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Tal y como vimos hace unos días en Diez formas de pensar como un matemático (y tiempo atrás en Agunas lecciones de lógica para el día a día), el buen uso del razonamiento lógico es fundamental tanto para moverse en las matemáticas como para entenderse en la vida diaria, Por ello, cualquier ayuda para comprender mejor los entresijos de la lógica es poca.

Y eso, ayudar, es lo que podemos conseguir con el juego del contrarrecíproco denominado Wason’s election task, creado por Peter Cathcart Wason en 1966. En él se nos plantean varias cuestiones cuyo enunciado es de este estilo: se nos introduce en una situación y se nos hace una pregunta relacionada con lógica con varias opciones para su respuesta. Nuestro objetivo, evidentemente, es responder correctamente a cada pregunta utilizando la lógica.

Un ejemplo de pregunta podría ser el siguiente:

Se nos muestra un grupo de cuatro cartas en una mesa, cada una de las cuales tiene un número de una cifra por un lado y un color por otro lado. Entre las caras que se ven aparecen 3, 8, rojo y marrón. ¿A qué carta/cartas debo dar la vuelta para comprobar la veracidad de la siguiente proposición:

Si una carta muestra un número par por un lado, entonces la cara opuesta es roja?

Seguro que muchos de vosotros seréis capaz de responder a la pregunta sin darle muchas veces, o igual no. La cosa es que parece un muy buen ejercicio para ir introduciendo a la gente en el mundo del uso de las propiedades de las proposiciones lógicas (en este caso, como hemos dicho, del contrarrecíproco).

Podéis encontrar el juego aquí, aunque en vídeo está mucho mejor. Os dejo aquí uno en el que en cada pregunta nos dan todas las posibles respuestas y en función de si acertamos o no nos llevará a un vídeo con otra pregunta o a un vídeo donde se nos dice que hemos fallado y se nos da alguna idea sobre el fallo. Ahí va:

The Wason Selection Task – Four Card Problem Interactive Video

Podéis plantearle a vuestro amigos/compañeros/familiares alguna de estas preguntas (o alguna del estilo) para ver qué responden. Parece ser que gran cantidad de gente falla.

Fuentes y más información:

• The Wason selection task.
• The Wason selection task and the limits o Human Philosophical Cognition.
• Wason selection task en la Wikipedia en inglés.

Esta entrada es mi primera contribución con la Edición 4.12310 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Rafael desde Geometría Dinámica.

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Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sea un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión

en función de , e indicar el valor del límite en caso de convergencia.

Que se os dé bien.

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¿Cómo piensa alguien que esté muy metido en las matemáticas? ¿Qué técnicas utiliza para analizar convenientemente las situaciones que se encuentra en sus quehaceres diarios? ¿Hay alguna manera de que cualquier persona pueda llegar a comprender las matemáticas en profundidad? Quizás no, pero lo que sí se puede hacer es seguir algunos consejos sencillos para facilitar esa comprensión y, en su caso, el aprendizaje de las mismas.

Consejos los hay de todo tipo, y seguro que muchos de vosotros habéis seguido algunos que os han dado vuestros profesores o vuestros familiares. Y estoy convencido de que también vosotros mismos habéis dado consejos “matemáticos” en alguna ocasión. Los que aparecen en esta entrada forman parte de un pequeño manual publicado por Kevin Houston, matemático de la Universidad de Leeds, y bajo mi punto de vista forman una lista bastante interesante de ideas para mejorar el aprendizaje y la comprensión de las matemáticas. En lo que sigue podréis leer una traducción de lo más importante que Kevin Houston comenta de cada uno de dichos consejos (en algunos quizás meta algún comentario mío), y al final de este artículo encontraréis el enlace a su manual

Consejo 1: Pregúntate todo

Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que pueden ser comprobadas, que no tienes que fiarte de la palabra de nadie. Si alguien dice que algo es cierto, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, puedes intentar probarlo tú mismo.

Tu reacción ante un enunciado debería ser desconfiar de él e intentar encontrar un ejemplo que muestre que es falso. Aunque al final dicho enunciado resulte ser cierto, el trabajo mental que conlleva esta búsqueda será beneficioso para ti.

Consejo 2: Escribe con palabras

Se entiende que hablamos de escribir las matemáticas con palabras. ¿Cómo nos puede ayudar esto? Las frases son los ladrillos de los argumentos, y las matemáticas (de alto nivel principalmente) tratan de argumentos en forma de demostraciones (¡no solamente de obtener la respuesta numérica correcta!).

Escribir con palabras en vez de con símbolos te obliga a comprender muy bien el tema del que estás hablando y a pensar muy cuidadosamente tus argumentos. Si no puedes escribirlo bien en una frase quizás es porque no lo has comprendido a la perfección.

Consejo 3: ¿Qué ocurre con el recíproco?

Los enunciados tipo aparecen continuamente en matemáticas. Podemos traducirlo como “Si es cierto, entonces es cierto”. El recíproco de es .

Ante un enunciado tipo , un buen matemático se preguntará si el recíproco también es cierto por la sencilla razón de que no tiene por qué serlo. Ahí va un ejemplo:

El recíproco de la expresión (cierta) siguiente

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si nací en España, entonces nací en Madrid

enunciado que, claramente, no tiene por qué ser cierto.

Por tanto, plantéate si el recíproco es cierto o no, ya no solamente por la propia veracidad o falsedad del recíproco en el caso que estés estudiando, sino porque ese esfuerzo que realizarás te ayudará a mejorar tus habilidades matemáticas.

Consejo 4: Usa el contrarrecíproco

El contrarrecíproco de un enunciado tipo es

Por ejemplo, el contrarrecíproco de

Si nací en Madrid, entonces nací en España

es

Si no nací en España, entonces no nací en Madrid

Para mucha gente es sorprendente que sea así, pero la realidad es que la veracidad o falsedad del contrarrecíproco es la misma que la del enunciado inicial. Esto es, ambas sentencias son equivalentes: si una es falsa la otra también, y si una es verdadera también lo es la otra.

Esto debería aprenderse correctamente, ya que el contrarrecíproco se utiliza con bastante frecuencia tanto en las demostraciones matemáticas como en nuestro razonamiento diario.

Consejo 5: Considera casos extremos

Los resultados obtenidos al aplicar un teorema a los casos triviales y extremos de las hipótesis puede ayudar a su comprensión: ¿qué pasaría si cierto número es 0 ó 1? ¿O si consideramos la función trivial ? ¿Qué ocurriría si tomamos el conjunto vacío? ¿Y la sucesión ? ¿Qué obtenemos con un círculo o una recta?

Por ejemplo, utilizando un “caso extremo” es sencillo mostrar que el siguiente resultado es falso:

“Teorema“: Dados números enteros, si y , entonces .

Consejo 6: Crea tus propios ejemplos

Un matemático crea sus propios ejemplos, tanto ejemplos estándar como ejemplos extremos, e incluso no-ejemplos.

Veamos uno. El método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una función de una variable es bastante conocido. Vamos a quedarnos con el método simplificado:

Dada una función , calculamos su derivada, , la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Los puntos obtenidos son los posibles máximos y mínimos del problema.

Después calculamos la segunda derivada, , y sustituyendo dichos puntos en ella los clasificamos como máximos, si el valor obtenido al sustituir es negativo, o mínimos, si el valor obtenido al sustituir es positivo.

