todos aprendimos en su momento de este interesantísimo número irracional: 3.1416.

Mucho hemos hablado en Gaussianos sobre Pi (en la categoría Pi podéis ver la gran cantidad de artículos en los que aparece), y todos los años hemos celebrado este bonito día 14 de marzo (al final de esta entrada tenéis los enlaces a los artículos publicados en este blog el día de Pi). Y, para no poder las buenas costumbres, este año vamos a volver a hacerlo.

En esta ocasión vamos a celebrar el día de Pi destacando el primer producto infinito conocido con Pi como protagonista. Se trata de la conocida como fórmula de Viète, publicada por François Viète en 1593 como parte de su obra Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII. Dicha fórmula es la siguiente:

\cfrac2\pi=  \sqrt{\cfrac12} \cdot\sqrt{\cfrac12 +\cfrac12\sqrt{\cfrac12}}\cdot\sqrt{\cfrac12 +\cfrac12 \sqrt{\cfrac12 + \cfrac12\sqrt{\cfrac12}}}\cdot\sqrt{\cfrac12+\cfrac12\sqrt{\cfrac12 +\cfrac12 \sqrt{\cfrac12 + \cfrac12\sqrt{\cfrac12}}}}\cdots

Al parecer, no solamente se trata del primer producto infinito en el que aparece el número Pi, sino del primer desarrollo infinito que involucra a dicho número. Viendo que hasta ese momento sólo se disponía de aproximaciones para Pi, el descubrimiento de esta expresión puede considerarse como un hito histórico, así como un gran avance de las matemáticas en su conjunto.

La idea que usó Viète fue partir de un círculo de radio 1 (cuya área es exactamente \pi) e inscribir en él polígonos de 2^n lados, para n \geq 2, comparando después las áreas de los polígonos de 2^k y 2^{k+1} lados. Pero hay una manera relativamente sencilla de deducir la fórmula de Viète utilizando identidades trigonométricas:

Si inscribimos un polígono regular de 2^n lados en un círculo de radio 1, es sencillo ver, triangulando dicho polígono, que el área del mismo, a_n, se puede expresar así:

a_n=2^n \; sen \left ( \cfrac{\pi}{2^n} \right ) \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^n} \right )

Usando la fórmula de seno de ángulo doble, sen(2 \alpha)=2sen(\alpha)cos(\alpha), llegamos a que:

a_2=a_3 \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^2} \right )=a_4 \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^2} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^3} \right )=a_5 \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^2} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^3} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^4} \right )=\ldots

Como a_n tiende a \pi cuando n \to \infty (el área del círculo), se tiene que:

a_2=\pi \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^2} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^3} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^4} \right ) cos \left ( \cfrac{\pi}{2^5} \right ) \ldots

Ahora, a_2 es el área del cuadrado inscrito en el círculo anterior, cuyo valor es 2, por lo que de la expresión anterior obtenemos lo siguiente:

\cfrac{2}{\pi}=cos \left ( \cfrac{\pi}{2^2} \right ) \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^3} \right ) \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^4} \right ) \; cos \left ( \cfrac{\pi}{2^5} \right ) \ldots

Usando ahora la fórmula para el seno del ángulo mitad, cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right )=\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} cos (\alpha)}, y que cos(\frac{\pi}{2^2})=\sqrt{\frac{1}{2}} llegamos a la expresión de la fórmula de Viète.

Un último apunte interesante sobre esta fórmula de Viète. En 1655, John Wallis encontraba el siguiente desarrollo infinito para 2 \over \pi:

\cfrac{2}{\pi}=\cfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \cfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \cfrac{5 \cdot 7}{6 \cdot 6} \cdot \cfrac{7 \cdot 9}{8 \cdot 8} \ldots

En principio, ambas fórmulas no parecen tener mucha relación, pero hace pocos años se demostró que no es así. En 1999, Thomas J. Osler publicaba en American Mathematical Monthly una fórmula que incluye como casos particulares tanto a la fórmula de Viète como a la fórmula de Wallis. Podéis ver el artículo en The union of Vieta’s and Wallis’ products for Pi (pdf). También podéis ver comentarios sobre la misma en Historia de las fórmulas y algoritmos para \pi (pdf), de Jesús Guillera, artículo en el que también encontraréis muchas más información sobre el tema.

