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Actualizado: hace 11 horas 32 mins

Ha muerto Daniel Rabinovich, DEP

Vie, 08/21/2015 - 14:06

Hoy 21 de agosto de 2015 ha fallecido, por problemas cardíacos, Daniel Rabinovich, uno de los componentes del famoso grupo humorístico argentino Les Luthiers.

Creo que es justo publicar aquí en su honor su creación musical Teorema de Thales. Maestro Rabinovich, descanse en paz:

La noticia del fallecimiento de Daniel Rabinovich en algunos medios españoles:

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Descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano

Jue, 08/20/2015 - 04:30

Si estás pensando en poner un suelo nuevo o en cambiar los baldosines del baño (y también porque no todos los días se avanza en un tema que todo el mundo puede comprender y que mucha gente podría hasta atacar), puede que esta noticia te resulte interesante: se ha descubierto un nuevo pentágono que tesela el plano. Para que te quede claro qué tiene que ver esto con la estética de tu vivienda vamos a explicar un poco de qué va este nuevo descubrimiento.

Antes de nada, creo que es interesante comentar qué es eso de teselar:

Un polígono tesela el plano si podemos rellenar completamente el plano (es decir, sin que queden huecos) con copias de dicho polígono que no se superpongan entre sí.



Vais entendiendo por qué esto de teselar tiene que ver como vuestro suelo o vuestras paredes, ¿no? Bien, sigamos.

En lo que sigue, cuando hablemos de polígonos vamos a referirnos siempre a polígonos convexos, que es al tipo de polígonos al que pertenece el nuevo pentágono descubierto. Es interesante recordar que un polígono convexo es un polígono que cumple que cualquier segmento que una dos puntos de dicho polígono queda totalmente contenido dentro de él:

Comencemos desde el principio: ¿con qué polígonos podemos teselar el plano? Aunque en principio se podría pensar que son muchos, y de muchos tipos y características, una primera exploración quizás nos lleve a concluir que en realidad no son tantos.

Si nos ceñimos a polígonos regulares (es decir, a polígonos cuyos lados son iguales y cuyos ángulos interiores tienen la misma medida), sólo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular son capaces de teselar el plano. Ni el pentágono regular, ni el heptágono regular, ni ningún otro polígono regular puede aspirar a rellenar completamente el plano de la forma comentada. Es decir, en el caso de los polígonos regulares la cosa está completamente resuelta.

Ahora, ¿qué ocurre con los no regulares? Pues la cosa está así:

  • Todo triángulo tesela el plano, independientemente de la medida de sus lados y de sus ángulos.
  • Todo polígono de cuatro lados tesela el plano, sea cual sea también la medida de sus lados y de sus ángulos.
  • Los hexágonos que pueden teselar el plano están clasificados en tres clases, que son las siguientes:

    Dichas clases cumplen las siguientes condiciones:

    1. A+B+C=360^\circ y a=d.
    2. A+B+D=360^\circ y a=d,c=e.
    3. A=C=E=120^\circ y a=b,c=d,e=f.
  • Ningún polígono (recordad, convexo) de 7 o más lados puede teselar el plano.

¿Y qué ocurre con el pentágono? Pues muy sencillo: el caso del pentágono es el único que sigue abierto. Es decir, no hay una clasificación exhaustiva de los tipos de pentágonos que pueden teselar el plano.

Hasta hace nada se conocían 14 tipos de pentágonos con los que podíamos recubrir un plano de la manera descrita. Los primeros que se descubrieron datan de 1918, y su descubridor fue el matemático alemán Karl Reinhardt. Descubrió 5 clases de pentágonos que teselaban el plano, y durante un tiempo se creía que no había ninguno más…

…hasta que en 1968 R. B. Kershner encontró tres tipos más. El estudio de este tema debió continuar, porque en 1975 Richard James encontraba un nuevo tipo.

Y en este punto llega la parte curiosa del estudio de los pentágonos teseladores. Marjorie Rice, una ama de casa de unos 50 años que había leído sobre el tema en la columna de Martin Gardner en Scientific American, se interesó por el asunto y encontró cuatro tipos más, desarrollando su propio método y su propia notación. Y la cosa terminó en 1985, cuando Rolf Stein encontró el tipo de pentágono telesador número 14 (podéis ver las características de estos 14 tipos en este enlace).

Hasta hoy. La noticia es el descubrimiento de un nuevo pentágono, que no entraría en ninguno de los 14 tipos conocidos, con el que podemos teselar el plano. En concreto, éste es nuestro nuevo pentágono

con el que podríamos construir teselaciones tan bonitas como ésta:

Y los protagonistas de este descubrimiento son Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau, de la Universidad de Washington Bothell. Mediante una búsqueda por ordenador, han encontrado un nuevo pentágono teselador esencialmente distinto a todos los conocidos hasta ahora. Al parecer, todavía no hay publicación por su parte al respecto, pero seguro que pronto tendremos su trabajo publicado para poder echarle un vistazo.

