VERSION ACTUAL :

Inicio de sesión

Raulito el Friki

Raulito El Friki

COMENTARIOS

EN LINEA

Hay actualmente 0 usuarios conectados.

NUEVOS

  • lobo357
  • aleguia
  • gmonteagudo
  • fabrihack
  • BoltSpectrum

Se encuentra usted aquí

Gaussianos

Subscribe to canal de noticias Gaussianos
Porque todo tiende a infinito...
Actualizado: hace 3 horas 40 mins

L OME en Requena – Problema 1

Lun, 04/14/2014 - 05:00

Los pasados días 28 y 29 de marzo de 2014 se celebró en Requena la L Olimpiada Matemática Española. A partir de hoy os iré dejando propuestos, a razón de uno por semana, los seis problemas que se plantearon en dicha competición. Como siempre, os pido que si conocéis la solución de los mismos por haberla consultado en otro sitio dejéis un tiempo antes de responder para que los demás puedan intentar resolver los problemas. Muchas gracias.

Ahí va el primer problema:

¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números 0, 1, 2,…,9 de tal manera que la suma de tres números sucesivos cualesquiera sea, como mucho, a) 13, b) 14, c) 15?

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

[Vídeo] Derive me baby

Sáb, 04/12/2014 - 12:14

Muchas son las versiones que se han hecho de la canción Call me baby de Carly Rae Jepsen (antológico es este vídeo con cortes de Chatroulette, las reacciones de la gente son para no perdérselo). Y, cómo no, tenía que haber una matemática. Atentos, que llega Derive me baby:

Aquí tenéis la letra:

I made a wish about you
x of t is 22
i looked to you for a clue
v of t decreasing

I’d make the graph concave up
the integral I’d set up
rotate it into a cup
radius increasing

study the relation
trying integration
graph the correlation
why’d you use u-substitution?

hey! i just met you
and this is crazy
but here’s my du
derive me maybe

it’s hard to integrate
without you baby
but here’s my du
derive me maybe

hey! i just met you
and this is crazy
but here’s my du
derive me maybe

and all the secants
intersect me
but here’s my du
derive me maybe

i took the range and domain
you found that it was no pain
limits all over the plane
you made them undefined

can’t find your min or your max
you just stopped dead in your tracks
gotta remember the facts
to find the graph’s design

study the relation
trying integration
graph the correlation
why’d you use u-substitution?

hey! i just met you
and this is crazy
but here’s my du
derive me maybe

it’s hard to integrate
without you baby
but here’s my du
derive me maybe

hey! i just met you
and this is crazy
but here’s my du
derive me maybe

and all the secants
intersect me
but here’s my du
derive me maybe

before i learned l’hopital’s rule
limits were so bad
limits were so bad
limits were so so bad

before i learned l’hopital’s rule
limits were so bad
i know too well that
limits were so so bad

it’s hard to integrate
without you baby
but here’s my du
derive me maybe

hey! i just met you
and this is crazy
but here’s my du
derive me maybe

and all the secants
intersect me
but here’s my du
derive me maybe

before i learned l’hopital’s rule
limits were so bad
limits were so bad
limits were so so bad

before i learned l’hopital’s rule
limits were so bad
and you should know to
derive me, maybe?

A la altura de maravillas como I will derive, …Banach-Tarski! o I integrate by parts, sin duda.

Vía este tuit de @AlfonsoFR.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Calcular las soluciones enteras

Mar, 04/08/2014 - 05:00

El problema de esta semana en Gaussianos es el siguiente:

Determinar las soluciones enteras de la ecuación

x^4+y^4=3x^3y

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber

Lun, 04/07/2014 - 04:00

Seguro que la gran mayoría de vosotros sabréis quién es Ken Keeler, ¿verdad? Sí, Ken Keeler es…esto…es…¿quién es Ken Keeler?

