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Actualizado: hace 10 horas 41 mins

La circunferencia de Conway

Jue, 11/20/2014 - 05:30

En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

Partimos de un triángulo cualquiera, como éste:

Ahora desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento cuya longitud sea igual al lado opuesto de dicho vértice. La cosa quedaría tal que así (he añadido colores para que se vea más claramente):

Bien, pues lo que asegura el teorema de Conway es lo siguiente:

Teorema de Conway:

Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia.

Por esta razón se la conoce como circunferencia de Conway. En el siguiente applet de GeoGebra podéis ver esta circunferencia de Conway, y comprobar, moviendo los vértices del triángulo, que esos seis puntos siempre caen en ella:

Bien, vamos a intentar demostrar este resultado. Para ello vamos a utilizar el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia:

Sea P un punto del plano y c una circunferencia que no pasa por P. Supongamos que tomamos dos cuerdas que pasan por P y tal que cada una de ellas corta a la circunferencia en dos puntos, la primera en los puntos A,B y la segunda en los puntos CD. Entonces se cumple que:

\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}

Es decir, el producto de las longitudes de los dos segmentos en los P a cualquier cuerda que pasa por él es constante. Al valor de ese producto se le denomina potencia del punto P respecto de la circunferencia c.

En realidad vamos a utilizar el siguiente resultado, que podría decirse que es el recíproco de éste:

Si dos segmentos AB y CD que se cortan en un punto P verifican que \overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}, entonces los cuatro puntos A,B,C y D están en la misma circunferencia.

Vamos a la demostración:

Fijémonos en el vértice A, en el que se cortan los segmentos IR y FN. Por un lado tenemos que \overline{AI} \cdot \overline{AR} = a(b+c), y por otro también se cumple que \overline{AF} \cdot \overline{AN} = a(b+c). Por tanto tenemos que los puntos I,F,R y N están en la misma circunferencia.

Pero podemos hacer lo mismo con el vértice B y los segmentos FN y KQ, por lo que los puntos F,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Con ello obtenemos que los seis puntos I,F,R,N,K y Q están en la misma circunferencia.

Actualización: En este comentario Javier nos avisa de que la demostración está imcompleta. Ignacio Larrosa Cañestro, en este otro comentario, la termina.



Demostración sencilla para un resultado precioso, ¿verdad? Bien, pues la cosa no queda ahí. El centro de esta circunferencia es…bueno, eso os lo dejo a vosotros. Es decir, tenéis que decir qué punto es el centro de la circunferencia de Conway y dar una demostración que avale vuestra propuesta. Espero vuestros comentarios.

¿Por qué se conoce como circunferencia de Conway? Porque fue el propio John Horton Conway quien estrenó un subforo de MathForum proponiendo este mismo problema (aquí nos hablan de ello). Y para honrar este bonito resultado, ¿qué mejor que plasmarlo en una camiseta? ¿Y quién mejor para hacerlo que el propio John Horton Conway? Pues ahí la tenéis, tomada de este post del blog de Tanya Khovanova (lugar por el que supe por primera vez sobre la existencia de este resultado):

Genio y figura el señor Conway, sin duda.

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Kontsevich, Tao, Donaldson, Lurie y Taylor, galardonados con el premio de matemáticas más caro del mundo

Mar, 11/18/2014 - 10:45

En una ceremonia celebrada el pasado 9 de noviembre (aquí tenéis fotos del evento), los matemáticos Maxim Kontsevich, Terence Tao, Simon Donaldson, Jacob Lurie y Richard Taylor recibieron el Breakthrough Prize in Mathematics, que pasa por ser el premio de matemáticas con mayor dotación económica del mundo (3 millones de dólares para cada uno de los premiados).

Este galardón consta de tres categorías, Física, Ciencias de la Vida y Matemáticas, y se entrega a personas que hayan realizado grandes logros en alguna de ellas. Éste es el primer año en el que se entrega el de Matemáticas, financiado por Yuri Milner y Mark Zuckerberg, y de cuya creación hablamos aquí hace un tiempo.

(De izquierda a derecha: Tao, Lurie, Taylor, Kontsevich y Donaldson.)

Estos cinco matemáticos han obtenido este galardón, y los correspondientes 3 millones de dólares, por diferentes contribuciones importantes en diversos campos de las matemáticas. A saber:

  • Terence Tao: por sus contribuciones en análisis armónico, combinatoria, ecuaciones en derivadas parciales y teoría analítica de números.
  • Jacob Lurie: por sus contribuciones en teoría de categorías, geometría algebraica, teoría cuántica de campos y cohomología elíptica.
  • Richard Taylor: por sus resultados en teoría de formas automórficas, incluyendo la conjetura de Taniyama-Weil, la conjetura local de Langlands para grupos generales lineales y la conjetura de Sato-Tate.
  • Maxim Kontsevich: por el gran impacto de sus trabajos en disciplinas como geometría algebraica, teoría de deformación, topología simpléctica, álgebra homológica y sistemas dinámicos.
  • Simon Donaldson: por sus trabajos sobre variedades 4-dimensionales y por el estudio de la relación entre la estabilidad en geometría algebraica y la geometría diferencial global.

En esta página podéis ver el anuncio de los cinco premiados, y en ésta algunas declaraciones de cada uno de ellos. En este otro enlace tenéis los galardonados en todas las categorías de este premio. También os puede interesar este artículo del New York Times hablando sobre el tema.

Por cierto, a partir de ahora el Breakthrough Prize in Mathematics se entregará a una sola persona por año.

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Desigualdad con logaritmos

Lun, 11/17/2014 - 04:30

Hoy lunes os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Determina todas las parejas (a,b) de números reales positivos, con a \ne 1, tales que

log_a(b) < log_{a+1}(b+1)

Que se os dé bien.

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[Vídeo] Todos los triángulos son equiláteros

Jue, 11/13/2014 - 05:00

Interesante vídeo el que nos traen los cracks de Numberphile. En él Carlo H. Séquin, de la Universidad de Berkeley, nos presenta una supuesta demostración de que todos los triángulos son equiláteros:

A ver quién nos explica dónde está el fallo de dicha prueba.

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Confirmado que el 44º primo de Mersenne es en realidad el 44º primo de Mersenne

Mié, 11/12/2014 - 10:00

Menudo título para un post… Parece una obviedad como un castillo, ¿verdad? Pues no lo es, ni mucho menos, y vamos a explicar el porqué. GIMPS, el proyecto colaborativo de búsqueda de primos de Mersenne, ha terminado la verificación de que el cuadragésimo cuarto primo de Mersenne que se encontró es, efectivamente, el primo de Mersenne número 44 si los colocamos en orden numérico de menor a mayor.