Después de este hallazgo, la clasificación de los tipos de pentágonos teseladores quedaría así (el último encontrado es el de abajo a la derecha):

¿Y sabéis qué es lo más interesante de todo? Que el problema continúa abierto. Sí, se ha descubierto un pentágono nuevo con esas características, pero no se ha demostrado que no haya más. De hecho, las sospechas apuntan a que esta clasificación todavía está incompleta, a que hay más tipos de pentágonos esencialmente distintos a estos 15 que también pueden teselar el plano. Así que ya sabéis, a trabajar.

Fuentes y enlaces relacionados:

Por cierto, ya aprovecho para haceros una petición. Si alguien encuentra por ahí el siguiente paper de Béla Bollobás

  • Filling the plane with congruent convex hexagons without overlapping, Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica, 6 (1963), 117–123

le agradecería que dejara el link en un comentario o que me lo mande por mail. Muchas gracias.

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En mantenimiento

Mar, 08/18/2015 - 23:23

El blog está en mantenimiento. Espero que este fin de semana podamos estar ya a pleno rendimiento. Disculpad las molestias.

(Vídeo) Ars Qubica

Mar, 08/18/2015 - 04:30

El último trabajo de Cristóbal Vila (en colaboración con más gente, podéis ver los detalles aquí) se llama Ars Qubica, y, como es habitual, se trata de una maravillosa animación que en este caso pretende destacar la relación entre las matemáticas y el arte.

Más concretamente, la idea principal del vídeo gira en torno a la creación, a partir de un cubo, de ciertas formas geométricas planas (un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono no regular y un hexágono) con las que después se construyen recubrimientos del plano. En el vídeo también se muestran dos cuadrados mágicos, destacando el cuadrado mágico de Durero (que aparece en su grabado Melancolia I):

Bueno, aquí os dejo esta maravilla de animación. Señoras, señores, con ustedes Ars Qubica:

Y aquí tenéis otros trabajos de Cristóbal Vila que han aparecido en Gaussianos:

Aunque ya se ha publicado en bastantes sitios, yo lo vi por primera vez en El Lolaberinto y, hace unos días, de nuevo en Microsiervos.

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El artículo de matemáticas más corto de la historia (con bonus ZASCA)

Jue, 08/13/2015 - 04:00

Hace unos meses, nuestro amigo Francis Villatoro (aka @emulenews) publicaba en su blog de Naukas una entrada titulada El artículo físico más corto de la historia, en la que, como el propio título indica, nos enseñaba el artículo físico que, según lo que él conoce, es el más corto de los publicados en una revista especializada. En esta entrada vamos a ver lo mismo, pero en lo que se refiere a las matemáticas.

El artículo del que hablaba Francis es “The Ratio of Proton and Electron Masses,” Phys. Rev. 82, 554–554 (1951), de Friedrich Lenz, y es éste:

Como bien comenta Francis, la cortísima extensión del mismo se aprecia mejor viendo la página entera en la que se encuentra:

Realmente corto, efectivamente.

¿Y qué pasa con las matemáticas? Pues, casualmente, poco tiempo después de ver el artículo de Francis me encontré con este artículo de Open Culture (la información la encontraron en este tuit de Clifford Pickover, cuya cuenta de Twitter recomiendo especialmente) en el que se hablaba de ello. Según ellos, el artículo de matemáticas más corto de entre los publicados en una revista especializada es éste:

El artículo en cuestión apareció en el Bulletin of the American Mathematical Society, y se puede descargar de forma gratuita aquí. Como podéis ver, en él se da un contraejemplo a la llamada conjetura de Euler. Los más viejos del lugar (me refiero a Gaussianos) quizá recordéis que en este blog ya se habló de esta conjetura aquí, y también se comentó este contraejemplo, que al parecer fue el primero que se encontró (después se han encontrado más).

Y ahora os propongo lo que todos estabais esperando: que nos mostréis en los comentarios artículos científicos (si son matemáticos mucho mejor) que destaquen por su corta extensión. A ver si sale alguna cosa curiosa.

Bonus ZASCA

Y vamos con el bonus. Lo siguiente no parece que se haya publicado en ninguna revista matemática, pero es digno de mención. Según cuenta la leyenda, en una ocasión el matemático Augustin Louis Cauchy recibió un trabajo en el que se demostraba que la ecuación x^3+y^3+z^3=t^3 no tenía soluciones enteras positivas. Lo que hizo Cauchy con dicho trabajo fue reenviárselo a los autores con la siguiente nota:

3^3+4^3+5^3=6^3


(No está claro que Cauchy enviara también esta imagen, pero sin duda la ocasión lo merecía)

Otro contraejemplo que como publicación en revista habría quedado también como uno de los artículos matemáticos más cortos de la historia.

Por cierto, me he vuelto loco buscando alguna fuente fiable que confirme la historia del contraejemplo de Cauchy, pero no he podido encontrarla. Si alguien la encuentra le agradecería mucho que me la enviara o que dejara la información en un comentario.

La imagen de Cauchy la he tomado de aquí.