Y para terminar os dejo enlaces a los artículos publicados en Gaussianos celebrando el día de Pi en años anteriores:

Cortando un pastel cilíndrico

Lun, 03/07/2016 - 08:00

Volvemos con los problemas semanales. En este caso os propongo uno que he visto en la Lista de Snark:

Tenemos un pastel cilíndrico, con cobertura de chocolate sólo en la parte superior. Vamos cortando porciones, cada una contigua a la anterior en sentido horario, y todas de un mismo ángulo X. Cada vez que cortamos una porción, en lugar de servirla le damos vuelta y la volvemos a insertar en el pastel, restaurando su forma cilíndrica.

Demostrar que, sea cual sea el ángulo X, después de una cantidad finita de cortes el pastel vuelve a quedar con toda la cobertura de chocolate en la parte superior.

Que se os dé bien.

Acuerdo para la revisión de conceptos matemáticos en el DRAE

Mié, 03/02/2016 - 05:00

Si bien el Diccionario de la Real Academia Española es el principal referente para encontrar la definición de una palabra en español, también es cierto que con la terminología específica de una rama científica en ocasiones falla estrepitosamente (supongo que con otras áreas de conocimiento ocurrirá algo parecido). Sirvan como ejemplos los que nos dejó Tito Eliatron en su entrada Malas “Mates” en el DRAE, publicada en 2011 (o en ésta publicada por Eugenio ese mismo año).

De esos ejemplos parece que algunos ya están arreglados, como el de las cuádricas o el de la hipérbola. Pero otros siguen tal cual estaban en aquel momento. El más sangrante, bajo mi punto de vista, es éste:

¿Un determinante es una matriz cuadrada? Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada, pero no la propia matriz. No entiendo cómo puede seguir esa definición tan desatinada en el DRAE.

Y otros dos continúan más o menos igual. En su segunda acepción, un círculo sigue siendo igual a una circunferencia; y, en su tercera acepción, probabilidad sigue siendo solamente la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles en un proceso aleatorio.

Pues bien, parece que en lo que se refiere a las matemáticas esto va camino de solucionarse: la RSME y la RAE han firmado un convenio para revisar las voces matemáticas en el diccionario. Copio y pego directamente de la web de la RSME:

El pasado miércoles 24 de febrero, el presidente de la Real Academia Española (RAE), Darío Villanueva, y el presidente de la RSME, Francisco Marcellán, suscribieron un convenio para “favorecer el estudio de la terminología matemática en lengua española”. Gracias a este acuerdo, la RAE facilitará a la RSME la lista de términos matemáticos para su revisión, y corrección si es el caso, por parte de expertos en esta ciencia. Por otro lado, la RSME propondrá a la RAE vocablos matemáticos ausentes en el diccionario para su posible inclusión en la futura 24.ª edición.


Francisco Marcellán (izquierda) y Darío Villanueva (derecha) tras la firma del acuerdo.

Podéis ver la noticia completa en este enlace de la web de la RAE.

Una muy buena noticia este acuerdo, ya que si las cosas se hacen bien (y tengo claro que así será) conseguiremos que ese referente de la lengua española que es el DRAE refleje correctamente el significado de, al menos, los conceptos matemáticos más utilizados.

Y para terminar una petición. Viendo que el objetivo de este acuerdo es hacer las cosas bien, creo que sería interesante intentar ayudar desde este blog. Por ello os pido que dejéis en los comentarios algunos ejemplos de conceptos matemáticos que aparezcan actualmente en el DRAE y que consideréis que son incorrectos o cuyas definiciones estén incompletas, y también que propongáis conceptos matemáticos cuya definición no aparezca en la actualidad en el DRAE y que consideréis oportuno añadir en próximas ediciones. Para comenzar, voy a dar yo tres ejemplos:

  • Creo que debería rectificarse la definición de factorizar en sus dos acepciones. La que aparece ahora mismo es la siguiente

    ¿No sería “divisores” en vez de “divisiones”? ¿Y siempre se puede factorizar un polinomio como producto de otros de menor grado?

