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Actualizado: hace 7 horas 3 mins

Cómo detectar números primos usando el triángulo de Pascal

Mar, 02/28/2017 - 06:30

En el conocidísimo triángulo de Pascal pueden encontrarse multitud de tesoros matemáticos (recopilé unos cuantos aquí). Algunos de ellos son fáciles de localizar, pero otros están algo más escondidos. Hoy hablaremos de cómo encontrar la sucesión de Fibonacci y los ¡¡números primos!! en este interesante triángulo numérico.

¿Que no sabes qué es el triángulo de Pascal? Pues aquí lo tienes. Cada fila tiene unos a izquierda y derecha, y cada posición intermedia se calcula sumando los dos números que tiene justo encima:

Triángulo de Pascal

En este blog ya hemos tratado algunos de estos tesoros de los que hablábamos al principio. Hemos visto su relación con los números de Catalan; vimos cómo encontrar el número e y el número Pique aparecen relacionados con el número 89 y el número 109; presentamos una interesante conjetura sobre sus elementos y también enseñamos una forma de relacionar el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

…y por ahí vamos a comenzar. La relación que vimos en aquella entrada es la que se puede ver en la siguiente imagen:

Pues hace poco me encontré una anotación en Futility Closet en la que daban otra forma de encontrar los números de Fibonacci en el triángulo de Pascal. La cuestión es como sigue:

Coloca la primera fila, el 1, y luego coloca el resto de filas desplazadas una posición hacia la derecha respecto de la fila justo anterior. Si ahora sumamos las columnas que nos quedan, obtenemos los números de la sucesión de Fibonacci:

Precioso, ¿verdad? Pues sí…pero si le echamos un nuevo vistazo a la tabla con las filas desplazadas y a la imagen que puse antes sobre los números de Fibonacci…¿lo veis? Exacto: son la misma cosa. Por lo que, por ahora, esto no aporta mucho más que lo que ya teníamos.

La cosa es que, al final de aquel post de Futility Closet, aparecía un enlace a otro post del mismo blog en el que se hablaba de números primos y el triángulo de Pascal (concretamente éste). Y de ello vamos a hablar ahora.

Lo que nos enseñaba Greg Ross en aquella entrada era una forma de detectar números primos usando los elementos del triángulo de Pascal de una manera cuando menos curiosa, y vamos a explicarla. Creamos una tabla en la que colocamos los enteros mayores o iguales que cero en la primera fila y en la primera columna, y dentro colocamos las filas del triángulo de Pascal de manera que la fila n comience en la columna 2n. Es decir, la fila 0 comenzará en la fila 2·0=0, la fila 1 en la columna 2·1=2, la fila 2 en la columna 2·2=4, y así sucesivamente. Las 8 primeras filas quedarían de la siguiente forma:

¿Cómo podemos ahora detectar números primos? Pues así:

Un número de la fila superior es primo si cada uno de los elementos de su columna es divisible por su correspondiente número de fila.

Podéis ver que este resultado se cumple en la tabla que hemos visto justo antes. Se puede ver que los números primos, recuadrados en rojo, cumplen que todos los elementos de su columna son divisibles entre los de la fila a la que pertenecen:

Este curioso resultado data de 1971 y fue demostrado por Henry B. Mann y Daniel Shanks. Podéis ver la demostración (bastante corta y sencilla) en A necessary and sufficient condition for primality, and its source.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro querido amigo Tito Eliatron.

“Las matemáticas de la fórmula de puntuación de exámenes test”, nuevo artículo en “El Aleph”

Jue, 02/23/2017 - 10:30

Como todas las semanas desde hace unos meses, ayer miércoles, 22 de febrero, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la fórmula para puntuar en exámenes test y su explicación matemática.

Las matemáticas de la fórmula de puntuación de exámenes test

Estoy seguro de que todos los que estáis leyendo este artículo habéis hecho en alguna ocasión un examen tipo test durante vuestra vida académica. Si hacéis memoria, seguro que recordaréis que en esos exámenes todos nos preocupábamos por saber cosas como si las preguntas que dejábamos en blanco nos iban a restar puntuación o cuánto nos iba a penalizar una pregunta fallada. Había veces en las que esos fallos no restaban (es raro, pero conozco algún caso), pero lo normal era lo contrario. Lo curioso era que no siempre restaban lo mismo. Hoy vamos a hablar sobre cuál sería la fórmula correcta para puntuar en un test, y vamos a explicarlo matemáticamente.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro querido amigo Tito Eliatron.