Con este procedimiento podemos calcular los máximos y los mínimos de una función dada siguiendo estos pasos. Ahora, ¿y si nos piden lo contrario? Es decir, ¿y si nos piden crear una función que, por ejemplo, tenga un máximo en y un mínimo en ? Esto es mucho más complicado que lo anterior, pero por contra nos permite aprender mucho más sobre matemáticas.

Por tanto, dado un método para resolver un cierto tipo de ejercicios es interesante revertir el proceso y crear nuevos problemas yendo del final al principio.

Consejo 7: ¿Dónde se usan las hipótesis?

A menudo comprender la demostración de un resultado es muy complicado. Esto es algo esperado, ya que en muchas ocasiones en las demostraciones no se entra en dar una idea sobre el enunciado del teorema en cuestión o en cómo se descubrió dicha demostración. En definitiva, comprender las demostraciones es una de las cosas más difíciles a las que puede enfrentarse alguien en matemáticas.

Por ello es importante tener alguna idea sobre cómo comenzar a entender una demostración. Y analizar las hipótesis del teorema es un buen comienzo. Investigar dónde se utilizan las hipótesis de nuestro teorema puede ser de gran ayuda a la hora de comprender la demostración. Y encontrar “hipótesis ocultas” (por ejemplo, viendo si dentro de la demostración se usa algún otro resultado que tenga sus propias hipótesis) también puede ser interesante. Además, si encontramos algún resultado que se utilice varias veces a la hora de demostrar teoremas quizás eso indique que el resultado es muy importante o muy útil, por lo que posiblemente nos convenga aprenderlo bien.

Consejo 8: Comienza por el lado complicado

Éste es un consejo interesante a la hora de probar que una igualdad es cierta. Para ello, generalmente es mejor comenzar por el “lado difícil” de la misma y realizar operaciones en él para simplificarlo y así intentar llegar a la expresión que tenemos al otro lado.

Por ejemplo, para demostrar que tales que , es mucho mejor comenzar por la parte “más complicada”, la que tiene “más cosas”, la de la izquierda, y realizar operaciones en ella hasta obtener la de la derecha (os lo dejo como ejercicio; si queréis intentarlo no miréis el documento original de Kevin Houston, ya que allí está la solución)

Partir de la igualdad completa y realizar operaciones o reordenaciones en ella puede no ser lo más adecuado, ya que corremos el riesgo de caer en razonamiento circulares o incluso de suponer como cierto lo que queremos demostrar sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.

Consejo 9: Pregúntate qué ocurriría si…

A los buenos matemáticos les gusta preguntarse “¿qué pasaría si…?”. Por ejemplo, “¿qué ocurriría si elimino cierta hipótesis?”. Pensar en esto quizás nos ayude a ver mejor por qué cierto resultado es cierto o por qué una definición es como es. Y hasta podríamos encontrar un nuevo teorema debilitando las hipótesis si encontramos alguna que no sea necesaria.

Otro ejemplo. con frecuencia los objetos matemáticos son conjuntos de elementos que cumplen ciertas condiciones. Y a partir de ciertos conjuntos podemos construir otros conjuntos nuevos. Pues es interesante preguntarse si estos conjuntos nuevos “heredan” las propiedades de los antiguos. Por ejemplo, “si y son conjuntos finitos, ¿también lo es su producto cartesiano ?”. “si y son conjuntos compactos, ¿también lo es su unión?”.

Consejo 10: ¡Habla!

Cuando Sir Christopher Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus ideas clave para fomentar una atmósfera matemática fue que hubiera pizarras en los pasillos (además de en las clases), para facilitar que la gente pudiera hablar con los demás y explicar su trabajo en cualquier momento (el instituto Isaac Newton de Cambridge tiene pizarras en los baños y hasta en el ascensor…que sólo recorre dos plantas).

Son muchas las ventajas de comunicar tu trabajo a otros. Por un lado, al explicarlo te fuerzas a pensar con claridad. Y por otro lado, puedes aprender de los demás, ya que ellos pueden sugerirte ideas para resolver un problema o avanzar en él o, por otra parte, pueden encontrar errores en tus razonamientos.

Como decía al principio, interesante lista de consejos para pensar “como un matemático”. Creo que todos son muy acertados y muy necesarios para que nuestra mente se acostumbre a pensar de forma matemática. De todas formas, seguro que hay más ideas interesantes que no aparecen en esta lista. Los comentarios son vuestros para plasmarlas.

Aquí tenéis el enlace al manual de Kevin Houston: 10 Ways to Think Line a Mathematician.

Por cierto, la portada del manual incluye varias demostraciones visuales interesantes. Echad un ojo:

Las entendéis todas, ¿verdad?

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Este fin de semana Eduardo Sáenz de Cabezón nos ha representado en Famelab con su gran monólogo Un teorema es para siempre (podéis verlo en inglés aquí). En dicho monólogo nos hablaba sobre la historia del problema del rellenado mínimo del plano y del espacio. En este post vamos a repasar la historia de estos problemas.

Lo primero que toca es explicar qué queremos decir cuando hablamos de rellenado “eficiente” o “mínimo”. Una forma de rellenar el plano será “mínima” (o “la más eficiente”) cuando a igualdad de área con cualquier otro “rellenado” el perímetro total sea menor, y para el caso del espacio será cuando a igualdad de volumen el área total sea mínima.

En lo que se refiere al plano, en la actualidad se sabe que el rellenado mínimo se consigue con hexágonos regulares. Parece que esta cuestión proviene del siglo I a. C., en el que Marco Terencio Varrón habla sobre los hexágonos de los panales de las abejas en un libro suyo de agricultura. Pero en realidad el problema ha pasado a la historia relacionado con Pappus de Alejandría, que lo cita en su Libro V (unos 400 años después), como la conjetura del panal (de todo esto ya habíamos comentado algo por aquí)…

(Imagen tomada de aquí)

…y eso fue, una conjetura, durante muchísimos años, hasta el siglo XX. En 1943, L. Fejes Tóth prueba la conjetura del panal, pero considerando como hipótesis inicial que las celdas son polígonos convexos. Y la cosa se mantuvo así unos 50 años más. En 1999, Thomas Hales publica una demostración general de la conjetura del panal en su trabajo The honeycomb conjecture, en el que prueba que, efectivamente, el hexágono regular es la figura más eficiente.

Para terminar esta parte, quizás sea interesante dar los datos de los perímetros de varias figuras simples para compararlos con el hexágono regular. Lo vamos a hacer con los otros dos polígonos regulares con los que se puede rellenar el plano, el triángulo equilátero y el cuadrado, y vamos a ver cuánto mide el perímetro de cada uno para el caso en el que las áreas de los tres sean iguales a 1:

Como en todas las situaciones tipo la descrita, preguntarse cómo sería el paso a las tres dimensiones es prácticamente obligado. En 3D, la pregunta sería la siguiente: ¿cuál es la figura tridimensional que a igualdad de volumen tiene menor área? Ésa sería la figura “más eficiente” o “mínima”.