Pues Ken Keeler es un matemático que se doctoró en la prestigiosa Universidad de Harvard. Pero principalmente es conocido por ser el guionista de siete capítulos de Los Simpson y de nueve capítulos de Futurama, ambas con gran cantidad de contenido matemático (como por ejemplo El UTF y Los Simpson o la serie Futurama y las Matemáticas que consta de estas cinco entradas: I, II, III, IV y V). Pero la historia que os voy a contar hoy no tiene como protagonista principal a Ken, sino a Martin Keeler, su padre.

Contaba Ken en una entrevista lo siguiente sobre su padre, médico de profesión:

La principal influencia que tuve fue mi padre, que era médico… Sólo hizo un curso de cálculo, pero recuerdo que una vez le pregunté cuál era la suma de los primeros n al cuadrado, y fue capaz de hallar la fórmula en unos pocos minutos:

\cfrac{n^3}{3}+\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{n}{6}

Lo que todavía me sorprende es que no lo hizo con ningún argumento geométrico (como se suele derivar normalmente la suma de los primeros n enteros) ni con un argumento inductivo. Supuso que la fórmula era un polinomio cúbico con coeficientes desconocidos, y luego averiguó los coeficientes resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones lineales generado computando las cuatro primeras sumas de cuadrados (y lo hizo todo a mano, sin determinantes). Cuando le pregunté cómo sabía que la fórmula sería un polinomio cúbico, me dijo: “¿Y qué otra cosa iba a ser si no?”.

Primero: la solución dada por Martin Keeler es correcta. La suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos es:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n i^2}=1^2+2^2+ \ldots +n^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Es sencillo demostrar dicha igualdad utilizando inducción (método de demostración que explicamos aquí y que hemos usado en más de una ocasión en este blog), y si operamos y después simplificamos en dicha expresión obtenemos el resultado de Martin Keeler.

Segundo: ¿por qué la intuición matemática de Martin Keeler acertó de pleno en este caso? ¿Hay alguna razón que le pudiera llevar a pensar en que el resultado debía ser un polinomio de grado 3 sí o sí o fue casualidad? La suma de los primeros n enteros positivos es:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n i}=1+2+ \ldots +n=\cfrac{n(n+1)}{2}=\cfrac{n^2}{2}+\cfrac{n}{2}

Es decir, un polinomio de grado dos. Siendo entonces la suma de los primeros n enteros elevados a 1 un polinomio de grado dos, podría ser razonable pensar que la suma de los primeros n enteros elevados a 2 sería un polinomio de un grado más que el anterior, de grado 3 por tanto. Y digo razonable porque en realidad muchas suposiciones se podrían considerar razonables inicialmente en este caso, siendo la mayoría de ellas desechadas después de algunos cálculos. Por eso podría ser verosímil que papá Keeler acertara de casualidad, y que lo de “¿Y qué otra cosa iba a ser si no?” fuera más bien una sobrada. Pero, como siempre, me gustaría ver vuestra opinión al respecto en los comentarios.

Pero bueno, la cuestión es que papá Keeler acertó, sea como sea…y si hubiera seguido con el mismo razonamiento habría acertado para todas las posibles potencias enteras positivas. Me explico: la suma de las potencias p de los primeros n enteros positivos se puede expresar como un polinomio de grado p+1 con coeficientes racionales. Este resultado es conocido como la fórmula de Faulhaber, y se expresa de la siguiente forma:

\displaystyle{\sum_{i=1}^n i^p}=\cfrac{1}{p+1} \displaystyle{\sum_{j=0}^p {{p+1} \choose j} B_j \; n^{p+1-j}}

siendo B_j los números de Bernoulli (y tomando B_1={1 \over 2}).

Johann FaulhaberEl nombre de dicha fórmula se debe a Johann Faulhaber, matemático alemán del siglo XVII y fundador de una escuela de ingenieros que se dedicó, entre otras cosas, al estudio de las sumas de las potencias de los primeros n enteros.