“Königsberg, Euler y dibujos en un solo trazo”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 02/19/2017 - 12:45

Como todas las semanas, el miércoles, 15 de febrero, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la historia de los puentes de Königsberg y cómo encontrar caminos eulerianos en un grafo.

Königsberg, Euler y dibujos en un solo trazo

Con relativa frecuencia, podemos encontrar acertijos que nos proponen decidir si en cierta composición de líneas y puntos podemos recorrer, comenzando por uno de esos puntos, todas las líneas, pasando exactamente una vez por cada una de ellas. Vamos, que si podemos replicar el dibujo con un solo trazo sin repetir líneas. Dos ejemplos típicos son el sobre cerrado y el sobre abierto.

¿Se puede siempre? Y, en caso de que la respuesta sea negativa, ¿cuándo se puede? Hoy hablaremos sobre este tema, muy relacionado con los comienzos de una de las ramas de las matemáticas más importantes y con más aplicaciones de nuestro tiempo: la teoría de grafos.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Ha muerto Raymond Smullyan, DEP

Lun, 02/13/2017 - 04:30

Hace un par de días, me enteré de la triste noticia del fallecimiento de Raymond Smullyan a los 97 años. Su muerte, el pasado lunes 6 de febrero, nos deja sin uno de los mayores creadores de problemas de lógica de la historia.

Raymond Smullyan, estadounidense, era matemático, pianista, lógico, filósofo, mago y humorista, pero, sin lugar a dudas, destacó principalmente en el campo de la lógica. Creó multitud de ingeniosos juegos de lógica, y publicó una buena cantidad de libros sobre ello (y sobre otras ramas). Las obras de Smullyan que más conozco son Satán, Cantor y el Infinito y ¿Cómo se llama este libro?, del que he sacado algún problema de lógica para publicar en este blog: Twedledum, Twedledee y Twedeldoo y La isla de Baal.

En lo que se refiere a su vida académica, Smullyan fue, en parte, autodidacta en su formación matemática. En edades tempranas, estuvo dudando en si orientar su vida hacia la música o hacia las matemáticas, y acabó decidiéndose por ésta última. Por ello, obtuvo su doctorado bastante tarde (en 1959, bajo la supervisión de Alonzo Church), cuando ya contaba con 40 años, en la Universidad de Princeton.

Como decíamos, Smullyan escribió libros de varias disciplinas, como filosofía, ajedrez o libros académicos, pero son sus obras sobre problemas lógicos las que le han dado mayor fama. Posiblemente, las más famosas son las dos que citaba un poco más arriba y ¿La dama o el tigre?, cuyo título sirve también como título para uno de sus acertijos más conocidos. Os lo dejo aquí, y os ofrezco los comentarios de esta entrada para darnos lass respuesta y los argumentos lógicos para llegar a ellas:

La dama o el tigre:

Un rey toma a uno de sus prisioneros, lo coloca delante de dos puertas y le dice que destrás de ellas puede haber una dama (con la que se podría casar) o un tigre (podría ser que en ambas hubiera damas o en amabas tigres). Cada puerta tiene un letrero, y el rey le dará pistas lógicas sobre ellos. El objetivo del prisionero es, razonando correctamente, abrir una puerta donde haya una dama.

  • La primera prueba, con el primer prisionero, es como sigue. Los letreros son los siguiente:

    Puerta 1: En esta habitación hay una dama y en la otra hay un tigre.
    Puerta 2: En una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones hay un tigre.

    El rey indica que uno de letreros es cierto y el otro es falso. Y la pregunta es:

  • La segunda prueba, con otro prisionero, es la siguiente. Éstos son los letreros:

    Puerta 1: Al menos en una de estas habitaciones hay una dama.
    Puerta 2: Hay un tigre en la otra habitación.

    En este caso, el rey dice que o ambos letreros dicen la verdad o ambos letreros mienten. Sabiendo esto, ¿qué puerta tendría que abrir este segundo prisionero?

  • Y ahora la tercera prueba, con un nuevo prisionero. Letreros:

    Puerta 1: O hay un tigre en esta habitación o una dama en la otra.
    Puerta 2: Hay una dama en la otra habitación.

    En este caso, también se cumple que ambos letreros son ciertos o ambos son falsos. Con esta información, ¿qué puerta abriríais si estáis en el lugar del prisionero?