Lord Kelvin conjeturó a finales del siglo XIX que sería un octaedro truncado,

(Imagen tomada de aquí)

pero no consiguió demostrar que en realidad esa figura es la mejor para rellenar el espacio. A partir de aquí, este tema pasó a denominarse problema de Kelvin o conjetura de Kelvin. En este enlace podéis ver una animación de cómo se puede rellenar el espacio tridimensional con octaedros truncados (vía este comentario de Albert).

Estando entonces en el estado de “conjetura”, si alguien la resolvía sería porque se dieran alguna de estas dos situaciones:

1. Que se demostrara que la conjetura era cierta (como pasó con la del panal).
2. Que se encontrara un contraejemplo a dicha conjetura.

Y fue esta segunda la que se presento, En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan encontraron un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre rellenado del espacio tridimensional. Weaire y Phelan encontraron una figura que, a igualdad de volumen, tenía menor área que el octaedro truncado, y la denominaron (después de un gran alarde de imaginación) estructura de Weaire-Phelan, que está formada por dos dodecaedros irregulares con caras pentagonales y seis tetradecaedros con dos caras hexagonales y doce caras pentagonales pegados como puede verse en la siguiente figura:

(Imagen tomada de aquí)

Seguro que muchos veis que esta figura es rarísima, ¿verdad? Pues es interesante resaltar que se utilizó como base para construir la pared exterior del Beijing National Aquatics Centre, edificio en el que se celebraron las pruebas de natación de las Olimpiadas de Pekín 2008:

Por cierto, creo que es necesario comentar que el área de la estructura de Weaire-Phelan es un 0.3% menor que la de la estructura de Kelvin.

Y, bueno, ahí sigue la cosa. No se sabe si la estructura de Weaire-Phelan es “la más eficiente”, o si por el contrario hay otra figura tridimensional que a igualdad de volumen con ella tenga un área menor. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para conocer la respuesta? No lo sabemos, aunque sí esperamos que sea mucho menos del que pasó en el caso de la conjetura del panal de Pappus de Alejandría. Y si esto se produce pronto, aquí estaremos para contarlo.

Y como estoy seguro de que entre vosotros habrá gente a la que le encante montar este tipo de figuras, no puedo dejar pasar esta oportunidad para proporcionaros plantillas para ello. Aquí las tenéis:

• Octaedro truncado (aquí tenéis otra más curiosa).
• Estructura de Weaire-Phelan.

Espero que os gusten. Y si conocéis plantillas mejores que éstas no dudéis en comentárnoslo.

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Comenzamos la semana con un problema que nos ha sugerido nuestro amigo omalaled, de Historias de la Ciencia. Ahí va:

Dadas dos circunferencias concéntricas y un segmento tangente a la circunferencia interior, como se muestra en la figura siguiente

calcula el área de la parte sombreada si la longitud de dicho segmento es 5 metros.

Que se os dé bien.

Aprovecho para recordaros que podéis mandar vuestras sugerencias en forma de problema, artículo, etc, a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

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En el famosísimo triángulo de Pascal se puede encontrar de todo. Los números que aparecen en el triángulo corresponden a los números combinatorios, las sumas de las filas son las potencias de 2, podemos encontrar los términos de la sucesión de Fibonacci, los números triangulares… Como decía, de todo…

…bueno, de casi todo, tampoco vamos a exagerar. Por ejemplo, no conozco ninguna forma de encontrar el número en el triángulo. Ahora, ¿y el número ? ¿Se os ocurre alguna forma de relacionar el triángulo de Pascal con el número ? Pues la hay, y además es bastante sencilla.

Todas estas cosas que, como hemos comentado, se pueden encontrar fácilmente en el triángulo de Pascal tienen que ver con sumas. Bueno, que los elementos del triángulo son los números combinatorios no

(Imagen tomada de aquí)

pero las demás sí. Si sumamos los elementos de cada fila nos aparecen las potencias de 2:

(Imagen tomada de aquí)

Sumando de la forma que aparece en la siguiente imagen obtenemos los términos de la sucesión de Fibonacci (ya hablamos sobre ello en esta entrada de hace tiempo):

(Imagen tomada de aquí)

Y si miramos las primeras diagonales nos aparecen unos, los números naturales, los números triangulares y los números tetraédricos, respectivamente:

(Imagen tomada de aquí)

Pero parece ser que a nadie se le había ocurrido considerar productos de elementos del triángulo de Pascal. Vamos a multiplicar los elementos de cada una de las filas:

Si ahora dividimos cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior obtenemos los siguientes valores:

Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos:

Oye, pues parece que después de comenzar en 2 los números van subiendo poco a poco. Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del , el dato de la lista sería ya , que ya está más cerca del número , ¿verdad? Vamos a ver enseguida que en realidad sí, que todo cuadra a la perfección.

Si llamamos al producto de los elementos de la fila , con , si recordamos que los elementos del triángulo de Pascal son los números combinatorios tenemos que:

Lo que vamos a demostrar, y además de forma bastante sencilla, es que:

Bien, comencemos estudiando cuál es la expresión exacta de . Como hemos dicho, es el producto de todos los números combinatorios , con . Es decir:

Recordando que , la expresión anterior se convierte en la siguiente:

Todos los numeradores son , por lo que el denominador conjunto es . Y en el denominador aparece dos veces cada factorial desde hasta , por lo que al multiplicar cada uno de ellos estará elevando al cuadrado. Por tanto, la expresión de es la siguiente:

Ahora ya podemos calcular de forma sencilla los dos cocientes que aparecen en el límite que hemos mostrado antes. Expresando como (para simplificar la notación siguiente) tenemos que:

De manera análoga tenemos que

Calculemos ahora el límite anterior:

y sabemos que el valor de este último límite es, efectivamente, . Por tanto, tenemos que:

¿A quién debemos todo esto?

Y el artífice de esto, el descubridor de esta relación, es Harlan J. Brothers (en la imagen de la derecha), inventor, músico, matemático y profesor estadounidense, que publicó su hallazgo el pasado año 2012 en The Mathematical Gazette

• H. J. Brothers, “Pascal’s triangle: The hidden stor-e.” The Mathematical Gazette, Vol. 96, No. 535, 2012; páginas 145-148

y en Mathematics Magazine

• H. J. Brothers, “Finding e in Pascal’s triangle.” Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1, 2012; página 51

Además de todo esto, es un tipo muy majo (le pedí que me enviara esos dos trabajos y en menos de media hora ya estaban en mi correo) y se lleva bastante bien con el idioma de Cervantes. Harlan, muchas gracias por tu ayuda y por ser tan amable.

Por cierto, antes de verlo en los papers de Brothers lo vi en Cut-the-knot. La foto de Harlan J. Brothers la he tomado de su página en la Wikipedia en inglés.

Actualización: Me comenta David Orden que este tema apareció hace unos días en este post de Simplemente Números dentro de la edición de mayo del Carnaval de Matemáticas. Creo que, aunque como comenta el autor el post es una traducción del artículo de Cut the knot, es de justicia mencionarla aquí.

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Cualquiera que haya llegado al instituto y tenga algo de memoria de aquella época recuerda que una parte del temario de algunos cursos trataba sobre Trigonometría, cuyo significado es medición de triángulos y cuyo objetivo es estudiar las relaciones entre los lados de un triángulo y los ángulos formados por dichos lados, que son lo que se denominan razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo que tenían nombres tan curiosos como seno, coseno, tangente… ¿Recordáis más? ¿Sabríais representarlas? Echad un ojo, quizás descubráis cosas que no conocíais.