  • Los términos covarianza y polítopo no aparecen actualmente en el DRAE.

Espero vuestra colaboración. Como siempre, muchas gracias.

Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por Javier Cilleruelo)

Vie, 02/26/2016 - 11:00

Todo el que haya visitado este blog con cierta frecuencia durante los últimos años conocerá a Javier Cilleruelo, ya que su nombre ha aparecido por aquí en varias ocasiones. Para quien no lo conozca, Javier Cilleruelo es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), y ha colaborado en Gaussianos con varios artículos.

Javier CillerueloLa cosa comenzó con el problema de los conjuntos generalizados de Sidon (de cuya demostración hablé aquí), que resolvió junto a Imre Ruzsa y Carlos Vinuesa, y del cual nos habló Javier en este artículo. Más adelante, Javier siguió colaborando con Gaussianos con este artículo sobre el teorema de Szemerédi y con este artículo sobre la conjetura débil de Goldbach.

En esta ocasión, Javier nos habla sobre el último resultado que ha conseguido demostrar, junto a Florian Luca en este caso. El título de esta entrada lo dice todo: Javier y Florian han demostrado que todo entero positivo es suma de tres capicúas. Y además no solamente han dado una demostración, sino que dicha demostración es constructiva. Es decir, dado un numero entero positivo nos proporcionan un algoritmo para encontrar esos tres números capicúas. En lo que sigue os dejo el texto que me ha enviado Javier explicando dicho resultado y dando unas ideas de la demostración. Al final del mismo podéis encontrar un enlace al artículo técnico completo.

Un problema clásico en la teoría de los números consiste en estimar el número de sumandos necesarios para representar cualquier entero positivo como suma enteros de una sucesión notable de números, como los cuadrados, los primos, etc. Algunos ejemplos son los siguientes:

Todos estos resultados son óptimos en el sentido de que no son ciertos con menos sumandos. Hace unos días, en un trabajo con Florian Luca, hemos añadido un resultado a esta lista de resultados óptimos:

Teorema (J. Cilleruelo, F. Luca 2016): Todo entero positivo es suma de tres capicúas en cualquier base g \geq 5.

Los números capicúas, también llamados palíndromos, son aquellos que se leen igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. El carácter capicúa de un número depende, claro está, de la base en la que escribamos dicho número. Así, por ejemplo, el número 11 es un número capicúa en base g=10, pero no lo es en base g=2 ya que en esta base se escribe de la forma 1011. El cero se considera un número capicúa (si no deberíamos cambiar el enunciado del teorema diciendo que todo entero positivo es suma de, a lo más, tres números capicúas).

El teorema es óptimo ya que no es difícil construir infinitos enteros que no son suma de dos capicúas.

La conjetura de que tres números capicúas (en base 10) eran suficientes para representar todos los enteros positivos era una conjetura que llevaba tiempo rondando en el área, pero sólo se había logrado demostrar que todo entero positivo era suma de 49 números capicúas (W. Banks, 2015).

Nuestra demostración es algorítmica; es decir, dado cualquier entero positivo, proporcionamos un algoritmo para hallar tres capicúas cuya suma sea dicho número. Por ejemplo, para el entero positivo que viene dado por los primeros 21 dígitos del número \pi,

314159265358979323846

los tres capicúas que nos da el algoritmo son los siguientes:

\begin{matrix} p_1=210100100101001001012 \\ \\ p_2=98639929400492993689 \\ \\ p_3=5419235847485329145 \end{matrix}

Eso no quiere decir que ésta sea la única representación de nuestro número como suma de tres capicúas. Por regla general, cada entero positivo tendrá muchas representaciones, pero para la demostración del teorema es suficiente con proporcionar una representación para cada uno de ellos. A continuación se exponen las ideas centrales del algoritmo.