Sin embargo, dicha fórmula no fue descubierta por Faulhaber. Él simplemente encontró las expresiones para dichas sumas hasta la potencia 25 (mucho más de los que se había hecho hasta ese momento) y las publicó en su libro Academia Algebra. Pero hizo todavía más: encontró expresiones para las sumas de las potencias impares expresadas como polinomios en función de \textstyle{N=\frac{n(n+1)}{2}}, es decir, en función de la suma de los primeros n enteros positivos. Aquí tenéis algunos ejemplos:

\begin{matrix} 1 + 2 + 3 + \cdots + n = N \\ \\ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3=N^2 \\ \\ 1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = \cfrac{4N^3-N^2}{3} \\ \\ 1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + n^7=\cfrac{12N^4-8N^3+2N^2}{6} \end{matrix}

Pero no dio una demostración para cualquier potencia impar. Tuvimos que esperar a 1834 para que Jacobi presentara una prueba rigurosa de este resultado. En Johann Faulhaber and sums of powers, de Donald Knuth, tenéis más información sobre el tema.

Por cierto, como curiosidad comentar que Faulhaber dejó estos resultados en su libro en forma de código secreto, y que parece que el primero que lo descifró fue el propio Knuth, dándose cuenta así de que las expresiones dadas por Faulhaber eran correctas hasta la potencia 23, pero incorrectas para las potencias 24 y 25.

Fuentes:

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Demostrar que es múltiplo

Lun, 03/31/2014 - 05:00

Como se puede leer en el título, el problema de esta semana es:

Demostrar que

2014^{2013}-1013^{2013}-1001^{2013}

es múltiplo de

2014^3-1013^3-1001^3

A por él.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

¡¡Gaussianos es finalista de los Premios 20Blogs 2013 en la categoría “Ciencia, Tecnología e Internet”!!

Vie, 03/28/2014 - 13:33

Es un placer para mí contaros que por segundo año consecutivo Gaussianos es finalista de los Premios 20Blogs en la categoría de Ciencia, Tecnología e Internet. En esta entrada del blog de los premios podéis ver la lista completa de finalistas en cada una de las categorías del concurso.

Los otros finalistas de esta categoría son Ciencia Bizarra y mi amigo José Manuel López Nicolás con su blog SCIENTIA. Dos duros competidores, sin duda alguna, con los que comparto podio en esta ocasión. Mi más sincera enhorabuena para vosotros por haber llegado a la final.

Y, cómo no, tengo que dar las gracias tanto a todos los que me habéis votado y apoyado en estos premios como a los responsables de la elección de los finalistas. Es un gran honor para mí haber resultado elegido entre los finalistas por segunda vez. Gracias de nuevo.

Y para terminar no quiero dejar pasar esta oportunidad para agradeceros a todos los que participáis en el blog que lo sigáis haciendo, sobre todo en esta última época en la que la actividad del blog es algo más irregular de lo que había sido habitual en los 7 años anteriores. Os prometo que esto dejará de ser así muy pronto, lo merecéis.

Os mantendré informados de todo lo relacionado con la entrega de estos premios tanto por aquí como por las redes sociales.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Yakov Sinai, premio Abel 2014

Jue, 03/27/2014 - 08:44

Yakov SinaiEl matemático ruso Yakov Sinai, a los 78 años de edad, ha sido galardonado con el premio Abel 2014 por la por sus “contribuciones fundamentales a los sistemas dinámicos, la teoría ergódica y la física matemática”. Sinai, catedrático de la Universidad de Princeton, añade este premio a la Medalla Boltzmann conseguida en 1986, al Premio Dannie Heineman de Física Matemática de 1989, a la Medalla Dirac en 1992, al Premio Nemmers en Matemáticas de 2002 y al Premio Wolf de Matemáticas den 1997.

Las principales aportaciones de Sinai a las matemáticas se encuadran en la teoría de sistemas dinámicos, física matemática y teoría de la probabilidad. Recomiendo leer El matemático ruso Yakov G. Sinai recibe el Premio Abel 2014, en el blog de Francis, y El matemático Yakov Sinai recibe el premio Abel 2014, en la Agencia SINC, para profundizar algo más en ellas.