Comencemos con las más conocidas. Dado un triángulo rectángulo como el de la figura

se define el seno del ángulo como el cateto opuesto a dividido entre la hipotenusa del triángulo. Es decir:

En este contexto, se define el coseno del ángulo como el cateto contiguo a dividido entre la hipotenusa del triángulo:

Y la tangente de se define como el cociente entre el cateto opuesto a dividido entre el cateto contiguo. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo:

Bien, ya tenemos tres. Habitualmente todo esto se representa en una circunferencia de radio 1. Al ser este radio la hipotenusa del triángulo en cuestión, las expresiones de seno y coseno se simplifican, quedando de la siguiente forma:

¿Y la tangente cómo se representa? Pues así:

Trazamos la tangente a la circunferencia en el punto B. Cortará al eje X en un punto, que llamamos E. Entonces, la tangente de es la longitud del segmento BE.

Quedaría tal que así:

Éstas son las más conocidas, las que seguro que muchos recordáis. Pero había más, ¿verdad? Además con nombres muy parecidos a éstas. Sí, son sus recíprocas y son las siguientes:

• Secante:
• Cosecante:
• Cotangente:

Evidentemente, éstas también tienen su representación. Podemos verlas en la siguiente imagen junto con las tres anteriores:

Y ya no había más razones trigonométricas, ¿verdad? Al menos en el temario no aparecían más, pero eso de “haber” es muy relativo. ¿”Existen” más razones trigonométricas? Sí, “existen” más. Históricamente se han tenido en cuenta otras razones trigonométricas que por ciertas razones fueron importantes en su momento. Vamos a verlas:

• Verseno:

  Fue una de las razones trigonométricas más importantes (aparecía en algunas de las primeras tablas trigonométricas), pero fue perdiendo “nombre” poco a poco y ahora prácticamente no se usa. Existen varias razones trigonométricas relacionadas con el verseno que se enumeran a continuación.

• Vercoseno:
• Coverseno:
• Covercoseno:
• Semiverseno:

  El semiverseno (haversin en inglés) era muy conocido y muy utilizado en navegación por formar parte de la fórmula del semiverseno para el cálculo de la distancia entre dos puntos de una esfera dada las longitudes y las latitudes de los mismos.

• Semivercoseno:
• Semicoverseno:
• Semicovercoseno:

Casi nada, ¿verdad? Seguro que para la gran mayoría de vosotros estas razones trigonométricas son totalmente nuevas, al igual que ocurrirá con las dos últimas que os voy a presentar:

• Exsecante:

  La exsecante, aunque ya prácticamente no se usa, fue muy importante en agrimensura, astronomía y trigonometría esférica.

• Excosecante:

Aquí os dejo una imagen con las seis que más se usan actualmente (las seis primeras que se han visto en esta entrada) junto con el verseno, el coverseno, la exsecante y la excosecante:

Y para terminar una reflexión. Aunque en la actualidad se usan estas seis razones trigonométricas que hemos comentado al principio, y aunque en otras épocas históricas se han usado más (las que hemos presentado después), podríamos decir que en realidad hay solamente una razón trigonométrica “esencial”, y que todas las demás se definen a partir de ella. Por ejemplo, podríamos decir que la única razón trigonométrica “esencial” es el seno, ya que todas las demás pueden construirse a partir de ella. Pero posiblemente en muchas situaciones prácticas sea complicado trabajar con esas “variaciones” del seno y en realidad sea conveniente definir de antemano las demás razones trigonométricas para trabajar directamente con ellas. Como en muchas ocasiones, la cuestión dependerá de en qué estemos trabajando y de para qué vayamos a usar estas herramientas. Como es habitual, la versatilidad de las matemáticas está a nuestro servicio.

Fuentes y más información:

• Trigonometría en la Wikipedia en inglés.
• Verseno y exsecante en la Wikipedia en inglés.
• How many trig functions are there? en The Endeavour.
• The other Trigonometric Functions en Calculus Humor.

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Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado es el siguiente:

Por los puntos medios de un triángulo ABC trazamos las medianas y unimos los puntos que trisecan el tercer lado con el vértice opuesto. Así, en el interior se obtiene una pajarita (dos triángulos unidos por un vértice). Se pide calcular la fracción de superficie total del triángulo que representa la pajarita.

Que se os dé bien.

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Ya está disponible el trabajo Bounded gaps between primes de Yitang Zhang, en el que demuestra que existen infinitas parejas de primos que están a una distancia menor que 70000000, en el apartado de Annals of Mathematics dedicado a publicaciones que aparecerán en próximos números. Por desgracia, hay que estar suscrito a Annals of Mathematics para poder verlo. Os dejo el abstract del mismo:

It is proved that

where is the -th prime.

Our method is a refinement of the recent work of Goldston, Pintz and Yildirim on the small gaps between consecutive primes. A major ingredient of the proof is a stronger version of the Bombieri-Vinogradov theorem that is applicable when the moduli are free from large prime divisors only (see Theorem 2), but it is adequate for our purpose.

Recuerdo que ya hablamos de todo esto en esta entrada hace unas semanas. Al parecer Zhang, después del seminario que impartió el 13 de mayo, envió su artículo el 16 de mayo a la revista, que lo aceptó el 21 de mayo.

Por otra parte, desde el anuncio de la noticia del trabajo de Zhang han aparecido varias mejoras en la cota de 70000000 que se da en dicho trabajo: 63374611 (Mark Lewko), 59874594 (Tim Trudgian) o 59470640 (Scott Morrison). En los comentarios de este último enlace y en los de la última fuente que aparece más abajo hay más información sobre el tema, tanto de la línea seguida por Zhang en su demostración como de la que parece que han seguidos los cazadores de mejoras de la cota.

Por desgracia, parece que estas mejoras no son todo lo esperanzadoras que cabría esperar, ya que las ideas usadas para ello no podrán ayudar a rebajar la cota al esperado 3 que supondría la demostración de la conjetura de los primos gemelos. Para ello habría que introducir nuevas ideas más profundas que esperamos ansiosos.

Fuentes:

• "Bounded gaps between primes" by Yitang Zhang now available en The Aperiodical.
• Sobre las mejoras de la cota en la cuenta de Google+ de Terence Tao.

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Hablábamos el otro día sobre si se podía construir un mapa perfecto de la Tierra, y acabamos concluyendo que no, que no se puede construir un mapa plano perfecto de nuestro planeta. Si recordáis (y si no podéis hacer click en el enlace anterior), llegamos a dicha conclusión razonando que una transformación de una esfera en un plano debe conservar la suma de los ángulos de los triángulos y viendo que en realidad eso no ocurre (los ángulos de un triángulo plano suman 180º y los de un triángulo esférico suman más de 180º).

Este argumento del triángulo esférico es correcto, y descarta la existencia de un mapa plano perfecto de la Tierra. Pero parece que se puede ahondar mucho más en esta cuestión, que hay ideas matemáticas más profundas que nos pueden ayudar a comprender por qué no existe tal mapa. Y así es, las hay. En lo que sigue vamos a intentar explicarlas.