El algoritmo

El algoritmo que utilizamos es complejo pero elemental, en el sentido que no se utilizan matemáticas profundas. Vamos a ilustrar nuestrol algoritmo viendo paso a paso cómo hemos llegado a los tres capicúas del ejemplo.

La configuración de partida es importante y depende del último y de los tres primeros dígitos del número que queremos representar. En nuestro algoritmo contemplamos hasta 13 configuraciones de partida. Para el entero de nuestro ejemplo la configuración de partida es la siguiente (en el artículo técnico están los detalles que justifican la elección de estos números para comenzar con el algoritmo):

Vamos a ir completando los dígitos de los tres capicúas desde la derecha y desde la izquierda simultáneamente. Con los dígitos de p_2 ajustamos los dígitos de la izquierda, y con los dígitos de p_3 ajustamos los dígitos de la derecha. Los dígitos de p_1, que salvo el inicial son 0 o 1, sirven para controlar las “llevadas” en las columnas de la izquierda (pondremos un 0 si hay llevadas y un 1 si no las hay). La estrategia es suponer que siempre vamos a tener una llevada cuando completamos los dígitos por la izquierda. Siendo así, el siguiente dígito de p_1 tiene que ser un 1 y el siguiente dígito de p_2 un 8:

Seguidamente completamos con un 4 para ajustar el dígito de la segunda columna por la derecha:

Como necesariamente vamos a tener una llevada en la cuarta columna por la izquierda (porque 4 es mayor o igual que 1), el siguiente dígito de p_1 va a ser un 0. Si no fuera a haber llevada pondríamos un 1 para suplir a la llevada que no tenemos. Como ya hemos comentado, los dígitos del primer capicúa sirven para controlar las llevadas: si la hay ponemos un 0 y si no la hay ponemos un 1.

El siguiente dígito de p_2 es 6 (para ajustar esa columna de la izquierda suponiendo que habrá llevada):

De nuevo completamos con un 1 para ajustar el dígito de la tercera columna por la derecha:

Seguimos con el algoritmo hasta que colisionan la parte izquierda con la parte derecha:

Siguiendo el algoritmo hemos logrado ajustar todos los dígitos excepto el de la columna central (obtenemos un 4 cuando deberíamos obtener un 5). Eso se debe a que no tenemos llevada de la columna anterior. Cuando eso sucede hay que hacer un ajuste, que en este caso es sencillo: simplemente cambiamos el dígito central de p_1 por un 1:

Con este último paso finaliza el algoritmo.

Invito a los lectores a que prueben a escribir su número favorito como suma de tres capicúas utilizando este algoritmo. Lo más seguro es que les ocurra como en este caso, que al final tengan que hacer algún ajuste en los dígitos centrales para que todo cuadre. Y en algunos casos estos ajustes no son nada sencillos. De hecho, el ejemplo que hemos elegido era de los más simples. Si el número de cifras es par el ajuste final se complica. Y si además el primer dígito de nuestro número es 1 y el siguiente 0,1 o 2, el ajuste se complica todavía más. Además, el algoritmo descrito funciona cuando nuestro número tiene 7 dígitos o más. Si tiene menos de 7 dígitos hay que aplicar otro algoritmo distinto que también está explicado en el artículo.

Las ideas centrales del algoritmo son las que se han descrito con el ejemplo, pero la casuística es tan compleja que hace que el artículo se alargue hasta las 39 páginas. EL lector interesado puede consultarlo en el siguiente enlace: Every positive integer is a sum of three palindromes.

Tanto las configuraciones de partida como los ajustes finales hacen que el algoritmo no funcione bien para las bases g \leq 4.

Terminamos esta entrada planteando algunos problemas:

  1. ¿Hay una proporción positiva de enteros que son suma de dos capicúas?
  2. ¿Cuantos capicúas en base 2 se necesitan para representar todos los enteros positivos?