La historia es como sigue. Hasta septiembre de 2006 se conocían 43 primos de Mersenne…

Recordemos que un primo de Mersenne es un número entero positivo de la forma 2^n-1 (para algún n también entero positivo) que además es un número primo. Su nombre se debe a Marin Mersenne, que fue quien propuso esa expresión como generadora de números primos, y se suelen denotar como M_n.



…y se sabía que no había ningún otro primo de Mersenne menor que ese cuadragésimo tercero (que es M_{30402457}), por lo que hasta ese momento la lista de primos de Mersenne estaba completa hasta ese número.

Marin MersenneA principios de ese mes de septiembre de 2006 se encuentra un nuevo primo de Mersenne, concretamente el siguiente:

M_{32582657}=2^{32582657}-1

que, por tanto, era el cuadragésimo cuarto primo de Mersenne que se encontraba. Evidentemente, este número era mayor que el cuadragésimo tercero de la lista, M_{30402457}, pero lo que no se sabía era si entre ellos había algún otro primo de Mersenne que todavía no se había encontrado. Bien, pues eso es lo que han confirmado ahora: que no hay ningún otro número de Mersenne que sea primo entre el que se encontró en la posición 43, M_{30402457}, y el que se encontró en la posición 44, M_{32582657}. Esto es lo que puede verse ahora mismo en la web de GIMPS:

Esto significa entonces que ahora la lista de primos de Mersenne está completa hasta el cuadragésimo cuarto. Tened en cuenta que han tardado más de 8 años en verificarlo, o sea que la cosa no era tan obvia…

Se conocen más primos de Mersenne, evidentemente mayores que M_{32582657} (concretamente cuatro más), pero todavía no se sabe si hay alguno más entre éste y los conocidos mayores que él, por lo que la lista colocada en orden numérico creciente podría no estar completa desde el 44 en adelante (aquí podéis ver el listado completo de los primos de Mersenne conocidos hasta la fecha, y más información acerca de ellos). Habrá que esperar algo más de tiempo para confirmar la posición de estos números en la lista o, por qué no, para encontrar otros primos de Mersenne que nos hayamos dejado por el camino. Intentaré manteneros informados de los pormenores de dicha búsqueda.

Vía The Aperiodical.

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¡¡Gaussianos es finalista en la categoría “Mejor Blog de Ciencia” en los Premios #XBitácoras 2014!!

Mié, 11/12/2014 - 05:00

Tal y como podéis ver en el título de esta entrada, Gaussianos ha entrado entre los tres finalistas en la categoría de “Mejor Blog de Ciencia” de los Premios Bitácoras 2014.

La competencia en esta categoría ha sido durísima, como en los años anteriores, y los cambios en la clasificación entre los seis o siete primeros puestos han sido la nota predominante en las sucesivas clasificaciones parciales. Pero al final se ha conseguido el primero de los objetivos: entrar dentro de los tres primeros clasificados.

El segundo paso, que sería obtener el premio final, es muy complicado, como no podía ser de otra forma. Los otros dos blogs que optan al premio en la categoría de Ciencia, Cuentos Cuánticos y Dimetilsulfuro, son dos grandes blogs, por lo que la cosa no será nada fácil. Pero bueno, dicen que la esperanza nunca se pierde, por lo que habrá que esperar a la elección del jurado para ver quién es el que levanta el trofeo.

Os dejo el listado de los diez primeros clasificados en esta categoría de Ciencia:

  1. Cuentos Cuánticos
  2. Dimetilsulfuro
  3. Gaussianos

  4. Ese punto azul pálido
  5. Gominolas de petróleo
  6. Ciencia de sofá
  7. La pizarra de Yuri
  8. Scientia
  9. Los mundos de Brana
  10. Mujeres con ciencia

El resto de la clasificación podéis verla en el enlace que aparece al principio de esta entrada. Y, por cierto, os recomiendo que buceéis en ella, que le echéis un vistazo a todos los blogs que aparecen ahí, porque todos merecen mucho la pena.

Por otra parte, la ceremonia de entrega de premios tendrá lugar en Madrid, concretamente en La Casa Encendida, el próximo viernes 21 de noviembre. Si no ocurre nada que lo impida, servidor estará allí de cuerpo presente. Ya os iré contando cómo va todo.

Por otra parte, no quería dejar pasar esta oportunidad sin compartir con vosotros mis votos en la categoría de Ciencia de estos premios:

  • Tito Eliatron Dixit: porque es de lo mejor en matemáticas que te puedes encontrar por la red. Aunque ya no tenga tiempo para escribir (lástima), siempre tendrá mi voto por todo lo que ha aportado a las matemáticas en la blogosfera.
  • Historias de la Ciencia: porque fue uno de los primeros blogs de ciencia que recuerdo haber visitado (posiblemente el primero junto al de Tío Petros) y porque siempre he aprendido algo de todo lo mucho y muy bueno que ha escrito en su larga trayectoria.
  • Cuentos Cuánticos: porque no he visto a nadie más que a él explicar conceptos físicos (en ocasiones muy complejos) con esa destreza. Y porque a veces también “se atreve” con las matemáticas, haciéndolo también de maravilla.
  • La ciencia de la mula Francis: porque no conozco ningún otro blog en español que toque temas tan complejos y tan variados como él, y que demuestre una y otra vez en sus artículos sus amplios conocimientos en muchos campos y su gran capacidad para mantenernos al día en todos ellos.
  • Gaussianos: porque es mi blog, y como es natural me tenía que autovotar.
    • Y, para terminar, os tengo que agradecer a todos el apoyo que dais al blog a diario, con vuestras visitas, comentarios o menciones en redes sociales y, cómo no, que vuestros votos hayan hecho que Gaussianos pueda optar a este premio. Sin vosotros este blog no sería nada, y es vuestra presencia aquí la que hace que siga con ganas de continuar con él. De nuevo, muchas gracias a todos.

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Número 10 de la revista online de matemáticas “PIkasle”

Mar, 11/11/2014 - 10:00

Hace unos días salió nuevo número, el décimo, de PIkasle, revista online de matemáticas creada por un grupo de estudiantes de la Universidad del País Vasco.