En primera instancia, si pensamos en la razón por la que no se puede proyectar una esfera en un plano de manera perfecta, lo que se nos podría ocurrir es que la esfera es curvada y el plano no lo es. Bueno, como comienzo no está mal, pero se queda algo cojo. ¿Por qué? Muy sencillo: un cilindro también se curva, pero puede desarrollarse de forma plana haciéndole un corte paralelo a su eje y desenrollándolo:

Y no es la única superficie curvada que puede desarrollarse en un plano. Por ejemplo, un cono también es desarrollable en un plano:

Y en ambos casos las propiedades métricas de las superficies se mantienen en su desarrollo. Por tanto, esto de que la esfera está curvada y el plano no lo está parece que no es definitivo, ya que hay superficies “curvadas” que sí pueden desarrollarse en un plano. Tiene que haber algo más…

…y ese “algo más” es, grosso modo, que no todas las superficies “curvadas” se curvan igual. Podemos considerar “curvadas” tanto a una esfera como a un cilindro, pero su forma de curvarse, su curvatura, no será la misma.

Ups, ya ha aparecido un “palabro”: curvatura. ¿Qué es esto de la curvatura? Pues es algo así como una medida de la forma de curvarse que tiene nuestra superficie. ¿Cómo medir esto? Pues para ello hay que tener cuenta algunos conceptos, como el plano tangente a la superficie en un punto y el vector normal a la misma en ese punto

Muy en general, para saber algo sobre la curvatura de la superficie en un punto necesitaríamos saber cómo varían el plano tangente y el vector normal a la superficie en dicho punto.

El estudio de esta curvatura en un punto de la superficie se puede hacer de la siguiente forma:

Tomamos todos los planos que pasar por el punto y contienen al vector normal y consideramos la intersección de cada uno de esos planos con nuestra superficie. Esas intersecciones son curvas, y cada una de ellas tendrá su curvatura. Nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura y las llamamos, respectivamente, y . Estas curvaturas se denominan curvaturas principales.

A partir de estas curvaturas principales podemos definir dos curvaturas de la superficie en cada punto de la misma:

• La curvatura de Gauss, , que mide cómo se curva la superficie en sí misma (pertenece a la geometría intrínseca de la superficie).
• La curvatura media, , que mide cómo se curva la superficie en el espacio en el que se encuentra (pertenece a la geometría extrínseca de la superficie).

Como ya habréis intuido, nos interesa la curvatura de Gauss.

Después de esta introducción vamos con lo importante. En 1827, en su trabajo Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss demostró que la curvatura de Gauss es, como decíamos antes, intrínseca a la superficie. O, lo que es lo mismo, que depende únicamente de las propiedades métricas de la superficie. Este resultado es conocido como teorema egregium de Gauss.

¿Qué significa todo esto? Pues que lo que Gauss demostró fue que la curvatura de Gauss no varía bajo isometrías locales. Esto es, que si existe una isometría entre dos superficies, entonces necesariamente ambas superficies deben tener la misma curvatura de Gauss.

¿Qué ocurre en el caso que nos ocupa? Recordemos que queríamos ver si existía una isometría entre la esfera y el plano. Por el teorema egregium de Gauss, para que dicha isometría exista necesariamente las curvaturas de Gauss de ambas superficies deben ser igual. Pero (como ya apuntó tonibueno en este comentario) resulta que en este caso son distintas: la curvatura de Gauss del plano es cero y la curvatura de Gauss de la esfera es siempre distinta de cero, concretamente igual a , si es el radio de la esfera. Por tanto no hay isometrías entre la esfera y el plano, y en consecuencia no existe el mapa perfecto.

Espero que esta explicación “un poco más matemática” os haya ayudado a comprender mejor por qué no existe ese mapa plano perfecto de nuestro planeta, que podríamos resumir muy a grandes rasgos en que la geometría propia de la esfera es demasiado distinta a la geometría propia del plano en lo que se refiere a la forma que tienen de curvarse.

Fuente principal: El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.

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The Physics Education Technology Project es un proyecto de la Universidad de Colorado consistente en simulaciones relacionadas con la Física, la Biología, la Química, las Ciencias de la Tierra o las Matemáticas cuyo objetivo es facilitar la comprensión de ciertos fenómenos relacionados con la Ciencia.

Hay unas cuantas simulaciones dignas de mención, pero en este post os voy a comentar una relacionada con las derivadas y las integrales definidas que se llama Graficador de Cálculo. En ella podemos ver cómo varían tanto la derivada como la integral definida conforme vamos modificando una cierta función. Vamos a echar un vistazo en unas imágenes a lo que nos ofrece.

En la pantalla inicial aparecen la gráfica de la función idénticamente cero y su derivada (la misma función, evidentemente). Para que aparezca la integral definida debemos marcarlo en la barra lateral de la derecha. Para que comience a mostrarnos cosas debemos hacer algo con la función. En la siguiente imagen podéis ver un ejemplo en el que he estirado la función hacia arriba, formando una especie de montaña:

La línea vertical azul que veis a la derecha es el “Cursor” (tenéis que activarlo también abajo a la derecha). Con él podéis ver qué relación mantiene la función con su derivada y su integral definida hasta cierto punto.

Partiendo de la premisa de que la función es derivable el número de veces que sea necesario, ¿qué le ocurre a la derivada cuando la función es creciente? Pues que es positiva. Por tanto, en los intervalos en los que la función es creciente se ve cómo la derivada está por encima del eje X, y viceversa (cuando la función es decreciente, la derivada es negativa, y por tanto su gráfica está situada por debajo del eje X). ¿Qué ocurre con la integral definida? Pues que mientras que la función se mantenga por encima del eje X, la integral definida es positiva (por ser el área limitada por la función y el eje X):

Recordemos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, y que cuando una función es creciente la pendiente de dicha tangente es positiva (al contrario si es decreciente).

También podemos ver en el intervalo de cero hasta el “cursor” que la gráfica de la derivada sube y llegado a un punto baja. ¿Por qué ocurre esto? Pues porque la función tiene un punto de inflexión en el que pasa de tener derivada segunda positiva (lo que yo llamaría convexa) a tener derivada segunda negativa <(lo que yo llamaría cóncava), y en esos puntos de inflexión lo que ocurre es que la pendiente de la tangente va subiendo conforme la función crece de forma convexa y desde el punto de inflexión va bajando conforme la función crece de forma cóncava hasta llegar a ser cero en el punto máximo.

En la siguiente imagen se puede ver todo lo comentado antes. Además, le he hecho unos cuantos cambios a la función para poder ver todas estas relaciones en más intervalos. Por ejemplo, se puede ver que el valor de la integral definida va variando conforme la función cambia, siendo negativa en algunos casos (en los puntos en los que el área que hay por debajo del eje X es mayor que el área que hay por encima):

Y a partir de aquí os dejo trastear a vosotros con el resto de opciones. Os recomiendo que le dediquéis un rato, y también que después le echéis un vistazo a este vídeo-tutorial del programa que colgó hace un par de días Ricardo Martínez en nuestra comunidad de Matemáticas de Google+:

Creo que es una simulación muy interesante y que puede ser muy didáctica para relacionar estos conceptos, teniendo en cuenta todas las posibilidades que nos da. Espero que os haya gustado y que os resulte útil.