Fuentes y enlaces relacionados:

Esta entrada participa en la Edición 5.2: Emmy Noether del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza MatesDavid.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Producto de dos vértices consecutivos

Lun, 03/24/2014 - 05:00

Os dejo el problema de esta semana:

Consideramos un polígono regular de 90 vértices numerados al azar del 1 al 90. Demostrar que siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto es mayor o igual que 2014.

A por él.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Área del triángulo

Lun, 03/17/2014 - 12:03

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Sea \triangle ABC un triángulo y D,E,F tres puntos cualesquiera sobre los lados AB,BC y CA respectivamente. Llamemos P al punto medio de AE, Q al punto medio de BF y R al punto medio de CD. Demostrar que el área del triángulo \triangle PQR es una cuarta parte del área del triángulo \triangle DEF.

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

La cuestión más importante que aún no se ha respondido sobre el número Pi

Vie, 03/14/2014 - 14:35

PiHoy día 14 de marzo se celebra mundialmente el día de Pi, por ser su notación en algunos países, 3-14, una aproximación de dicho número.

Del número Pi sabemos muchísimas cosas: es irracional (y II) y trascendente, es protagonista de muchas fórmulas conocidas (como en áreas y volúmenes de figuras sencillas como la esfera), aparece en cuestiones relacionadas con probabilidad (como aquí), está relacionado con el conjunto de Mandelbrot, forma parte de la identidad de Euler

…pero también hay cosas que no sabemos. Hoy vamos a comentar una de ellas, posiblemente la más importante.

No sabemos si el número Pi es un número normal en base 10

Un número normal en una base b es un número real que cumple que las cifras de su expresión decimal en dicha base siguen una distribución uniforme. Es decir, todos los números de una cifra aparecen en dicha expresión en la misma proporción, y lo mismo ocurre con los números de dos cifras, con los de tres, etc.

Bien, pues a estas alturas no se sabe si el número Pi es un número normal en base 10 (y de hecho, hasta donde yo sé, no se sabe si lo es en alguna otra base). Se conjetura que la respuesta a esta cuestión es afirmativa, pero no se ha podido demostrar, y tampoco se ha podido demostrar lo contrario.

Sin embargo, sí se sabe que otros números son normales en base 10, como el número de Champernowne

0,1234567891011121314151617181920212223 \ldots

cuyos decimales se obtienen concatenando los números enteros positivos, o el número de Copeland-Erdös

0,23571113171923 \ldots

cuyos decimales son la concatenación de los números primos.

Pi¿Será el número Pi un número normal en base 10? Pues estadísticamente es lo más probable, ya que el conjunto de los números normales en base 10 es mucho mayor que el conjunto de los no normales (aun siendo ambos conjuntos infinitos), aunque evidentemente esto no demuestra nada.

Recomiendo leer el artículo No es seguro que todo el universo esté contenido en Pi, pero sí en otros números, de David Orden, en el que habla sobre este tema y proporciona muchos enlaces con información adicional.

Bonus: un par de cuestiones más que no conocemos sobre el número Pi

Y para terminar este artículo os dejo un par de cuestiones más que tampoco conocemos sobre esta maravilla de constante matemática que es el número Pi:

  • ¿Son los números \pi+e, \pi \over e y log(\pi) irracionales?

    Tanto \pi como e son irracionales (sobre lo segundo tenéis una demostración aquí y otra aquí), y de hecho se sabe que son trascendentes (del segundo podéis ver una prueba aquí), pero no se sabe si \pi+e y/o \pi \over e son también irracionales (y mucho menos si son trascendentes). No parece fácil demostrar si es cierto o falso que lo sean, pero ahí queda por si alguien quiere intentarlo.

    Lo mismo ocurre con log(\pi). Se sabe que el logaritmo decimal de un número racional es un número entero o un número irracional, pero no se sabe qué ocurre con log(\pi). Otro problema (difícil) que podéis atacar si os veis con ganas.

  • ¿Está la constante de Apéry relacionada con el número Pi?