Este último problema, que nosotros ya no hemos querido intentar, seguro que es accesible y puede ser interesante para algún estudiante aventajado que quiera dar sus primeros pasos en el mundo de la investigación. Se trataría de utilizar un algoritmo parecido (quizás sea incluso más sencillo) pero adaptado a la base 2.

También sería interesante para los expertos en programación implementar el algoritmo descrito en nuestro artículo. Desde Gaussianos animamos a quienes estéis interesados en ello a que lo hagáis y lo compartáis con nosotros.

Este artículo participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Tito Eliatron.

Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 49

Mié, 01/20/2016 - 11:00

El pasado 7 de enero de 2016, el grupo GIMPS cumplía 20 años de vida de la mejor forma posible: anunciando el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 49 (aquí tenéis la nota de prensa del anuncio). Este nuevo número primo que hemos conocido tiene la friolera de 22338618 dígitos, superando así en más de cinco millones de dígitos a su antecesor como mayor número primo conocido.

El nuevo primo de Mersenne que acabamos de conocer, y que se designa como M_{74207281}, es el siguiente:

M_{74207281}=2^{74207281}-1

y, como decíamos antes, tiene más de 22 millones de cifras. Como he comentado en otras ocasiones, pienso que es muy complicado asimilar el abismal tamaño de un número así, por lo que suelo poner un ejemplo como el siguiente para intentar ayudar a dicha asimilación:

Imaginad que tenéis un billón de euros. Una cantidad enorme, ¿verdad? Bien, pues el número “un billón” tiene 13 dígitos: 1000000000000.

Así que imaginad lo gigantesco que es un número de ¡¡22 millones de dígitos!! Por cierto, si alguien quiere ver a M_{74207281}, aquí lo tenéis en txt (y comprimido en zip).

En este enlace podéis ver la lista completa de primos de Mersenne conocidos hasta ahora. Conviene apuntar que hasta el número 44, 2^{32582657}-1, la lista es completa (se confirmó hace poco más de un año). Es decir, se ha comprobado que hasta ese número no hay más primos de Mersenne salvo los que aparecen en la lista. A partir de él no se sabe si hay más primos de Mersenne que los descubiertos hasta ahora, por lo que podría ser que haya más primos de Mersenne menores que alguno de los ya conocidos que todavía no se han descubierto. Estaremos atentos a los acontecimientos.

Y este descubrimiento no ha venido solo, sino que ha traído “premio”: esta búsqueda de primos de Mersenne utilizando el software de GIMPS ha ayudado a encontrar un bug en los procesadores Skylake de Intel (que, por cierto, parece que ya está solucionado). En arstechnica tenéis más información al respecto. Para que luego digan que la búsqueda de estos primos enormes, o el cálculo de más y más decimales de números irracionales como \pi, e o \sqrt{2}, no sirven para nada…

Os dejo algunos enlaces de webs donde ya han hablado sobre este descubrimiento y después algunos sobre estos números de Mersenne que se han publicado en Gaussianos:

Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 49 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{74207281-1} \cdot (2^{74207281}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo (posiblemente miles de años), que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene unos 44 millones de cifras…

Esta entrada participa en la Edición 6.X: “El grafo” del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Cifras y Teclas.

El porqué de la “universalidad cuadrática” del 15 y del 290

Lun, 01/11/2016 - 05:00

Muchos son los números reales que podrían considerarse “universales” por múltiples razones. ¿Quién no diría que el número Pi, el número e o el propio 0 no son universales? Ahora, que el 15 o el 290 lo sean…como que no parece tan claro. Pero la realidad es que estos dos números enteros positivos, 15 y 290, sí que podrían llamarse “universales” con todas las de la ley. En este artículo vamos a hablar de por qué estos números son tan especiales.