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Sexto y último problema de la Olimpiada Matemática de Galicia 2013. El enunciado es el siguiente:

Sean A, B y C los vértices de un triángulo y P, Q y R los respectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vértices. Sabiendo que PQR es un triángulo rectángulo en P, se te pide probar dos cosas:

a) Que ABC ha de ser obtusángulo.

b) Que en el cuadrilátero ARPQ, pese a no ser cíclico, la suma de sus
ángulos opuestos es constante.

A por él.

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Si nos ponemos a pensar en un objeto matemático al que se le pueda dedicar una canción, posiblemente a más de uno nos viniera a la mente el conjunto de Mandelbrot, ese maravilloso fractal cuya sencilla descripción, que debemos a Benoit Mandelbrot, y curiosas propiedades (aquí un interesante ejemplo) no dejan de sorprendernos.

Pues Jonathan Coulton debió pensar lo mismo que nosotros cuando compuso para su álbum When tradition meets tomorrow (2004) la canción Mandelbrot Set, dedicada al conjunto de Mandelbrot.

Jonathan Coulton es un cantante estadounidense que al parecer tiene experiencia en canciones de temática geek. La que nos ocupa no está mal, y en el estribillo aparece la definición del propio conjunto de Mandelbrot. Ahí va la canción:

Y aquí os dejo la letra, que he encontrado en esta página dedicada a Jonathan Coulton:

Pathological monsters! cried the terrified mathematician
Every one of them a splinter in my eye
I hate the Peano Space and the Koch Curve
I fear the Cantor Ternary Set
The Sierpinski Gasket makes me wanna cry
And a million miles away a butterfly flapped its wings
On a cold November day a man named Benoit Mandelbrot was born

His disdain for pure mathematics and his unique geometrical insights
Left him well equipped to face those demons down
He saw that infinite complexity could be described by simple rules
Used his giant brain and he turned the game around
And he looked below the storm
Saw a vision in his head
A bulbous pointy form
Picked his pencil up and he wrote his secret down

Just take a point called Z in the complex plane (Alternate: Take a point called C…)
Let Z1 be Z squared plus C (Alternate: Let Z1 be zero squared…)
And Z2 is Z1 squared plus C
And Z3 is Z2 squared plus C and so on
If the series of Zs should always stay
Close to Z and never trend away
That point is in the Mandelbrot Set

Mandelbrot Set, you’re a Rorschach Test on fire
You’re a day-glo pterodactyl
You’re a heart-shaped box of springs and wire
You’re one badass fucking fractal
And you’re just in time to save the day
Sweeping all our fears away
You can change the world in a tiny way

Mandelbrot’s in heaven, at least he will be when he’s dead
Right now he’s still alive and teaching math at Yale
He gave us order out of chaos, he gave us hope where there was none
His geometry succeeds where others fail
So if you ever lose your way, a butterfly will flap its wings
From a million miles away, a little miracle will come to take you home

Just take a point called Z in the complex plane (Alternate: Take a point called C…)
Let Z1 be Z squared plus C (Alternate: Let Z1 be zero squared…)
And Z2 is Z1 squared plus C
And Z3 is Z2 squared plus C and so on
If the series of Zs will always stay
Close to Z instead of trend away
That point is in the Mandelbrot Set

Mandelbrot Set, you’re a Rorschach Test on fire
You’re a day-glo pterodactyl
You’re a heart-shaped box of springs and wire
You’re one badass fucking fractal
And you’re just in time to save the day
Sweeping all our fears away
You can change the world in a tiny way
And you’re just in time to save the day
Sweeping all our fears away
You can change the world in a tiny way
Go on, change the world in a tiny way
Come on, change the world in a tiny way

Después de escuchar cómo suenan algunas constantes matemáticas, del famosísimo I will derive, del magnífico …Banach-Tarski! o del I integrate by parts, creo que ya tenemos otra canción para nuestra lista de canciones friki-matemáticas. Por cierto, ¿conocéis más? Los comentarios son vuestros.

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El próximo sábado 25 de mayo es el día elegido para un nuevo evento Naukas: El Universo en un día, cuyo objetivo es hacer un recorrido por toda la historia de nuestro Universo, desde el Big Bang hasta los posibles finales que podría tener.

El evento, organizado junto a la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, consistirá en charlas de 25 minutos cada una en las que se tocarán diversos temas relacionados con el Cosmos. El programa completo es el siguiente:

SÁBADO 25 DE MAYO 2013 – SESIÓN DE MAÑANA

9:45 – Presentación e inauguración del evento.

10:00 – El Big Bang – Miguel Santander (Astrofísico y escritor de ciencia ficción)

10:30 – Las primeras galaxias – Javier Armentia (Astrofísico y director del Pamplonetario)

11:00 – La vida de las estrellas – Natalia Ruiz (Divulgadora científica)

11:30 – Descanso

12:o0 – Formación del sistema solar – Ricardo Hueso (Profesor en la ETS de Ingeniería y miembro del Grupo de Ciencias Planetarias de la UPV/EHU)

12:30 – El nacimiento de la Tierra – César Tomé (Divulgador científico)

13:00 – El origen de la vida – Carlos Briones (Científico del CSIC en el Laboratorio de Evolución Molecular del Centro de Astrobiología CAB-INTA)

13:30 – Descanso

SÁBADO 25 DE MAYO 2013 – SESIÓN DE TARDE

17:00 – La evolución – Antonio Osuna “Biotay” (Divulgador científico)

17:30 – Vida y diversidad – Carlos Chordá (Divulgador científico)

18:00 – Los inicios del hombre – Pepe Cervera (Paleontólogo y divulgador científico)

18:30 Descanso

19:00 – Cultura y evolución humana – Juan Ignacio Pérez (Catedrático de Cultura científica UPV/EHU)

19:30 – El futuro de la Humanidad, de figurante a guionista del universo’ – Gouki (Divulgador científico y transhumanista)

20:00 – El final del Universo – Aitor Bergara (Profesor de Física de la Universidad del País Vasco y miembro del Centro de Física de Materiales – CSIC-UPV)

Y, como es habitual en los eventos Naukas que se celebran en Bilbao, el lugar elegido para “El Universo en un día” es el Paraninfo Bizkaia Aretoa de la UPV (que, por cierto, en Google Maps aparece en obras todavía; igual es buen momento para que el coche de Google se dé alguna vuelta por ciertas ciudades de España de nuevo).

La entrada es gratuita y libre hasta completar el aforo (para quien no haya ido: es grande, pero suele llenarse). Si os gusta la Ciencia y os atrae todo lo que rodea a nuestro Universo (qué frase más curiosa, ¿verdad?), os recomiendo que, si tenéis la oportunidad, no os perdáis esta jornada. Seguro que disfrutaréis y aprenderéis muchísimas cosas.

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Un bonito (y sencillo) ejercicio relacionado con el principio de inducción consiste en demostrar que el cuadrado de la suma de cualquier conjunto de enteros positivos consecutivos que comience en el 1 es igual a la suma de los cubos de dichos números. Es decir, que para todo se cumple que

Podéis intentar resolverlo vosotros mismos, aunque si os atragantáis con él tenéis la resolución del mismo con inducción en este post donde, además, se da un procedimiento para generar conjuntos finitos con esta propiedad, a los que cariñosamente llamé conjuntos CuCu (de cuadrados-cubos).