    El problema de Basilea consiste en calcular el valor de la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos. Es decir, al cálculo del valor de la siguiente suma infinita:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

    Leonhard Euler determinó que el valor de dicha suma es \pi^2 \over 6 (aquí tenéis otra demostración). Pero Euler hizo más: determinó los valores de las sumas correspondientes a los inversos de las potencias cuartas, sextas, y así hasta ¡¡26!! de los enteros positivos…y resultó que todas se relacionan de alguna forma con el número Pi. Por ejemplo:

    \cfrac{\pi ^6}{945}=\cfrac{1}{1^6}+\cfrac{1}{2^6}+\cfrac{1}{3^6}+\cfrac{1}{4^6}+\cfrac{1}{5^6}+ \dots

    Pero Euler no dijo nada sobre los inversos de las potencias impares. De hecho ni siquiera se sabe cuál es el valor para exponente 3. Es decir, no se conoce el valor de la siguiente suma:

    \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^3}}

    que se denomina constante de Apéry, porque fue Roger Apéry quien demostró en 1977 que el resultado de esta suma infinita es un número irracional.

    Teniendo en cuenta que parece que los valores para exponente par se relacionan todos con el número Pi (aunque ahora mismo no sé si hay algún resultado que afirme esto para todo exponente par), no es descabellado pensar que para potencias impares pudiera pasar lo mismo. Ahora, no se sabe nada sobre ello, ni afirmativa ni negativamente. ¿Lo sabremos algún día? Esperemos que sí.

    Seguro que algunos de vosotros sabéis de más cuestiones relacionadas con el número Pi que siguen sin tener respuesta. Tenéis lo comentarios para contárnoslas.

    La primera imagen de Pi la he tomado de aquí y la segunda de aquí.

    Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

    Construye tú también el poliedro de Császár.

(Vídeo) Singing Pi-Gram

Vie, 03/14/2014 - 08:09

Hoy 14 de marzo, día de pi, creo que es el mejor momento para mostraros el vídeo con el que Vi Hart celebró este día el año pasado. No tiene desperdicio:

Tremendo, ¿verdad? A ver quién se atreve a hacer uno es español y nos lo pasa.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Número de soluciones reales

Mar, 03/11/2014 - 07:21

Os dejo el problema de esta semana:

Determinar cuántas soluciones reales de la siguiente ecuación:

\sqrt{2-x^2}=\sqrt[3]{3-x^3}

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Coloreando fichas numeradas

Mar, 03/04/2014 - 07:52

Vamos con el problema semanal. El enunciado es el siguiente:

Tenemos 50 fichas numeradas del 1 al 50, y queremos colorearlas de verde o azul. Sabemos que la ficha 5 es azul, y para colorear las demás debemos usar las siguientes reglas:

  1. Si la ficha con número x y la ficha con número y son de distinto color, entonces la ficha con número |x-y| se pinta de color verde.
  2. Si la ficha de número x y la ficha de número y son de distinto color y x \cdot y es un número del 1 al 50 (ambos incluidos), entonces la ficha con número x \cdot y se pinta de color azul.

Determinar cuántas coloraciones se pueden realizar en nuestro conjunto de fichas.

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Integrando por partes like a boss

Jue, 02/27/2014 - 09:32

Este post es una colaboración enviada por Don Mostrenco. Si quieres realizar alguna sugerencia o enviar alguna colaboración puedes hacerlo a través de la sección Contacto.

La integración por partes

Nunca me gustó la fórmula de la integración por partes. Me refiero a ésta:

\displaystyle{\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du}

Escrita así, siempre me pareció asimétrica e incómoda de aplicar. El caso es que, como casi todos los métodos de resolución de integrales indefinidas, éste es una consecuencia directa de las reglas de derivación. Concretamente de la regla del producto. Veámoslo:

\cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = \cfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \cfrac{dv}{dx}

Si ahora reordenamos los términos:

u \cdot \cfrac{dv}{dx} = \cfrac{d}{dx} \left (u \cdot v \right ) - \cfrac{du}{dx} \cdot v

e integramos:

\displaystyle{\int \left( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right) \cdot dx = \int \left( \cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) \right) \cdot dx - \int \left( \cfrac{du}{dx} \cdot v \right) \cdot dx}

Voilà!, recuperamos la fórmula inicial.