En este nuevo número la portada está dedicada al Año Internacional de la Cristalografía:

Os dejo los contenidos de este número contados por los propios autores:

En este nuevo número, la cristalografía es la protagonista, pues la UNESCO ha decidido hacer de este año 2014 el año de la cristalografía, que, más allá de su interés en sí, guarda estrecha relación con las matemáticas. Así es que PIkasle se suma a la celebración.

  • ¡PIkasle se renueva! Así comienza la sección de noticias, donde el comité editorial explica los cambios realizados en la organización de PIkasle.
  • Irene Llana nos habla del próximo estreno en la gran pantalla The Imitation Game, la película de la vida de Alan Turing.
  • Víctor Manero ha tenido el placer de entrevistar a Sheila Carreño, matemática de la UPV/EHU que nos cuenta sobre su experiencia laboral.
  • ¡Entrevista con Ron de Vore! En este número se entrevista, de la mano de Ricardo Grande y Josué Tonelli-Cueto, al famoso matemático americano.
  • Amaiur Holgado y Nahia Agirregoikoa nos traen la segunda parte de Fantasiazko Eraikinak.
  • Aitziber Ibáñez nos habla de El Café Escocés, un artículo contando la curiosa historia de El Libro Escocés (tema que, por cierto, ya tratamos en Gaussianos hace un tiempo).
  • Finalmente, Manuel Santos nos presenta a Poincaré, no como matemático, sino como filósofo.

Podéis acceder online a este décimo número de PIkasle en este enlace, y también podéis descargarlo de manera gratuita en este otro enlace. Pues nada, ya solamente queda desearos que la disfrutéis. Bueno, y también que la difundáis entre vuestros amigos y conocidos y vuestras redes sociales, la gente de PIkasle lo merece.

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Cinco primos relativos por parejas

Mar, 11/11/2014 - 04:00

Vamos con el problema de esta semana. Aquí tenéis el enunciado:

Dado el conjunto S=\lbrace 1,2,3, \ldots ,280 \rbrace, encontrar el mínimo número natural n tal que en todo subconjunto de S que tenga n elementos haya cinco números que son primos relativos dos a dos.

A por él.

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Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7

Lun, 11/10/2014 - 04:00

Los casos especiales han fascinado desde siempre a todos los que de una forma u otra han estado y están relacionados con las matemáticas. ¿Por qué cierta figura se sale de la normalidad cumpliendo alguna propiedad que no cumplen el resto de figuras de naturaleza similar? ¿O por qué tal o cual número es el único que tiene cierta característica que no tienen los demás números de su especie? Hoy hablamos sobre esto último, sobre números, y concretamente sobre una singularidad muy curiosa e interesante del número 7.

De este número 7 ya hemos visto por aquí alguna propiedad interesante, como que es el primer entero positivo (mayor que 2) para el cual no se puede construir con regla y compás “su” polígono regular (aunque existen construcciones “trampa”), y hoy vamos a ver una más. Pero antes de eso tenemos que recordar qué eran las ecuaciones diofánticas.

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias incógnitas y cuyas soluciones son números enteros. Las hay lineales, como

2x+5y=11

para las que tenemos un método para encontrar sus soluciones. También las hay cuadráticas, como la ecuación de Pell, que es del tipo

x^2-dy^2=1

con d un entero que no sea un cuadrado perfecto.

Para éstas no hay un método general de resolución (solamente sabemos resolver algunos casos particulares). Y no podemos aspirar a encontrarlo, ya que Yuri Matiyasévich demostró en 1970 que no existe un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene.

Y también las hay exponenciales, que tienen la particularidad de que alguna de las incógnitas aparece en un exponente. Bien, pues vamos a pararnos en éstas, concretamente en la siguiente:

2^n-7=x^2

Para estas ecuaciones diofánticas exponenciales tampoco hay método general de resolución, simplemente (como en las anteriores) se sabe resolver algunos casos concretos.

Pero centrémonos en la ecuación que acabamos de escribir. Está demostrado que la ecuación

2^n-A=x^2

Srinivasa Ramanujantiene como mucho dos soluciones para todo entero A distinto de cero… excepto para el 7 (hecho que se demostraron por partes Apéry en 1960 y Beukers en 1980, como se comenta en este paper). Fue el gran Srinivasa Ramanujan (quién si no), al que podemos ver en la imagen de la derecha (tomada de aquí), el que conjeturó en 1913 que dicha ecuación diofántica tenía soluciones enteras solamente para n=3,4,5,7 y 15. Dichas soluciones (cada una de ellas es una pareja (n,x)) son las siguientes:

\begin{matrix} 2^3-7=1=1^2 \Rightarrow (n,x)=(3,1) \\ \\ 2^4-7=9=3^2 \Rightarrow (n,x)=(4,3) \\ \\ 2^5-7=25=5^2 \Rightarrow (n,x)=(5,5) \\ \\ 2^7-7=121=11^2 \Rightarrow (n,x)=(7,11) \\ \\ 2^{15}-7=32761=181^2 \Rightarrow (n,x)=(15,181) \end{matrix}

Es decir, que para cualquier valor entero de A distinto de cero tenemos como mucho dos soluciones, excepto para el 7, en cuyo caso tenemos cinco. Curioso, ¿verdad?

Hemos comentado que Ramanujan conjeturó este resultado, pero no lo demostró. Fue el matemático noruego Trygve Nagell quien demostró en 1948 que ésas eran las únicas cinco soluciones de nuestra ecuación diofántica exponencial. Por ello a dicha ecuación diofántica se la denomina ecuación de Ramanujan-Nagell (que, por cierto, tiene página propia en la Wikipedia en inglés). La demostración está publicada en el volumen 4 de Arkiv för Matematik, en 1961. No he podido encontrarla “de libre acceso”, pero por si a alguien le interesa en este enlace puede ver las dos primeras páginas (la demostración completa ocupa tres páginas). Si alguien la encuentra por ahí para poder descargarla o consultarla completa de forma gratuita le agradeceremos que nos lo diga en un comentario. ZetaSelberg, en este comentario, nos muestra un pdf que incluye la demostración: http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dioph/mord1.pdf.

Qué tendrá el número 7 que a tanta gente le gusta (preguntad a vuestros amigos, seguro que un buen número de ellos lo tendrán como número favorito) y que además posee esta propiedad tan curiosa. Y, lo que es más inquietante, ¿por qué Ramanujan estudió este caso particular y no cualquier otro? Sabemos que la intuición matemática del genio matemático indio era colosal, muy superior a la que podamos tener la gran mayoría de nosotros, pero resulta cuando menos intrigante que eligiera exactamente la “ecuación del 7″. Me temo que, por desgracia, nunca conoceremos la verdadera historia del porqué de su elección.