El caso es que es interesante esta propiedad de que el cuadrado de la suma sea igual a la suma de los cubos, por lo que no está de más preguntarse qué otras colecciones de números la cumplen. Manos a la obra entonces.

La cuestión que queremos resolver es la siguiente:

¿Cuántas sucesiones de enteros positivos cumplen que

para todo ?

Es decir, ¿cuántas sucesiones CuCu existen? Esta pregunta fue planteada por nuestro amigo Antonio Rojas en este tuit hace unos días. Gracias a él tenemos hoy aquí esta entrada.

Vamos con nuestro problema. Está claro, por lo comentado al principio, que la sucesión cumple dicha propiedad, por lo que es una de las soluciones. La cosa es demostrar que es la única o encontrar qué otras sucesiones CuCu hay.

Para ello vamos a partir de la igualdad

y vamos a ver qué forma debe tener si esa igualdad es cierta. La demostración por inducción es, posiblemente, la primera opción que pasa por nuestra cabeza. De este método de demostración nosotros vamos a utilizar únicamente el primer paso, el que corresponde a :

por lo que, como , nos asegura (simplificando) que .

Y ahora, en vez de continuar con inducción, vamos a usar la siguiente propiedad:

Si , para todo , entonces

para todo .

Sea y sea . Como partimos de que son iguales se cumplirá la propiedad mencionada ahora mismo. Tenemos que

Por otro lado tenemos lo siguiente:

Igualando ambos resultados obtenemos lo siguiente:

Sacando factor común en el término de la izquierda y simplificando tenemos que

Aplicamos ahora el mismo proceso a esta igualdad. Sean

y

Como , entonces . Calculemos estas dos expresiones:

y

Tenemos entonces la siguiente igualdad:

Pero el segundo término es una diferencia de cuadrados, por lo que se puede expresar como suma por diferencia. Quedaría:

Y simplificando nos queda lo siguiente:

y esto se cumple para todo En particular para , de donde obtenemos que . Pero sabíamos que , por lo que nos queda que . Pero entonces de obtenemos que . Y siguiendo con este proceso llegamos a que, obligatoriamente, debe ser , para todo .

Por tanto, la única sucesión CuCu de números enteros positivos es , para todo . Una propiedad tan particular no podía cumplirla una sucesión cualquiera, tenía que pertenecer a una sucesión también muy particular.

Como comentario final, es posible que en este caso concreto muchos de vosotros veáis más sencillo resolver el ejercicio con inducción en vez de seguir el camino que hemos seguido aquí. Me parecería razonable, pero nunca está de más conocer nuevos “trucos” que podemos usar al intentar “hacer magia” con las demostraciones. Creo que por ello esta entrada tiene el interés suficiente como para aparecer en este blog.

Esta entrada es mi segunda aportación a la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas.

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Una de las aspiraciones del ser humano desde tiempo inmemoriales es la de construir un mapa plano perfecto. Es decir, representar correctamente nuestro planeta, esférico, en un plano. Y muchos han sido los intentos de construir dicho mapa, aunque ninguno ha llegado a fructificar. ¿Por qué? ¿Acaso no existe el mapa perfecto? Sea cual sea el caso, ¿existe algún argumento sencillo que responda a esa pregunta?

Bien, antes de responder creo que lo primero que hay que hacer es aclarar qué entendemos por mapa perfecto. Un mapa perfecto sería una proyección de la esfera terrestre en un plano que mantuviera las propiedades métricas de la propia esfera (salvo la escala). Es decir, la transformación que convierte a la esfera terrestre en un mapa plano debería ser una isometría, o, lo que es lo mismo, una aplicación que conserve las distancias (esto es, si dos puntos en la esfera están a distancia , los proyectados de esos puntos en el plano deben estar también a distancia ).

Esto tendría varias implicaciones en nuestro mapa, de entre las cuales vamos a destacar las siguientes:

• Se deben mantener las áreas: Una región en la esfera terrestre y su proyección en el plano deben tener la misma área, salvo el factor de escala.
• Se deben mantener las geodésicas: Una geodésica es una línea de longitud mínima que une dos puntos de una superficie y que está contenida en ella. En una esfera las geodésicas son los círculos máximos, que son las circunferencias obtenidas al cortar la esfera con planos que pasan por el centro de la misma (en un plano, las geodésicas son las rectas). En nuestro caso, las mínimas distancias deben mantenerse, por lo que, con nuestra proyección, una geodésica en la esfera debe convertirse en una recta en el plano.
• Se deben mantener los ángulos: Si en la esfera terrestre dos geodésicas se cortan formando un cierto ángulo, en la proyección las rectas correspondientes a dichas geodésicas deben formar el mismo ángulo.

Ya tenemos los ingredientes, por lo que ya podemos comenzar a cocinar nuestro mapa perfecto. En un plano podemos definir triángulo como “región del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos no alineados”, y de forma análoga podemos definir triángulo esférico en una esfera como “región de la esfera delimitada por tres círculos máximos que se cortan en tres puntos que no pertenecen al mismo círculo máximo”, como puede verse en la siguiente imagen:

(Imagen tomada de aquí.)

Hemos dicho que nuestra proyección perfecta debería conservar las geodésicas, por lo que los arcos de círculo máximo que delimitan el triángulo esférico deberían convertirse en segmentos de recta en la proyección. Por tanto, la proyección de un triángulo esférico sería un triángulo plano.

Pero no sólo eso, sino que según hemos comentado los ángulos entre geodésicas también deberían mantenerse. Y, más concretamente, debería mantenerse la suma de ángulos de cada uno de nuestro triángulos. Pero vamos a ver que eso es imposible.

En una esfera podemos tomar un triángulo esférico en el que cada uno de sus tres ángulos mida 90º: tomamos un arco de círculo máximo desde el Polo Norte hasta el ecuador, después otro igual que forme un ángulo de 90º con el primero y después el arco de ecuador que une los puntos de corte de los arcos anteriores con el propio ecuador, como el que se ve en la figura siguiente:

Por un lado, la suma de los ángulos de dicho triángulo es 270º. Por otro lado, si nuestro mapa fuera perfecto la proyección de este triángulo esférico sería un triángulo plano. En este triángulo plano, como en todos los triángulos planos, la suma de sus ángulos sería 180º. Pero entonces los ángulos no se conservan, ya que las sumas son distintas. Conclusión: no existen isometrías entre la esfera y el plano. O, lo que es lo mismo, no existen los mapas perfectos. Asunto zanjado…

…o no. Por un lado, el hecho de que no exista el mapa perfecto ha hecho que hayan aparecido multitud de proyecciones distintas que nos proporcionan mapas de la esfera terrestre de muchos tipos. En algunos de ellos se mantienen unas características y en otros otras. Sí, en todos hay algo que no se corresponde con la realidad, pero si hubiésemos tenido uno perfecto nos habríamos perdido todo el ingenio que han mostrado los que desarrollaron estas proyecciones.

Y por otro lado queda pendiente indagar un poco más en las razones por las que este mapa perfecto no existe. El argumento de los triángulos descarta su existencia, pero no profundiza en el porque de la imposibilidad de esta construcción. Si no pasa nada, pronto os contaré más cosas sobre esto.

Fuentes:

• El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.
• Geodésica en la Wikipedia en español.