El método

Pero, un momento. Si la fórmula de integración por partes no es más que la regla del producto escrita de otra manera… ¿debería ser posible integrar utilizando únicamente derivadas y sus propiedades? La respuesta no sólo es afirmativa, sino que además el proceso es relativamente sencillo. Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos integrar la función f(x) = x \cdot e^{2x}. En lugar de empezar a bautizar variables como u y dv , intentemos buscar una solución a ojo. Busquemos una función que, una vez derivada, nos dé al menos algo parecido a f(x) . Por ejemplo, probemos con \frac{x}{2} \cdot e^{2x} :

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) = x \cdot e^{2x} + \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

¡Vaya!, ha estado cerca. El segundo término nos está haciendo la puñeta. Despejando f(x) se ve muy claro el problema:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) - \cfrac{1}{2} \cdot e^{2x}

Pero… ¡un momento!, el segundo término puede expresarse a ojo como una derivada (o lo que es lo mismo, es una integral inmediata):

-\cfrac{1}{2} \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Insertando esta última expresión en la inmediatamente anterior obtenemos:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} \right) + \cfrac{d}{dx} \left( -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Y como la derivación es una operación lineal:

f(x) =  x \cdot e^{2x} = \cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} \right)

Ya tenemos la integral:

\int f(x) \cdot dx =  \int x \cdot e^{2x} \cdot dx = \cfrac{x}{2} \cdot e^{2x} -\cfrac{1}{4} \cdot e^{2x} + c

Este método puede parecer retorcido la primera vez que se aplica, pero os aseguro que una vez que uno se acostumbra ya no quiere volver a saber nada de u y dv . Si os animáis a intentarlo, os dejo un ejercicio en el que el proceso debe aplicarse dos veces. Integrar:

f(x) = x^2 \cdot \cos (x)

Una pista, como primer candidato utilizad x^2 \cdot sen(x) . Los pasos por los que deberíais pasar son los siguientes:

x^2 \cdot \cos (x) = \dfrac{d}{dx} \left( x^2 sen(x) \right) - 2x \cdot sen(x)

- 2x \cdot sen(x) = \cfrac{d}{dx} \left( 2x \cdot \cos (x) \right) -2 \cos (x)

-2 \cos (x) = \cfrac{d}{dx} \left( -2 sen(x) + c \right)

Integrar derivando

Recapitulemos. Todo el método descansa sobre el Teorema Fundamental del Cálculo, que hablando pronto y mal nos dice que existe la siguiente relación entre derivada e integral indefinida:

F(x) = \displaystyle{\int f(x) \cdot dx \Rightarrow f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F(x) \right)}

Los casos en los que podemos encontrar directamente una función F(x) se corresponden con las integrales inmediatas. Muchos casos de cambio de variable también son fácilmente abordables desde el punto de vista de la derivada. Por ejemplo, para integrar e^{5x} podemos empezar observando que:

\cfrac{d}{dx} \left( e^{5x} \right) = 5 \cdot e^{5x}

y dado que la derivación es una operación lineal:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} \right) = e^{5x}

tenemos libertad para sumar una constante arbitraria dentro de la derivada, pues se convertirá en un cero una vez derivada:

\cfrac{d}{dx} \left( \cfrac{e^{5x}}{5} + c \right) = e^{5x}

y por tanto:

\cfrac{e^{5x}}{5} + c = \int e^{5x} \cdot dx

El caso de las integrales por partes es quizá el más retorcido, pues el proceso implica aplicar una o varias expresiones sucesivas del tipo:

f(x) = \cfrac{d}{dx} \left( F_{parte}(x) \right) + \epsilon(x)

La principal ventaja práctica de abordar de esta manera los problemas de integración es que nos ahorra memorizar las integrales inmediatas y las reglas de integración. Hay otra ventaja un poco más teórica y más oculta, y es que si nos acostumbramos a usarlo, nunca más se nos olvidará el teorema fundamental del cálculo. Os animo a darle una oportunidad.