Conocí esta curiosa singularidad del número 7 a través de este post de Evelyn Lamb en Roots of Unity, que supo de su existencia a través de esta conferencia de Manjul Bhargva (uno de los galardonados con la Medalla Fields en este año 2014) en el Heidelberg Laureate Forum.

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Últimas Clasificaciones Parciales de los Premios Bitacoras 2014

Vie, 11/07/2014 - 08:44

Hace un ratito se han publicado las últimas clasificaciones parciales de los Premios Bitácoras 2014, en los que Gaussianos participa en la categoría Mejor Blog de Ciencia.

En dicha categoría ¡Gaussianos sube de la tercera a la segunda posición!. Los cinco primeros puestos son los siguientes:

  1. Cuentos Cuánticos
  2. Gaussianos
  3. Ese Punto Azul Pálido
  4. Dimetilsulfuro
  5. Gominolasdepetroleo

Seguimos entre los tres finalistas, magnífica noticia. Sólo quedan unas horas para votar, concretamente hasta las 23:59 de hoy, 7 de noviembre de 2014, por lo que todavía no está asegurado que ocupemos un puesto de honor que nos dé derecho a estar en la final de esta categoría. Por eso, si te parece que este blog se merece tu voto ejerce tu derecho a votar hoy mismo.

Si quieres votar a Gaussianos identifícate en http://bitacoras.com y después haz click en la imagen siguiente:

Si no sabes cómo identificarte en este post te explico cómo hacerlo. Puedes hacerlo a través de la propia web http://bitacoras.com (si tienes cuenta en ella) o mediante tu cuenta de Twitter o Facebook. Y si tienes algún problema al intentar votar comenta en esta entrada (o en cualquier otra de las que hemos publicado relacionadas con los premios) y te ayudaré. Son solamente unos minutos, y tu voto puede ayudar a que Gaussianos sea finalista en la categoría de Ciencia. Muchas gracias por adelantado.

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Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso

Mié, 11/05/2014 - 05:30

En matemáticas es bien conocido el teorema de los cuatro cuadrados, que dice que todo número entero positivo puede expresarse como suma de los cuadrados de cuatro números enteros. La primera demostración conocida de este resultado se debe a Lagrange, y data de 1770, aunque después ha habido alguna mejora en dicha demostración, como la de Legendre en 1798 que fue terminada por Gauss, y algunas generalizaciones, como el teorema de los números poligonales de Fermat o una debida a Ramanujan.

El caso es que las sumas de cuadrados nos pueden dar más sorpresas aparte de la de este teorema, y una de ellas, de la que vamos a hablar hoy, tiene cierta relación con un cuadro de un artista ruso.

El cuadro en cuestión se titula Contando en sus cabezas, y el autor es el pintor ruso Nikolai Bogdanov-Belsky (1868-1945). Aquí tenéis la obra:

Contando con sus cabezas

(Imagen tomada de aquí.)

En ella se ven unos niños intentando dar la solución a una operación matemática que, se entiende, el profesor les ha planteado escribiéndola en una pizarra. Como veis, la operación es la siguiente:

\cfrac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}

Es sencillo dar el resultado correcto de dicha operación sin necesidad de realizar todas las operaciones a lo bestia. En los comentarios podéis dejar las ideas que se os ocurran, y si no se os ocurre ninguna podéis echar un ojo a los comentarios de este post de Guillermo en La Aldea Irreductible, ya que en ellos aparecen algunas posibilidades.

El caso es que el resultado que parecen buscar con mucho esfuerzo los niños que aparecen en el cuadro es, evidentemente, 2. Y una forma de obtenerlo (aunque incluiría hacer cuentas a lo bruto) es saber que tanto 10^2+11^2+12^2 como 13^2+14^2 dan como resultado 365. Por tanto obtendríamos

\cfrac{365+365}{365}

que es claramente 2.

Es curioso, ¿verdad? Si sumamos los cuadrados de los números 10, 11 y 12 nos da el mismo resultado que se obtiene al sumar los cuadrados de los dos números siguientes, 13 y 14:

10^2+11^2+12^2=13^2+14^2

¿Será esta igualdad un caso aislado? ¿Será éste el único caso en el que ocurre algo parecido? ¿O simplemente se trata de un caso particular de un resultado más general? Pues sí amigos: esta igualdad es en realidad un caso concreto de una propiedad más general que involucra sumas de cuadrados. Dicha propiedad es la siguiente:

Para n \geq 1, si sumamos n+1 cuadrados de números naturales consecutivos comenzando con el cuadrado del número n(2n+1) obtenemos el mismo resultado que si sumamos los cuadrados de los siguientes n números naturales.

Vamos a analizar algunos casos particulares:

  • Para n=1 tenemos que n(2n+1)=3. En este caso sumaríamos n+1=2 cuadrados de números consecutivos comenzando por el 3, 3^2+4^2, y obtenemos el mismo resultado que si tomamos el cuadrado del siguiente número natural, 5^2 (tomamos uno nada más porque n=1). Es decir:

    3^2+4^2=5^2

    que sabemos que es cierto.

  • Para n=2 tenemos que n(2n+1)=10. En este caso sumaríamos n+1=3 cuadrados de números consecutivos comenzando por el 10, que es el caso comentado anteriormente y sacado del cuadro ruso: 10^2+11^2+12^2. Obtendríamos el mismo resultado que si tomamos la suma de los cuadrados de los n=2 siguientes números naturales. Es decir:

    10^2+11^2+12^2=13^2+14^2

    que también hemos visto que es cierto.

  • Para n=3 tenemos que n(2n+1)=21. En este caso sumaríamos n+1=4 cuadrados de números consecutivos comenzando por el 21, 21^2+22^2+23^2+24^2, y obtenemos el mismo resultado que si sumamos los cuadrados de los siguientes n=3 números naturales. Nos quedaría:

    21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2

    Podéis comprobar (os dejo que uséis calculadora) que en ambos lados de la igualdad obtenemos como resultado 2030.

  • Para n=4 comenzamos en n(2n+1)=36 y sumaríamos n+1=5 cuadrados de números consecutivos comenzando por el 36, obteniendo el mismo resultado que si sumamos los cuadrados de los siguientes n=4 números naturales:

    36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2

    En ambos caso nos sale 7230.