Esta entrada es mi primera aportación a la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Joaquín desde Matemáticas interactivas y manipulativas:

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Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado es el siguiente:

Obtén los dos valores enteros de x más próximos a 2013º, tanto por defecto como por exceso, que cumplen esta ecuación trigonométrica:

A por él.

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A estas alturas nadie puede negar que la invención del Cálculo representó uno de los mayores avances de la historia de las matemáticas. Con él se abrieron nuevos horizontes: muchos problemas se simplificaron, y otros, que no tenían solución en aquella época, consiguieron resolverse. Uno de los primeros que se pudo resolver gracias al Cálculo, posiblemente el primero con cierto renombre, fue el problema de De Beaune.

Uno de los grupos de problemas cuyo estudio terminó con la invención del Cálculo fue el cálculo de tangentes, que consiste en calcular la recta tangente a una función dada en un punto. Fermat ya avanzó en este tema, pero solamente para curvas algebraicas. El Cálculo de Newton y Leibniz consiguió generalizar el problema.

También eran de interés los problemas inversos de tangentes, en los que se buscaba determinar una curva a partir de alguna propiedad de sus tangentes. Y el primero en plantear uno de esos problemas fue nuestro protagonista, Florimond de Beaune (1601-1652), jurista francés discípulo de Descartes. El problema de De Beaune consistía en encontrar la curva de subtangente constante (Fede nos habló aquí de las subtangentes de la parábola).

Al parecer Descartes intentó resolverlo por métodos geométricos, pero no lo consiguió. Y tuvo que se Leibniz, con su recién estrenado Cálculo, quien lo consiguiera. Lo hizo en la primera publicación sobre el Cálculo de la historia, titulada “Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante las cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas” y publicada en 1684 en Acta Eruditorum. Al final del mismo Leibniz escribe lo siguiente:

Me agrada añadir como apéndice la solución del problema que Descartes, a propuesta de De Beaune, intentó pero no resolvió. Encontrar una línea de tal naturaleza que la proyección de cualquiera de sus puntos sobre un eje y el corte de la tangente en ese punto con dicho eje formen un segmento de longitud constante.

Ese segmento que el problema pide que sea de longitud constante es lo que se denomina subtangente.

Leibniz consigue resolver el problema en pocas líneas:

obteniendo que .

La situación se puede plantear como sigue:

De aquí, obligando a que sea constante, por ejemplo igual a , obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

Dicha ecuación es muy sencilla de resolver (es de variables separables). La transformamos en

e integrando a ambos lados obtenemos que

En la actualidad esto significa que la función que cumple que tiene subtangente constante es la función exponencial (inversa del logaritmo neperiano)

que es la solución de la ecuación diferencial (es decir, lo que queda si despejamos ).

Y para terminar os dejo un applet de GeoGebra en el que podéis ver que efectivamente la función exponencial tiene subtangente constante. Podéis cambiar el exponente y ver que si ponéis una función tipo en dicho exponente la subtangente se mantiene constante cuando movéis el punto a lo largo de la curva, mientras que si colocáis cualquier otra cosa, o cambiáis totalmente de función, eso no ocurre:

Por cierto, como es natural si tomamos la proyección del punto sobre el eje y el corte de la tangente en el mismo eje entonces es la función la que cumple que el segmento formado por esos puntos tiene longitud constante.

Fuentes y más información:

• La verdad está en el límite, de Antonio J. Durán.
• Biografía de Florimond de Beaune en MacTutor.
• Artículo original de Leibniz en Acta Eruditorum, con traducción al español.
• 7 de octubre: Florimond de Beaune en Divergiendo.
• El descubrimiento del Cálculo, de Bartolomé Barceló.

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Eduardo Sáenz de Cabezón, profesor del Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja, ha sido el ganador de Famelab España 2013 con su monólogo Un teorema es para siempre.

Famelab es una iniciativa internacional cuyo objetivo es fomentar la divulgación científica a través de monólogos que versen sobre algún tema relacionado con la ciencia. Comenzó en 2005 en el Cheltenham Science Festival y desde 2007 se celebra en varios países de Europa, Asia y África y en Estados Unidos. En cada uno de ellos se realiza primero una preselección entre los trabajos recibidos y después se elige un ganador entre todos ellos, que es quien representa a dicho país en la fase internacional. Este año es el primero que se celebra en España y Eduardo, por tanto, se convierte así en el primer ganador de la fase nacional española y representará a España en la fase internacional en el Festival de Cheltenham del 4 al 8 de junio.

Y decíamos que el monólogo que ha presentado Eduardo se titula Un teorema es para siempre. Queréis verlo, ¿verdad? Pues aquí lo tenéis. Si no lo habéis visto os recomiendo que no os lo perdáis, y si lo habéis visto ya seguro que no os importa volver a verlo. A mí personalmente me ha encantado:

Lo dicho, a mí me ha gustado mucho. Mi más sincera enhorabuena para Eduardo, y mucha suerte para la final internacional.

Podéis encontrar más información sobre Famelab en la web española del proyecto, Famelab.es, y en la general, Famelab.org.

Y no quiero dejar escapar la oportunidad que me brinda este post para comentaros que nuestra querida Clara Grima también presentó un monólogo a este certamen, aunque por desgracia no llegó a entrar en los finalistas. Va sobre el elemento neutro de un grupo, y aquí lo tenéis:

¿Qué os han parecido? ¿Os han gustado? ¿Conocéis algún otro que trate de algo relacionado con las matemáticas? ¿Alguno de vosotros presentó un monólogo y nos lo quiere mostrar? Los comentarios son vuestros.

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Parece ser que ha caído una de las grandes conjeturas de teoría de números que quedaban sin demostrar: la conjetura débil de Goldbach. Y el encargado de cargársela es el matemático peruano Harald Andrés Helfgott mediante su trabajo Major arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1305.2897), que complementa su anterior trabajo Minor arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1205.5252).

La conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach) dice que todo número impar mayor que 5 es suma de tres números primos (puede repetirse alguno), y hasta ahora el mejor acercamiento a su demostración correspondía a Terence Tao, que el pasado año 2012 probó que el número de primos en cuya suma se puede descomponer un número impar es a lo sumo 5. Rafael Tesoro nos habló de éste y de otros resultados relacionados con ella en este post.

Ahora Harald Helfgott parece que consigue cerrar el círculo y probar que la conjetura débil de Goldbach es cierta. Y ha sido el propio Tao quien lo ha anunciado en su cuenta de Google+ (a mí me llegó a través de este comentario de Nacho y a través de un mail de Rafael Tesoro). A falta de confirmación “oficial” (después de revisión y todo eso), la palabra de Tao no es un mal “seguro”.

Por cierto, para quienes vean en esto un avance para la demostración de la conjetura fuerte de Goldbach (la de siempre: todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos) ahí va una mala noticia: no parece que sea así, ya que el método de demostración utilizado en la mayoría de los resultados exitosos relacionados con la conjetura débil de Goldbach no parece llevarse bien con la fuerte. Una lástima, pero habrá que seguir intentándolo.

No empieza mal la semana para la teoría de números. Ayer se avanzaba en el estudio de los primos gemelos y hoy parece que se demuestra la conjetura débil de Goldbach. ¿Qué será lo próximo?

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