Antes de continuar, es interesante destacar que no son estos números en sí los que son “universales”, sino que están relacionados con la universalidad de unos objetos matemáticos llamados formas cuadráticas. Sin entrar en demasiados formalismos, podemos decir que una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de grado 2 en varias variables, esto es, una suma de términos que son siempre el producto de una constante por un término cuadrático (que puede ser una variable al cuadrado o un producto de dos variables distintas). Aquí tenéis un par de ejemplos:

\begin{matrix} Q_1(x,y,z)=x^2-y^2+z^2-4xy+2yz \\ \\ Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2 \end{matrix}

En general, una forma cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

Q(x_1, \ldots , x_n)=\displaystyle{\sum_{i,j} Q_{ij} \cdot x_i \cdot x_j}

Esos coeficientes Q_{ij} son las entradas de una matriz simétrica, que llamaremos A_Q, que es la matriz asociada a la forma cuadrática Q.

Cuando una forma cuadrática Q cumple que Q(\overline{x}) > 0 para todo \overline{x} \ne 0, dicha forma cuadrática se denomina definida positiva (lo que equivale a que la matriz A_Q sea definida positiva). Si analizamos los dos ejemplos anteriores, tenemos que Q_1 no es definida positiva (por ejemplo, Q_1(1,-1,0)=-4), pero Q_2 lo es (ya que Q_2(\overline{x}) es suma de términos mayores o iguales que 0 con al menos uno de ellos es distinto de cero).

Para el caso que nos ocupa nos quedaremos solamente con los vectores \overline{x}=(x_1, \dots , x_n) cuyas coordenadas sean números enteros. En esta situación, una forma cuadrática entera es una forma cuadrática definida positiva que cumple que Q(\overline{x}) es siempre un número entero (que será siempre positivo). A partir de este momento, cuando hablemos de “forma cuadrática” implícitamente consideraremos que es definida positiva y que la estamos aplicando a vectores con todas sus coordenadas números enteros.

Es evidente que si todas las entradas de la matriz definida positiva A_Q son números enteros, entonces la forma cuadrática Q es una forma cuadrática entera. Pero también hay matrices cuyas entradas no son todas números enteros que definen formas cuadráticas enteras. Por ejemplo, la matriz

A_Q=\left ( \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right )

está asociada a la forma cuadrática Q(x,y)=x^2+xy+y^2, que es definida positiva y, evidentemente, entera.

Para diferenciarlas, a las primeras las llamaremos formas cuadráticas de matriz entera y a las segundas formas cuadráticas de valores enteros.

Después de esta pequeña introducción, vamos a adentrarnos en el tema central del artículo. Una forma cuadrática se denomina universal si representa a todos los números enteros positivos. Es decir, una forma cuadrática es universal si al aplicarla a todos los vectores cuyas coordenadas sean números enteros es capaz de dar como resultado todos los enteros positivos.

John Horton ConwayLa primera pregunta que podríamos hacernos es la siguiente: ¿existen formas cuadráticas universales? Y la respuesta es . Una de las que usamos anteriormente como ejemplo,  Q_2(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2, es universal (hecho que está garantizado por el teorema de los cuatro cuadrados). Y, evidentemente, la segunda pregunta sería ésta: ¿qué condiciones debe cumplir una forma cuadrática para ser universal? La respuesta a esta cuestión es tan bella como curiosa.

Antes hemos dividido estas formas cuadráticas en dos grupos: las de matriz entera y las de valores enteros. Para las de matriz entera, John Horton Conway y William Schneeberger demostraron en 1993 el sorprendente resultado siguiente:

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma todos los valores enteros positivos hasta el 15, entonces toma todos los valores enteros positivos.

De hecho, este resultado se puede mejorar, quedando el denominado 15-Theorem:

Teorema: (15-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con matriz entera toma los valores

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15

entonces toma todos los valores enteros positivos.

Esto significa que para determinar si una cierta forma cuadrática es universal simplemente hay que ver si podemos obtener como resultado de la misma estos nueve números (llamados enteros críticos para formas de matriz entera). Además, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a ese número. Por ejemplo, la forma cuadrática Q(x,y,z,t)=x^2+2y^2+5z^2+5t^2 representa a todos los enteros positivos excepto al 15.

Magnífico a la par que sorprendente, ¿verdad?