Y podríamos seguir con estas reglas, obteniendo siempre el mismo resultado a ambos lados de cada una de las igualdades obtenidas. Precioso resultado, ¿verdad?…

…bueno, en realidad todavía no es un resultado propiamente dicho, ya que no hemos demostrado que esto ocurra siempre. Hemos dado unas reglas y parece que con ellas nuestra propuesta de resultado se va cumpliendo para los primeros valores de n, pero eso no significa que se cumpla para todos. Es decir, lo que hemos planteado es una conjetura. Para que se convierta en un resultado matemático correcto debemos dar una demostración.

Bien, yo he intentado demostrar este hecho por inducción a pelo y la verdad es que es extremadamente engorroso. De hecho he estado un buen rato con ello, pero el proceso es tan farragoso que he desistido. Pero hay una forma relativamente sencilla de demostrarlo, y es la que aparece en este post de Visualizing Math (que es el post que me recordó el tema del cuadro del que me había hablado el propio Guillermo hace ya bastante tiempo). Vamos a intentar reproducirla.

Para empezar vamos a escribir lo que queremos demostrar, que es que si sumamos los cuadrados de n+1 números consecutivos comenzando por el n(2n+1) obtenemos el mismo resultado que si sumamos los cuadrado de los n números siguientes. Es decir, queremos comprobar que la siguiente igualdad es cierta:

\begin{matrix} (n(2n+1))^2+(n(2n+1)+1)^2+ \ldots +(n(2n+1)+n)^2= \\ =(n(2n+1)+n+1)^2+\ldots+(n(2n+1)+n+n)^2 \end{matrix}

Lo que vamos a hacer es trastear esa igualdad y llegar a otra en la que a ambos lados de la misma obtenemos igual resultado. El primer paso es tomar las restas de cada término de la parte derecha con el que está en la misma posición en la parte izquierda (en el orden en el que están colocados ahora). Es decir, tomamos la resta del último de la derecha menos el último de la izquierda, la resta del penúltimo de la derecha menos el penúltimo de la izquierda, y así sucesivamente. Es decir, pasamos a la derecha todos los términos menos el primero y los ordenamos en forma de restas como hemos comentado. El objetivo ahora será ver que si sumamos todos los resultados obtenidos de esas restas nos da exactamente el único término que ha quedado a la izquierda, (n(2n+1))^2.

La resta de los dos últimos términos es

(n(2n+1)+n+n)^2-(n(2n+1)+n)^2

Si consideramos el primer término como el cuadrado de la suma de n(2n+1)+n y n y usamos la identidad notable del cuadrado de una suma (vale, para algo nos valen las identidades notables), el cuadrado del primer término de dicha suma se cancela con el término que teníamos restando, quedando la resta inicial así:

n^2+2n(n(2n+1)+n)

Hacemos lo mismo con las n restas que tendríamos. Por ejemplo, la última resta quedaría así:

(n(2n+1)+n+1)^2-(n(2n+1)+1)^2

Tomando ahora el primer término como el cuadrado de la suma de n(2n+1)+1 y n, y operando igual que antes, el cuadrado del primer término de dicha suma se cancela con el que teníamos restando (como antes). Nos queda lo siguiente:

n^2+2n(n(2n+1)+1)

Vamos a ver ahora qué nos quedaría al sumar todos los resultados de todas esas restas. Tendríamos el término n^2 sumado n veces (una por cada resta), que por tanto quedaría

n^2 \cdot n=n^3

y después tendríamos varios términos multiplicados todos por 2n. Sacando factor común ese 2n obtendríamos la siguiente expresión:

2n \bigg ( (n(2n+1)+1)+(n(2n+1)+2)+ \ldots + (n(2n+1)+n) \bigg )

Si nos fijamos, dentro del paréntesis grande aparece el término n(2n+1) sumado n veces, por lo que dicha suma puede expresarse como

n \cdot (n(2n+1))=2n^3+n^2

El resto de término que aparecen dentro de ese paréntesis grande son 1+2+\ldots+n. Sabemos que esa suma vale

\cfrac{n(n+1)}{2}

Recapitulando, la suma de los resultados de todas las restas que habíamos calculado es la siguiente:

n^3+2n \bigg (2n^3+n^2+\cfrac{n(n+1)}{2} \bigg )

Operando todo esto llegamos fácilmente a que su valor es

4n^4+4n^3+n^2

que es precisamente el valor de (n(2n+1))^2. Con ello queda demostrada nuestra conjetura.

Sí, cierto, esta demostración también queda un pelín engorrosa, pero como he comentado antes no os imagináis lo que es intentar demostrar esta conjetura directamente con inducción. A mí no se me ha ocurrido ninguna otra forma que pueda ser más amigable que la descrita en esta entrada, pero puede que a alguno de vosotros se os encienda la bombilla y encontréis alguna manera de simplificar esta demostración, o quizás alguna otra más sencilla. Si es así os agradecería que nos los contarais en los comentarios.

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Buscando las parejas de enteros

Mar, 11/04/2014 - 04:00

Os dejo hoy martes el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Encuentra todas las parejas de enteros (p,q) para las cuales todas las raíces de los polinomios x^2+px+q y x^2+qx+p son números enteros.

Que se os dé bien.

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Cuartas Clasificaciones Parciales de los Premios Bitacoras 2014

Lun, 11/03/2014 - 10:00

El pasado viernes se publicaron las cuartas clasificaciones parciales de los Premios Bitácoras 2014, en los que Gaussianos participa en la categoría Mejor Blog de Ciencia.

En dicha categoría Gaussianos sube de la cuarta a la tercera posición. Los cinco primeros puestos son los siguientes:

  1. Dimetilsulfuro
  2. Cuentos Cuánticos
  3. Gaussianos
  4. Ciencia de sofá
  5. Ese Punto Azul Pálido

Entramos de nuevo entre los tres finalistas, muy buena noticia. Pero sólo quedan unos días para votar, concretamente hasta este viernes día 7 de noviembre, por lo que todavía no tenemos asegurado un puesto entre esa terna de blogs que acceden a la final de esta categoría. Por eso, si te parece que este blog se merece tu voto debes hacer uso de él en estos días.

Si quieres votar a Gaussianos identifícate en http://bitacoras.com y después haz click en la imagen siguiente:

Si no sabes cómo identificarte en este post te explico cómo hacerlo. Puedes hacerlo a través de la propia web http://bitacoras.com (si tienes cuenta en ella) o mediante tu cuenta de Twitter o Facebook. Y si tienes algún problema al intentar votar comenta en esta entrada (o en cualquier otra de las que hemos publicado relacionadas con los premios) y te ayudaré. Son solamente unos minutos, y tu voto puede ayudar a que Gaussianos sea finalista en la categoría de Ciencia. Muchas gracias por adelantado.