Para terminar, os dejo un par de obituarios sobre Raymond Smullyan que he encontrado por internet:

Desde 1982, era Profesor Emérito de la Universidad de Nueva York.

El mapa de las matemáticas

Dom, 02/12/2017 - 06:30

¿Te gustaría conocer cuáles son algunas de las ramas en las que se dividen las matemáticas? ¿Quieres tener una idea aproximada de cómo se estructuran dichas ramas? ¿Te interesa tener un ? Entonces tienes que ver el mapa de las matemáticas que ha creado Dominic Walliman.

De entrada, aquí tenéis dicho mapa en forma de imagen:

Comentemos algunos de los detalles del mismo. En el centro, podéis ver algo relacionado con la historia de los números. Si vamos analizando el mapa del centro hacia afuera, vemos que Dominic divide las matemáticas en puras y aplicadas Por el lado de las académicas podemos encontrar ramas como la geometría, la topología, el álgebra, la geometría fractal, la teoría de números, los sistemas dinámicos, la teoría de conjuntos o la lógica matemática; y por el lado de las aplicadas tenemos, entre otras, la estadística, la teoría de juegos, la física matemática, la economía, la ingeniería o la criptografía.

Si queréis ver más sobre todos estos temas dentro del mapa, os recomiendo que veáis este vídeo:

Y si habéis pensado que el mapa sería una buena imagen para camisetas, tazas, etc, siento deciros que se os han adelantado. Tienen una tienda online en la que puede comprarse este mapa en muchos formatos, además de tazas, camisetas, fundas de móviles, bolsos o mochilas decoradas con él.

También podéis descargarlo desde Flickr, donde lo han subido con licencia Creative Commons para usarlo con fines no comerciales.

Sin duda, un trabajo muy interesante el realizado por Dominic Walliman. Enhorabuena.

“El enigma del 196”, nuevo artículo en “El Aleph”

Sáb, 02/11/2017 - 11:30

El pasado miércoles 8 de febrero publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que hablé sobre los números de Lychrel.

El enigma del 196

Las curiosidades numéricas han fascinado a muchísimos matemáticos (y no matemáticos) desde la antigüedad. Algunas involucran solamente a los números primos, otras hablan exclusivamente de números compuestos; algunas tienen como protagonistas a las potencias de algunos números y otras se refieren a alguna colocación concreta de sus dígitos (sirva el problema de la constante de Kaprekar, 6174, como ejemplo).

De entre todas ellas, desde siempre me han gustado las que están relacionadas con los números capicúas, esos números (también denominados palíndromos) que son iguales tanto si los leemos de izquierda a derecha como si lo hacemos de derecha a izquierda: 55, 141, 34543…

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Sin π no soy nada”, certamen de celebración del Día de Pi en España

Vie, 02/10/2017 - 06:30

El próximo día 14 de marzo se celebra mundialmente, como todos los años, el día de Pi. Y este año, la RSME, junto con la Consejería de Economía y Conocimiento de la Junta de Andalucía, la Fundación DESCUBRE, la Sociedad THALES y la FESPM, nos presentan Sin π no soy nada, un evento que girará en torno al número Pi y que contará con una gran variedad de actividades, siendo Sevilla la ciudad en la que se celebrarán las presenciales.

Para ese día, Clara Grima (presidenta de la Comisión de Divulgación de la RSME) y sus secuaces nos han propuesto a todos los miembros de la comunidad educativa (y artística) que presentemos distintas propuestas de trabajos relacionados con el número Pi:

  • Para estudiantes (hasta bachillerato): podrán presentar relatos, vídeos y/o comics relacionados con el número Pi. Podéis ver todos los detalles aquí.
  • Para docentes: podrán presentar materiales y recursos didácticos relacionados con el número Pi en cualquier formato (vídeo, póster, presentación, unidad didáctica…). Tenéis todos los datos aquí.
  • Concurso para el Cartel de 2018: también se propone un concurso para la creación del cartel de la edición del próximo año 2018. Aquí tenéis todo lo necesario si queréis participar.

MUY IMPORTANTE: la fecha límite de envío de trabajos es, en todos los casos, el 28 de febrero de 2017.

También para el 14 de marzo, nos propone que hablemos de todo esto en Twitter con la iniciativa π en un tuit. Más o menos, la cosa sería así:

…os invitamos a que el día 14 de marzo de 2017, publiques un tuit, de manera que el número de letras de cada palabra se corresponda con las sucesivas cifras del número π.