Además de lo ya expuesto, el carácter especial del 15 en esta situación nos lo muestran estos dos interesantes resultados:

  • Si una forma cuadrática con matriz entera representa a todos los enteros positivos menores que 15, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 15.
  • Hay formas cuadráticas con matriz entera que “pierden” infinitos enteros positivos si en vez de 15 tomamos cualquier otro entero crítico.

Como hemos comentado, Conway y Schneeberger demostraron este resultado en 1993, aunque no publicaron dicha demostración. Pero no está todo perdido, ni mucho menos. En el año 2000, Manjul Bhargava dio una demostración del 15-Theorem mucho más simple que la de Conway y Schneeberger. Podéis ver dicha prueba en On the Conway-Schneeberger Fifteen Theorem (pdf), artículo en el que podéis ver también un comentario inicial del propio John Conway.

Manjul Bhargava

Para quien no sepa quién es Manjul Bhargava, es interesante resaltar que es nada más y nada menos que uno de los galardonados con la Medalla Fields en 2014. Ah, y una curiosidad: ¿sabéis quién fue el director de tesis de Manjul Bhargava? Pues nada más y nada menos que Andrew Wiles (aquí podéis verlo en el MGP). Sí, exacto, el del último teorema de Fermat. Casi nada.

Ahora, este especialista en teoría de números no se quedó ahí. ¿Os acordáis de que habíamos dividido nuestras formas cuadráticas en dos tipos? El 15-Theorem resuelve el problema de caracterización de las formas cuadráticas universales para las de matriz entera, pero todavía no sabemos qué ocurre con las de valores enteros.

Bien, pues fue el propio Bhargava quien resolvió esta cuestión. En 2005 demostró, junto a Jonathan Hanke, que para las formas cuadráticas de valores enteros se cumple un resultado del estilo al caso anterior, pero reemplazando el 15 por el 290:

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a todos los enteros positivos hasta el 290, entonces representa a todos los enteros positivos.

Y, como en el caso anterior, este resultado se puede mejorar hasta llegar al siguiente, denominado 290-Theorem:

Teorema: (290-Theorem)

Si una forma cuadrática definida positiva con valores enteros representa a los enteros

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290

entonces representa a todos los enteros positivos.

Es decir, para ver si una forma cuadrática de valores enteros es universal solamente hay que ver si es capaz de representar a estos 29 números enteros (llamados enteros críticos para formas de valores enteros). Y además, como en el 15-Theorem, este teorema no se puede mejorar, ya que si eliminamos algunos de esos números existe al menos una forma cuadrática que representa a todos los enteros positivos excepto a dicho número. En el artículo de Bhargava y Hanke, Universal quadratic forms and the 290-Theorem (pdf), se puede encontrar este teorema (del estilo al caso anterior) que le da al 290 un carácter casi tan especial como el del número 15:

Si una forma cuadrática con valores enteros representa a todos los enteros positivos menores que 290, entonces representa a todos los enteros positivos mayores que 290.

Como detalle final en relación con estos dos teoremas, el número mínimo de variables que debe tener una forma cuadrática para poder ser universal es 4 (cuaternarias). Bien, pues Bhargava también demostró que hay exactamente 204 formas cuadráticas cuaternarias de matriz entera que son universales y 6436 formas cuadráticas de valores enteros que son universales. Lo dicho, maravillosos y sorprendentes resultados relacionados con estos objetos matemáticos denominados formas cuadráticas que seguro harán que a partir de ahora veamos al 15 y al 290 como números mucho más especiales de lo que podían ser hasta ahora.

Para redondear el artículo, un par de detalles más sobre este tema. Bhargava también dio condiciones para que una forma cuadrática de matriz entera represente a todos los números impares y a todos los números primos. Son las siguientes:

  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 1, 3, 5, 7, 11, 15 y 33, entonces toma como valores a todos los números impares.
  • Si una forma cuadrática de matriz entera toma los valores 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67 y 73, entonces toma como valores a todos los números primos.

Fuentes y más información:

La foto de Manjul Bhargava la he tomado de aquí, y la de John Conway la he tomado de aquí.