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[Vídeo] Conferencia “Cuestiones matemáticas que me ocultaron en la universidad” en Sevilla

Lun, 11/03/2014 - 05:00

El pasado lunes 22 de septiembre de 2014 impartí la conferencia de bienvenida a alumnos de nuevo ingreso en la Universidad de Sevilla, invitado por el gran José Antonio Prado Bassas (aka Tito Eliatron. El título de la misma fue “Cuestiones matemáticas que me ocultaron en la universidad” y en ella hablé de algunos temas y resultados matemáticos, tratados ya en este blog, de los cuales no me hablaron en mi época universitaria. Lo que perseguía con ello era intentar hacer ver a los chicos y chicas que se incorporan este año al Grado de Matemáticas que hay muchas cosas interesantes (y comprensibles para cualquiera que curse el grado completo) en este mundo matemático que no aprenderán en la universidad y que, por ello, es importante y enriquecedor ampliar información por nuestra cuenta.

El vídeo de la misma ya está disponible gracias a José Jesús Gallego (aka Raven Neo), que se encargó de grabarla y se ha encargado después de subirla al canal de youtube de CIDLabs.

Antes de dejaros el vídeo simplemente comentar que por un pequeño problema con el trípode faltan unos minutos al principio de la conferencia (lo notaréis porque hay un pequeño corte poco después de que Tito Eliatron me presenta). En esa parte de mi intervención realicé para todos los presentes el truco La carta escondida en la suma. Bueno, ahí va el vídeo de la charla:

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¿Qué es un radián?

Jue, 10/30/2014 - 03:30

El pasado mes de mayo de 2014, durante el evento que sirvió como celebración del 50 aniversario de los estudios de Matemáticas en la Universidad de Granada, Juan Medina (uno de los integrantes de la mesa sobre Matemáticas y Redes Sociales que tuve el honor de moderar) habló durante su intervención (por cierto, aquí tenéis la presentación que usó) sobre algunas de las cuestiones que le motivaron a crear su plataforma de vídeos. Entre ellas en mi mente quedó concretamente una, que me pareció bastante interesante y que es la que titula este post: ¿qué es un radián? Juan la citaba en el contexto de que los alumnos aprenden a hacer los ejercicios “tipo” y memorizan ciertas cuestiones (como el tema de los radianes), pero tienen carencias al manejar los propios conceptos (de hecho en ocasiones ni los conocen).

Como esa cuestión concreta se me quedó grabada, y aunque es muy probable que muchos de vosotros sepáis la respuesta, creo que puede interesar hablar un poco sobre él, sobre el radián.

El radián, al igual que el grado sexagesimal, es una unidad de medida de ángulos (de hecho es la medida de ángulo plano del Sistema Internacional de Medidas (como podéis comprobar en la página 118 de este pdf). Es decir, igual que podemos medir longitudes con metros o masas con gramos también podemos medir ángulos con radianes, expresándolo en ese caso con rad o sin nada. Por cierto, la aparición del radián data del último tercio del siglo XIX, y parece que el primero que lo utilizó fue James Thompson, ingeniero y físico hermano de Lord Kelvin. (Fuente: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.)

Pero volvamos a hacernos la pregunta principal de esta entrada: ¿qué es exactamente un radián? Aquí tenéis su definición:

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

Es decir, si nuestra circunferencia tiene radio R, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud R:

Bien, ya que sabemos qué es un radián vamos a relacionarlo con la otra unidad de medida de ángulos que conocemos: el grado sexagesimal (o simplemente grado). La equivalencia entre estas dos medidas es la siguiente:

180^\circ=\pi \, rad

Por tanto, un radián corresponde a, aproximadamente, 57.295^\circ.

Siguiendo con esto, ¿qué pinta aquí, de nuevo, el número \pi? Veamos. En general, la medida en radianes de un ángulo en una circunferencia es igual a la longitud del arco que abarca dividida entre el radio de dicha circunferencia:

\theta _{rad}=\cfrac{Longitud \; del \; arco}{R}

Si tomamos una semicircunferencia, cuya longitud es \pi R (como todos deberíamos saber), entonces tenemos lo siguiente:

\theta _{semicircunferencia}=\cfrac{\pi R}{R}=\pi

Como sabemos que una semicircunferencia corresponde a un ángulo de 180^\circ ya tenemos nuestra relación: 180^\circ=\pi.

Por tanto, a una circunferencia completa, que sabemos que abarca 360^\circ, le corresponden 2 \pi radianes. Esto es evidente a partir de lo comentado anteriormente, aunque es mucho más mejor verlo en este delicioso gif que encontré aquí (donde, por cierto, aparecen más gifs interesantes sobre matemáticas):

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

Seguimos con más preguntas: ¿por qué cuando usamos funciones trigonométricas en cálculo solemos trabajar con radianes? Pues muy sencillo: porque las expresiones de muchos resultados quedan mucho mejor si trabajamos en radianes. Como dicen en la página de la Wikipedia en inglés dedicada al radián:

Los radianes poseen una “naturalidad” matemática que lleva a una formulación más elegante de unos cuantos resultados importantes.

Por ejemplo, si expresamos \theta en radianes conservamos este bonito límite:

\displaystyle{\lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen(\theta)}{\theta}=1}

O también la preciosidad de serie de Taylor a la que es igual la propia función sen(x):

sen(x)=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+ \ldots

Bueno, pues ya sabemos lo que es un radián y la forma de convertir radianes en grados y viceversa. Por tanto ya sabemos expresar en radianes ciertos ángulos que suelen aparecernos en grados en muchas ocasiones, como pueden ser 30^\circ, 60^\circ ó 90^\circ. Creo que entonces es el momento de recordar cómo calcular las razones trigonométricas de algunos de estos ángulos del primer cuadrante y también cómo usar esa información para calcular dichas razones trigonométricas para algunos ángulos importantes del resto de cuadrantes.

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Encuentra el valor de la suma de potencias

Mar, 10/28/2014 - 04:30

Vamos con el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sabiendo que el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{matrix} x+y+z=3 \\ x^3+y^3+z^3=15 \\ x^4+y^4+z^4=35 \end{matrix}

tiene una solución real x, y, z que cumple que x^2+y^2+z^2 < 10, encuentra el valor de x^5+y^5+z^5 para dicha solución.

Que se os dé bien.