Para facilitar la redacción del tuit puedes comenzar por cualquiera de las infinitas cifras de pi, utilizando las cifras en la forma descrita anteriormente. En este caso, es conveniente que previamente indiques las cifras utilizadas.

Los tuits deben tener fecha de ese día 14 de marzo de 2017 y deben contener el hashtag #PiTuit. Podéis ver todos los detalles aquí.

Y, como comentaba al principio, también habrá un evento presencial con ponencias el viernes 17 de marzo en Sevilla. Tenéis el programa y los ponentes aquí. Por cierto, debido a la gran cantidad de solicitudes que han recibido, las inscripciones para este evento presencial ya están cerradas. Huele a exitazo.

Por mi parte, ya estoy pensando en algún tuit interesante para la iniciativa #PiTuit. También republicaré en mi cuenta de Twitter y en la página de Facebook del blog algunos de los artículos que he escrito el Día de Pi en años anteriores. Y, si tengo el tiempo suficiente, habrá post nuevo dedicado al número Pi. Y sobre esto, por si no estoy muy inspirado acepto propuestas para ese artículo. Los comentarios, como siempre, están a vuestra disposición.

“La resolución de la cúbica: una historia llena de historias”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Jue, 02/09/2017 - 11:30

El pasado miércoles 1 de febrero publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que hablé sobre la historia de la resolución de la cúbica.

La resolución de la cúbica: una historia llena de historias

Unos de los temas relacionados con matemáticas que se tratan durante nuestra vida académica es el de la resolución de ecuaciones. Aprendemos a resolver muchos tipos (exponenciales, logarítmicas, racionales, trigonométricas…), pero analizando los métodos de resolución podemos concluir que muchas de ellas se reducen a resolver una ecuación polinómica. Por tanto, los métodos de resolución de estas ecuaciones polinómicas tienen una gran importancia dentro de esta parte de nuestra formación matemática.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“El grafo adivinador de la letra del DNI”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 01/29/2017 - 14:33

El pasado miércoles 25 de enero publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que escribo sobre la relación entre los grafos y la letra del DNI.

El grafo adivinador de la letra del DNI

En más de una ocasión he hablado con gente sobre si saben cómo se asigna la letra del DNI, y en la mayoría de los casos he recibido la misma respuesta: no lo sé. Casi todos me acaban diciendo que piensan que podría ser una asignación al azar, aunque en ocasiones (pocas) me he encontrado con gente que cree que debe haber una especie de fórmula que se encargue de esta tarea. La realidad es que son estos últimos quienes están en lo cierto. En el presente artículo vamos a hablar sobre cómo se hace este cálculo de la letra del DNI y también explicaremos cómo construir un grafo adivinador de la letra del DNI.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog del IMUS..

“¿Es muy difícil (estadísticamente) no dar ni una?”, nuevo artículo en “El Aleph”

Vie, 01/20/2017 - 07:35

Este miércoles 18 de enero publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que trato el tema de la probabilidad de tener que repetir un sorteo en el amigo invisible.

¿Es muy difícil (estadísticamente) no dar ni una?

El conocido como amigo invisible es un “juego” muy popular en grupos de amigos, familiares o compañeros de trabajos, sobre todo en épocas como la recientemente terminada Navidad. Aunque imagino que no habrá nadie que no sepa en qué consiste, creo que conviene recordar su funcionamiento:

Se escriben en papelitos los nombres de todos los participantes y se mezclan dichos papelitos. Después, cada participante escoge al azar uno de ellos y debe hacer un regalo a la persona cuyo nombre aparece en él. Si alguien coge el papel que tiene su propio nombre, el sorteo se repite.

Hoy vamos a hablar precisamente sobre esto último, sobre cuál es la probabilidad de que el sorteo no se tenga que repetir. Es decir, vamos a hablar sobre la probabilidad de que en el primer sorteo no haya nadie que coja el papelito con su propio nombre, sobre la probabilidad de que nadie “acierte” con su nombre. Antes de seguir, quizás sea interesante que penséis sobre cuál podría ser dicha probabilidad. Intentadlo, haced un pequeño ejercicio mental y pensad sobre ello.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Pelos, saludos y palomas”, nuevo artículo en “El Aleph”

Mar, 01/17/2017 - 06:30

La pasada semana, concretamente el miércoles 11 de enero, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre el principio del palomar.