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[Vídeo] The Banach-Tarski paradox

Mar, 08/11/2015 - 21:34

La paradoja de Banach-Tarski es, sin lugar a dudas, uno de los resultados matemáticos más extraños que nos podemos encontrar (dentro de los que poseen un enunciado comprensible para cualquier hijo de vecino). De este teorema (sí, es un teorema) ya hemos hablado en este blog (post a partir del cual Gaussianos apareció en un libro italiano dedicado a Martin Gardner), pero sigue siendo una cuestión lo suficientemente interesante como para compartir nuevos contenidos relacionados con ella.

En esta ocasión os traigo un vídeo que lleva un par de semanas en la red (que, entre otros, me recomendó nuestro gran seguidor y comentarista Asier en este comentario) que trata esta paradoja y que en tan poco tiempo lleva ya casi dos millones y medio de visitas. En él, como podréis ver, también se habla de la paradoja del chocolate infinito (cuya solución podéis ver aquí/a>), del método diagonal de Cantor y del hotel infinito de Hilbert, entre otros temas. En definitiva, un vídeo que no te puedes perder (aunque esté en inglés):

Por cierto, imperdible también la versión de la canción Barbra Streisand dedicada a la paradoja de Banach-Tarski. Porque en las matemáticas también tiene cabida el humor.

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Gaussianos cumple 9 años de vida

Dom, 07/26/2015 - 14:49

Pues sí amigos y amigas. Hoy, día 26 de julio de 2015, Gaussianos cumple 9 años de vida, 9 años de curiosidades, anécdotas, problemas, teoremas, demostraciones, historias, biografías y todo tipo de textos relacionados con las matemáticas. Sí, sé que casi siempre digo lo mismo, pero cuando allá por 2006 comenzó la andadura de este blog nunca me habría imaginado que llegaría a estar tanto tiempo formando parte de la blogosfera activa…

…aunque es cierto que este último año ha sido el menos prolífico de Gaussianos. Ciertos temas (laborales, personales y técnicos) han provocado que en los últimos doce meses la frecuencia de publicación haya sido mucho menor que en años anteriores, llegando incluso al hecho de que el último post escrito antes que éste sea de hace más de tres meses.

Pero os aseguro que estoy empeñado en que esa época pase a la historia, lo que significa que Gaussianos vuelve a la actividad. No sé si será con la misma frecuencia que en los mejores tiempos del blog, pero puedo prometer y prometo que voy a volver a escribir y publicar. Por muchos problemas técnicos que haya (y en los últimos tiempos ha habido, y sigue habiendo, demasiados), no estoy dispuesto a que este blog pase a ser un muerto viviente de la blogosfera de habla hispana. Y espero que vosotros sigáis ahí, ya sea para leer, comentar, proponer temas o enviar colaboraciones. Todo será bien recibido.

Bueno, y aunque este año haya sido así todavía quedan algunas cosas que comentar sobre él. Por ejemplo, que Gaussianos volvió a ser finalista de los premios Bitácoras en su décima edición, aunque volvimos a quedarnos con la miel en los labios, ya que el ganador fue el blog Dimetilsulfuro. Veremos si hay más suerte en otra ocasión.

En lo que se refiere a lo presencial, en estos últimos 365 días he tenido el honor de colaborar con dos importantes e interesantes eventos. El 22 de septiembre de 2014 impartí la conferencia de bienvenida a los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Sevilla invitado por Tito Eliatron. La conferencia se tituló Cuestiones matemáticas que me ocultaron en la universidad, y en este post podéis ver el vídeo de la misma. Y el 16 de enero de 2015 impartí la conferencia de clausura del II CEAM de Castilla-La Mancha. Dicha charla se tituló Profe, ¿y esto para qué vale? y aquí podéis ver el vídeo.

Como es habitual, ahora vendría un apartado con estadísticas del blog: visitas, suscriptores, etc. Este año no va a ser así. Todos los problemas técnicos que he tenido en los últimos meses han provocado que las estadísticas que tengo acumuladas no sean muy fiables (y la variabilidad de los datos de Feedburner tampoco ayuda), por lo que prefiero no dar cifras que con casi toda seguridad no reflejarán la situación real del blog.

Lo que sí voy a hacer es dejaros los enlaces de algunos de los artículos publicados en el último año, los más interesantes bajo mi punto de vista. Ahí van:

En la sección Archivo podéis acceder a estos artículos y a todos los demás, tanto de este año como de años anteriores. También podéis acceder a las categorías (que aparecen en la barra lateral) si queréis ver algún tipo de artículo en concreto. Y si queréis comentarme algo o enviar alguna colaboración entrad en la sección Contacto, donde encontraréis un formulario para enviarme cualquier opinión que tengáis y un mail si lo que me mandáis es una colaboración. Y si tenéis curiosidad por conocer algún dato mío, la sección ¿Quiénes somos? es la vuestra.

Y en relación con la redes sociales, tenéis a Gaussianos en Twitter, en Facebook (donde mi perfil personal es éste) y en Google+ (y aquí mi perfil personal). También puedes visitar el canal de Youtube del blog, Gaussianosblog, y mi perfil en GeogebraTube.

Y para terminar, agradeceros que, a pesar de todo lo que comentaba al principio del post, sigáis ahí. Nunca podré encontrar las palabras adecuadas para expresaros todo ese agradecimiento. Intentaré no fallaros.

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