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[Vídeo] Un millón de dígitos de Pi impresos en una tira continua de papel

Lun, 10/27/2014 - 06:00

¿A quién no se le ha ocurrido en algún momento de su vida tomar el primer millón de dígitos de Pi e imprimirlos en papel? Bueno, pues a nuestros amigos de Numberphile sí se les ha ocurrido, y lo han hecho. Y se han ido a un aeropuerto para extender una tira de papel continua en la que ese millón de dígitos aparecen uno tras el otro. Aquí tenéis la prueba en vídeo, en el que además de enseñarnos ese “papelito” de casi 1700 metros nos muestran algunas curiosidades relacionadas con ese millón de dígitos: nos muestran el punto de Feynman, el decimal hasta el que llegó la persona que tiene el récord de memorización de dígito de Pi, que es el 67890 (aunque yo tenía entendido que el récord era mayor), qué decimal hay en la posición 500000, cuál es la cadena más larga de dígitos de entre este millón en la que hay una cifra que no aparece o cuál es el dígito que ocupa la posición un millón. Os dejo con Mile of Pi:

Si alguien está interesado en saber cómo fue todo el proceso de impresión, tenemos otro vídeo relacionado con ello. En él, por ejemplo, nos explican que eligieron el tipo de letra Courier new a tamaño 8. Aquí tenéis The Making of a Mile of Pi:

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Terceras Clasificaciones Parciales de los Premios Bitacoras 2014

Sáb, 10/25/2014 - 05:30

Ayer viernes se publicaron las terceras clasificaciones parciales de los Premios Bitácoras 2014, en los que Gaussianos participa en la categoría Mejor Blog de Ciencia.

En dicha categoría Gaussianos sube de la quinta a la cuarta posición. Los cinco primeros puestos son los siguientes:

  1. Ciencia de sofá
  2. Cuentos Cuánticos
  3. Dimetilsulfuro
  4. Gaussianos
  5. La pizarra de Yuri

Subimos un puesto, pero todavía no estamos dentro de los tres finalistas. Quedan un par de semanas para votar y todavía hay posibilidades de quedar entre las tres posiciones que optarán al premio final. Si quieres votar a Gaussianos identifícate en http://bitacoras.com y después haz click en la imagen siguiente:

Si no sabes cómo identificarte en este post te explico cómo hacerlo. Puedes hacerlo a través de la propia web http://bitacoras.com (si tienes cuenta en ella) o mediante tu cuenta de Twitter o Facebook. Y si tienes algún problema al intentar votar comenta en esta entrada (o en cualquier otra de las que hemos publicado relacionadas con los premios) y te ayudaré. Son solamente unos minutos, y tu voto puede ayudar a que Gaussianos sea finalista en la categoría de Ciencia. Muchas gracias por adelantado.

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Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel

Jue, 10/23/2014 - 05:30

Hace un tiempo, sobre todo a raíz de algunos textos que leí acerca de la “aplicación” de los teoremas de incompletitud de Gödel a temas con los que no tienen ninguna relación, volvió a mi cabeza la idea de hablar sobre estos teoremas en el blog. Para ello preferí intentar contar con la colaboración de algún especialista en el tema, y casi automáticamente vino a mi mente el nombre de Gustavo Piñeiro, matemático argentino, autor junto a Guillermo Martínez del libro Gödel para Todos (editado en 2009 en Argentina y en 2010 en España y que ya os recomendé para el día del libro en 2012) y responsable del blog El Topo Lógico, dedicado a la divulgación de la matemática.

Gustavo accedió gustosamente a mi sugerencia de colaboración, y hoy, por fin, se publica el texto que escribió sobre el primer teorema de incompletitud de Gödel para Gaussianos. Espero que os aclare todas vuestras dudas sobre ello. Y si no es así ya sabéis que tenéis los comentarios de este post para plantearlas.

El Programa de Hilbert

Los dos teoremas de incompletitud de Gödel, publicados en 1931, forman parte de una larga polémica relativa a los fundamentos de las matemáticas. Esta polémica había comenzado a finales del siglo XIX a causa de los trabajos de Georg Cantor sobre los conjuntos infinitos, y se había exacerbado a principios del siglo XX con el descubrimiento de la Paradoja de Russell.

En esta polémica, la escuela intuicionista, encabezada por L.E.J. Brouwer, sostenía que el uso que había hecho Cantor del infinito en acto era absurdo e injustificado y que toda su teoría no era más que un juego de palabras sin sentido. Los únicos objetos matemáticos válidos, sostenía esta escuela, son aquellos que se pueden construir algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

David HilbertPero el gran matemático alemán David Hilbert no estaba para nada de acuerdo con la idea de descartar la teoría de Cantor y hacia 1920 intervino en la polémica para proponer una alternativa al intuicionismo. Fue así como, en una serie de artículos publicados a lo largo de los diez años siguientes, le dio forma al llamado Programa de Hilbert, el cual, en esencia, llevaba la exigencia de finitud y de constructividad de los objetos matemáticos a los razonamientos matemáticos.

Con más precisión, Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Para evitar polémicas, y para asegurarse de que no surgieran nuevas paradojas, esta ciencia sería puramente finitista, es decir, la metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía algorítmicamente.

Con más precisión, el Programa de Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la aritmética que cumpliera estas cuatro condiciones:

1. El sistema debía ser consistente; es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables a partir de los axiomas.

2. La validez de cualquier demostración basada en esos axiomas debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable a partir de los axiomas.

4. La consistencia de los axiomas (es decir, la validez de la primera condición) debía ser verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos.

(La aritmética es la teoría que habla de la suma y el producto de los números naturales. Hilbert consideraba que era ésta la teoría fundamental de la Matemática, y no la Teoría de Conjuntos.)

Los teoremas de Gödel

Kurt GödelEn un congreso sobre los fundamentos de las matemáticas celebrado en la ciudad de Königsberg en septiembre de 1930 Arend Heyting, en representación de la escuela intuicionista, dio por terminada la polémica al aceptar que el Programa de Hilbert era el camino que debía seguir el pensamiento matemático. Pero lamentablemente para Hilbert, en ese mismo momento un joven y aún desconocido Kurt Gödel pidió la palabra para decir que él acababa de demostrar dos teoremas que probaban que el Programa de Hilbert era completamente irrealizable.

Concretamente, el primer teorema de incompletitud de Gödel, el más famoso de los dos, dice que si se cumplen las dos primeras condiciones planteadas por Hilbert entonces la tercera nunca podrá cumplirse. Es decir, si el sistema de axiomas es consistente y sólo se admiten demostraciones que sean verificables algorítmicamente, entonces siempre habrá un enunciado P tal que ni él si su negación son demostrables. El segundo teorema, al que no nos referiremos aquí, dice que si se cumplen las dos primeras condiciones y una versión más débil de la tercera entonces es la cuarta condición la que no podrá cumplirse.