Pelos, saludos y palomas

¿Hay en España dos personas que tengan exactamente el mismo número de pelos en la cabeza? Esta extraña pregunta, y otras más o menos curiosas, pueden responderse utilizando un resultado matemático que destaca por su extremada sencillez: el principio del palomar.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“¿Por qué las antenas parabólicas son parabólicas?”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Dom, 01/15/2017 - 15:00

La semana pasada, el miércoles 4 de enero, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre las matemáticas de las antenas parabólicas.

¿Por qué las antenas parabólicas son parabólicas?

En ocasiones, los estudios y trabajos matemáticos se consideran innecesarios, prescindibles o una pérdida de tiempo aludiendo, principalmente, falta de utilidad o nulas aplicaciones prácticas de los mismos. Hoy, en este artículo, os traigo un caso que ejemplifica que estos estudios son necesarios, aunque en un principio no se les vea aplicación práctica, ya que nunca se sabe cuándo ni dónde podremos encontrarles utilidad: las antenas parabólicas. Su forma no alude a una cuestión estética ni a un capricho de algún fabricante, sino que responde a una cuestión meramente matemática, que concretamente usa de forma muy inteligente una propiedad de las parábolas conocida desde hace casi 2000 años.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Representando números con los dígitos del 1 al 9 “like a boss”

Jue, 01/12/2017 - 06:30

Tienes a tu disposición los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y las operaciones suma, resta, multiplicación, división y potenciación. También puedes usar paréntesis y concatenar números (por ejemplo, puedes escribir 34). Puedes usar todas las operaciones o sólo algunas, pero estás obligado a usar todos los números. Con estas normas, ¿cuántos números enteros positivos serías capaz de representar?

Por ejemplo, ¿sabrías representar el 1371? Piénsalo, prueba, y después baja un poco…

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…¿ya? Aquí tienes una opción:

1371=18+435 \cdot 2+69 \cdot 7

Si habéis probado durante un rato, igual habéis encontrado otras opciones. Aquí os presento dos más:

\begin{matrix} 1371=12 \cdot (3+45)+6+789 \\ \\ 1371=9 \cdot 8+7+6 \cdot 5 \cdot 43+2 \cdot 1 \end{matrix}

Estas dos posibilidades tienen, cada una de ellas, una característica que no tiene la anterior. La primera utiliza los números disponibles en orden ascendente, y la segunda los usa en orden descendente. Por poner otro ejemplo, aquí tenéis las representaciones ascendente y descendente para el año 2017 que acabamos de empezar:

\begin{matrix} 2017=12^3+4 \cdot 56+7 \cdot 8+9 \\ \\ 2017=98+7 \cdot 6+5^4 \cdot 3 +2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá hacer esto con todos los enteros positivos, digamos, hasta el 1000? ¿Y hasta el 10000? ¿Se podrá hacer con todos los enteros positivos o habrá alguno para el que no se pueda? ¿Existirá alguien en nuestro planeta que tenga tiempo y ganas para ir buscando este tipo de representaciones número a número?

Para esta última pregunta tenemos respuesta: Inder J. Taneja, profesor de matemáticas de la Universidade Federal de Santa Catarina, en Brasil. El señor Taneja ha encontrado representaciones ascendentes y descendentes de la forma comentada antes para todos los números enteros desde el 0 hasta el 11111. El trabajo en el que se puede ver todas estas representaciones está disponible en arXiv: Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9 (es su quinto trabajo relacionado con este tema). Aquí tenéis una captura de una de las páginas del mismo:

Hace un momento os he dicho que Taneja ha representado así todos los enteros desde el 0 hasta el 11111, pero en realidad esto no es cierto: hay uno que se le ha resistido. Más concretamente, no ha encontrado representación ascendente para el 10958, aunque sí ha encontrado la descendente:

10958=(9+8 \cdot 7 \cdot 65+4) \cdot 3-2+1

Por otra parte, en su trabajo también señala que hay 8 números para los cuales ha necesitado utilizar la división:

\begin{matrix} 9668=-9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9686=9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9986=(12+3)^4/5-67-8 \cdot 9 \\ \\ 10084=(12+3)^4/5+6-7 \cdot 8+9 \\ \\ 10121=(12+3)^4/5+6+7-8-9 \\ \\ 10802=(9 \cdot (8-(7-6)^5)^4-3)/2-1 \\ \\ 11027=-1 \cdot 2 +(3 \cdot 4 \cdot 5^6-7)/(8+9) \\ \\ 11038=(9 \cdot 8 \cdot 7 +6^5) \cdot 4/3-2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá encontrar alguna representación ascendente para el 10958? ¿Existirán representaciones de los 8 números anteriores que no necesiten a la división? Ya tenemos entretenimiento, a ver si sale algo y ayudamos así a Inder Taneja.

Queda en el aire la pregunta de si todos los enteros positivos pueden representarse de esta manera. Yo no tengo respuesta a dicha pregunta, y no sé si alguien la tendrá, ya sea en la actualidad o en algún momento del futuro. Si alguien tiene más información sobre este tema que nos lo cuente en los comentarios.

Me enteré de esto por esta entrada de Futility Closet.

(Lo que yo considero) Lo mejor de 2016 en Gaussianos

Lun, 01/02/2017 - 13:15

Desde hace ya un tiempo, a principios de año suelo publicar una entrada con los artículos que considero más destacados del año anterior. Y este 2017 no va a ser una excepción.

Siguiendo la línea de los últimos años, el ya finalizado 2016 no ha sido el año de mayor frecuencia de publicación, pero, como siempre, ha habido artículos que pienso que deben ser destacados. Pero antes de dejaros el listado, no quiero desaprovechar la oportunidad de recordaros dos noticias que se produjeron en 2016 y que fueron muy importantes para este blog, y para quien lo escribe, por motivos muy distintos: la creación de “El Aleph”, mi blog de divulgación matemáticas en El País, a finales de julio y el fallecimiento de Javier Cilleruelo a mediados de mayo. La primera, algo que me hizo muy feliz y que supone para mí un honor y un gran reconocimiento a mi trabajo de divulgación durante más de 10 años; la segunda, algo que me provocó una enorme tristeza, ya que se iba un magnífico matemático, un gran colaborador de Gaussianos y, sobre todo, una maravillosa persona quesiempre me ayudó cuando lo necesité y que me trató como un amigo prácticamente sin conocerme. Cille, un abrazo enorme allá donde estés.

Sin más dilación, os dejo con el listado de las mejores entradas de 2016:

En la sección Archivo tenéis todas las entradas publicadas desde los inicios del blog. Si sois seguidores de Gaussianos desde hace poco, os recomiendo que le echéis un vistazo, seguro que encontraréis artículos curiosos e interesantes.

Muchas gracias a todos por seguir formando parte de Gaussianos.

“El Tangram, Bolyai-Gerwien y la cuadratura del círculo”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 01/01/2017 - 06:30

Como todas las semanas, este miércoles 28 de diciembre publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre las matemáticas de las disecciones de polígonos.

El Tangram, Bolyai-Gerwien y la cuadratura del círculo

Quien más quien menos ha visto alguna vez un Tangram, ese juego de origen chino consistente en 7 piezas, que inicialmente están dispuestas en forma de cuadrado, con las que se pueden formar una gran variedad de figuras planas. En la siguiente imagen podéis ver la disposición inicial de las piezas del Tangram y algunos ejemplos de figuras planas creadas con dichas piezas:

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

¡¡Feliz Navidad y Feliz Año Primo 2017!!

Sáb, 12/31/2016 - 06:30

Faltan solamente unas horas para que el año 2016 pase a mejor vida. Por ello, desde Gaussianos quiero desearos una Feliz Navidad y un Feliz Año 2017, esperando que este año que pronto verá la luz sea para vosotros un período de salud y felicidad.

me^{rry}=x-mas \quad \& \quad Happy=Ne^w-ye^{aR}

El número que etiqueta a este nuevo año, 2017, es, como todos, un número interesante con muchas propiedades. Algunas de ellas os las listo ahora (sacadas de Number Gossip):

  • Es un número primo (divisible solamente entre 1 y 2017).
  • Es un número deficiente, ya que sus divisores, excepto el propio número, suman menos que dicho número.
  • Es un número odioso, al tener una cantidad impar de unos en su expansión binaria:

    2017=11111100001_{(2}

  • Es un número del cortador perezoso (lazy caterer). Estos números designan a la mayor cantidad de trozos en los que podemos cortar una pizza circular con cortes rectos (sin que haya tres cortes que pasen por el mismo punto).