La demostración del primer teorema

Vamos a explicar las ideas principales de la demostración del primer teorema de incompletitud de Gödel. Imaginemos entonces que se ha dado un sistema de axiomas para la aritmética que es consistente y supongamos además que sólo admitimos demostraciones verificables algorítmicamente. Tenemos que demostrar entonces que existe un enunciado, al que llamaremos G, tal que ni él ni su negación son demostrables a partir de esos axiomas mediante las demostraciones admitidas.

El primer paso de la demostración consiste en asignar a cada enunciado aritmético un número natural, al que llamaremos el número de Gödel de ese enunciado. Por ejemplo, al enunciado “2 es par” podría corresponderle el número 19, mientras que al enunciado “9 es primo” podría corresponderle el número 44.

Debemos hacer aquí dos aclaraciones importantes. La primera es que la asignación de números de Gödel alcanza a todos los enunciados, tanto a los verdaderos como a los falsos. La segunda aclaración es que ; los ejemplos dados más arriba son meramente hipotéticos y sirven solamente para facilitar la comprensión de la idea. Para asignar realmente los números de Gödel a los enunciados estos deben estar previamente escritos en un lenguaje formal específico y la asignación en sí se hace mediante fórmulas claramente definidas. Además, los números de Gödel, en general, tienen una enorme cantidad de cifras (más detalles pueden verse en este enlace).

Segunda parte de la demostración

Una vez que se han asignado todos los números de Gödel queda perfectamente establecido cuál es el conjunto de estos números que corresponden a los enunciados que son demostrables a partir de los axiomas dados. La segunda parte de la demostración del primer teorema de incompletitud consiste en probar que este conjunto puede definirse usando solamente propiedades aritméticas. Es decir, el conjunto formado por los números de Gödel de los enunciados demostrables es definible mediante propiedades puramente numéricas.

Normalmente esa propiedad numérica es terriblemente compleja de expresar; pero para que se entienda la idea vamos a suponer que los números de Gödel de los enunciados demostrables son exactamente los números que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos. Por ejemplo, dado que 3 – 5 + 7 = 5, entonces el número 5 es el número de Gödel de un enunciado demostrable; lo mismo sucede con el 13, que es -5 + 7 + 11. El 2, en cambio, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos, por lo que 2 no es el código de un enunciado demostrable (siempre entendemos “demostrable a partir de los axiomas dados”).

Es interesante observar que es en esta parte del razonamiento donde interviene la suposición de que las demostraciones aceptadas por el programa de Hilbert son aquellas que son verificables algorítmicamente. En efecto, si esta condición no se cumpliera entonces no hay modo de garantizar que el conjunto de los números de Gödel de los enunciados demostrables puede caracterizarse aritméticamente.

El método de autorreferencia

La tercera parte de la demostración consiste en probar que, dada cualquier propiedad aritmética P, existe un número k tal que al enunciado “k cumple la propiedad P” le corresponde ese mismo número k. Podemos llamar a esta idea el método de autorreferencia, ya que el enunciado en esencia está diciendo “Mi número de Gödel cumple la propiedad k”.

Este método nos dice entonces que existe un número n tal que al enunciado “n no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos” le corresponde como número de Gödel precisamente el número n. Supongamos, para fijar ideas, que ese número n es el 43. Es decir, estamos suponiendo que al enunciado, que llamaremos G, que dice “43 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos” le corresponde el número de Gödel 43.

Notemos que G dice “Mi número de Gödel no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos”, y como estamos suponiendo que ésa es la propiedad que caracteriza a los números de Gödel de los enunciados demostrables entonces G está diciendo: “Mi número de Gödel no corresponde a un enunciado demostrable”. En definitiva, G dice: “Yo no soy demostrable”.

Conviene destacar aquí que la referencia a los números que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos sólo sirve a modo de ejemplo hipotético y con fines puramente didácticos. En realidad Gödel demuestra que, sin importar cuáles sean los axiomas propuestos, si se cumplen las dos primeras condiciones del Programa de Hilbert siempre es posible hallar un enunciado aritmético que puede parafrasearse como “Yo no soy demostrable”.

La cuarta, y última parte, de la demostración del primer teorema de Gödel consiste en probar que ni G ni su negación son demostrables a partir de los axiomas dados. Para facilitar la explicación de esta última parte vamos a suponer que los axiomas que se han dado son todos enunciados verdaderos, una suposición que parece evidente, pero que la demostración que hizo Gödel en realidad no necesita (para Gödel es suficiente con que el sistema sea consistente; los axiomas, en la versión original del teorema, no necesitan se verdaderos).

Tenemos entonces que el enunciado G es un enunciado aritmético que dice esencialmente “G no es demostrable a partir de los axiomas dados”.

Observemos que si todos los axiomas son todos enunciados verdaderos entonces los enunciados que pueden demostrarse a partir de ellos también son verdaderos. Ahora bien, el enunciado G puede ser verdadero o falso. Si fuera falso, entonces, leyendo lo que dice, deduciríamos que G sí es demostrable. Tendríamos así un enunciado falso y demostrable, pero esto, por lo dicho más arriba, es imposible.

Luego G es verdadero, pero como es verdadero entonces, tomando en cuenta lo que dice de sí mismo, deducimos que no es demostrable a partir de los axiomas dados. Luego G es verdadero, pero no demostrable. Observemos que la negación de G, dado que es falsa, tampoco es demostrable. Es decir, ni G ni su negación son demostrables a partir de los axiomas dados. Esto completa la demostración del primer teorema de Gödel.

Esta es la tercera contribución de Gaussianos a la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a @cuantozombi en su blog El zombi de Schrödinger.

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Parejas en la sucesión de Fibonacci

Mié, 10/22/2014 - 05:00

Vamos con el problema semanal. Ahí va:

Dada la sucesión de Fibonacci \{ F_n \} = \{1,1,2,3,5,8,13, \ldots \}

  1. encuentra todas las parejas \{ a,b \} de números reales para los cuales se cumple que

    a F_n + b F_{n+1}

    es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo n natural.

  2. encuentra todas las parejas \{ u,v \} de números reales positivos que cumplen que

    u (F_n)^2 + v (F_{n+1})^2

    es un elemento de la sucesión de Fibonacci para todo n natural.

Que se os dé bien.

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