    Para 0 cortes, tenemos 1 trozo; para 1 corte, tenemos 2 trozos; para 2 cortes, tenemos 4 trozos; para 3 cortes tenemos 7 trozos; para 4 cortes, tenemos 11 trozos…y para 63 cortes, tenemos 2017 trozos. La fórmula general para n cortes es la siguiente:

    f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}

Por otro lado, 2017 es uno de los números para los que

\varphi(n)=\varphi(n-1)+\varphi(n-2)

siendo \varphi(n) la función Phi de Euler.

Para terminar con este interesante número, comentar que 2017 es el número de poliominós fijos de tamaño 8 que son convexos por columnas. ¿No sabes qué significa esto? Pues David Orden te lo explica magníficamente en esta entrada.

Si conocéis alguna otra propiedad reseñable de 2017, os agradeceré que nos la dejéis en los comentarios.

Pues eso, Feliz Año 2017. Nos seguiremos viendo por aquí, por Twitter, por nuestra página de Facebook y también por El Aleph, mi blog de matemáticas en El País.

“Hasta los genios se equivocan”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Vie, 12/30/2016 - 15:30

La semana pasada, concretamente el miércoles 21 de diciembre, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la conjetura de Euler.

Hasta los genios se equivocan

Todos, absolutamente todos, nos equivocamos en alguna ocasión. Todos hemos cometido un error en algún momento, todos hemos tenido que rectificar alguna vez (o al menos deberíamos haberlo hecho) y todos hemos pensado en alguna ocasión que nuestro argumento era correcto y al final nos hemos dado cuenta de que no era así.

Por otra parte, en todos los ámbitos del conocimiento existen figuras icónicas, ídolos, maestros, personajes que han marcado profundamente la historia y el desarrollo de dicha rama. Personas que, por su omnipresencia en ese ámbito, parecen infalibles. Pero no, ni siquiera ellos lo son.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Gauss y Dantzig”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Mié, 12/21/2016 - 06:30

La pasada semana, concretamente el miércoles 14 de diciembre, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País sobre la suma de Gauss y la leyenda de Dantzig.

Gauss y Dantzig: del mito a la realidad

Cuando uno profundiza en la historia de una rama del conocimiento, es hasta habitual encontrarse leyendas protagonizadas por alguno de los personajes relacionados con ella. Algunas de estas leyendas pueden haber resultado falsas, otras ciertas, y de otras no hemos conseguido nada concluyente sobre su certeza o su falsedad. Lo que hoy os traigo son dos de las leyendas más curiosas que podemos encontrarnos a lo largo de la historia de las matemáticas, que no por conocidas (principalmente la primera de ellas) dejan de tener interés y, por qué no, moraleja.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.

“La Regla del Fin de los Días”, nuevo artículo en “El Aleph”

Vie, 12/09/2016 - 05:30

Como todas las semanas, este pasado miércoles 7 de diciembre publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En esta ocasión escribo sobre la conocida como Doomsday Rule, que podríamos traducir como la Regla del Fin de los Días.

La Regla del Fin de los Días

Estamos en fechas prenavideñas (aunque para algunos centros comerciales ya era Navidad hace un mes), época en la que son habituales las reuniones familiares. Lo que os traigo hoy en este artículo es un método relativamente sencillo para calcular el día de la semana en el que cae una fecha cualquiera. Con este método podréis amenizar estas reuniones y, por qué no, dejar sin palabras a vuestro cuñao (pasando entonces vosotros a ser el cuñao). Este método es el conocido como Doomsday Rule, que en español suele traducirse como Regla del Fin de los Días o Regla del Fin del Mundo.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Fermat y los polígonos regulares”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Jue, 12/08/2016 - 05:30

La semana pasada olvidé dejaros por aquí el artículo que publiqué en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, concretamente el 30 de noviembre. En él escribí sobre la relación entre los primos de Fermat y los polígonos regulares.

Fermat y los polígonos regulares

Si la semana pasada los protagonistas de El Aleph fueron los poliedros, en esta ocasión las estrellas del artículo van a ser sus “hermanos” de dos dimensiones: los polígonos. Y, más concretamente, serán los polígonos regulares los que ejercerán de actores principales de nuestra historia de hoy. Pero antes de que estos polígonos hagan acto de presencia, vamos a hablar brevemente de uno de los matemáticos más importantes de la historia de las matemáticas: Pierre de Fermat.

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