Y para terminar un poquito de humor. No puedo dejar pasar la oportunidad que me brinda esta colaboración de Don Mostrenco para aconsejaros que veáis el vídeo I integrate by parts. No tiene desperdicio.

Esta entrada participa en la Edición 5.1: Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro Tito Eliatron.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Desigualdad en un octógono

Mar, 02/25/2014 - 06:54

Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sean A_1, \ldots, A_8 los vértices de un octógono convexo (es decir, un octógono cuyos ángulos internos son todos menores que 180^\circ). Además, los lados del octógono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada i=1, \ldots,8 definimos el punto B_i como la intersección del segmento A_iA_{i+4} con el segmento A_{i-1}A_{i+1}, donde A_{j+8}=A_j y B_{j+8}=B_j para todo número entero j. Muestra que para algún número entero i entre los números 1, 2, 3 y 4 se cumple que:

\cfrac{|A_iA_{i+4}|}{B_iB_{i+4}} \leq \cfrac{3}{2}

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT

Mié, 02/19/2014 - 10:29

El próximo viernes 21 de febrero el matemático peruano Harald Helfgott dará una charla sobre la conjetura débil de Goldbach en el ICMAT. El evento se encuadra dentro de la serie de coloquios que organiza el ICMAT junto con la Universidad Autónoma de Madrid.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado sobre el tema (de hecho el propio Harald Helfgott publicó en este blog un extenso post en el que explicaba las líneas generales de su demostración), creo que es interesante volver a recordar algunos de los detalles más importantes de la historia de este resultado y de otros relacionados con él. Por ello, a continuación podréis encontrar un resumen de esta historia realizado por Javier Cilleruelo (que ya ha colaborado en otras ocasiones en Gaussianos, por ejemplo con este post sobre su resolución del problema de los conjuntos generalizados de Sidon) en el que también se incluyen enlaces a los artículos de Gaussianos que han hablado sobre esta conjetura.

Harald Helfgott y la conjetura débil de Goldbach

En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach decía haber observado que “todo número par mayor que 2 es suma de dos primos” y que “todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos”.

La sencillez y belleza del primer enunciado lo han convertido en uno de los problemas más codiciados de las matemáticas.

Christian Goldbach a la izquierda y Leonhard Euler a la derecha. En el centro, la carta que envió el primero al segundo.

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos.

La segunda observación de la carta es la conjetura débil de Goldbach (también llamada problema ternario de Goldbach) y ha pasado a la categoría de teorema al haber sido demostrada en tres artículos, de 79 páginas cada uno, por Harald Helfgott, 271 años después de la misiva dirigida a Euler.

Teorema (Harald Helfgott, 2013): todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos.

Harald Andrés Helfgott

Harald Helfgott es el conferenciante del próximo Colloquium (21 de febrero a las 11:30 en el Aula Naranja del ICMAT) que organizan conjuntamente el ICMAT y el Departamento de Matemáticas de la UAM. Con el título “La conjetura débil de Goldbach”, Harald Helfgott nos contará de primera la mano las estrategias seguidas para la resolución de este problema histórico.

Harald Helfgott (1977, Lima) es investigador CNRS en la École normale supérieure (Paris). Sus intereses matemáticos son tan variados como profundos sus resultados. Ha sido invitado a dar una conferencia en el próximo ICM y ha recibido varios premios por sus contribuciones a la teoría de números, la combinatoria aritmética y la teoría de grupos.

La conjetura de Goldbach

La teoría de números, a la que Gauss denominó “la reina de las matemáticas”, destaca sobre otras áreas de las matemáticas por la sencillez y belleza de sus enunciados. Algunos han sido ya resueltos, como el último Teorema de Fermat, pero otros han resistido a todos los intentos, como la conjetura de Goldbach que hoy nos ocupa.

¿Es cierto que todo par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos primos?

Si probamos a mano con los primeros pares, vemos que efectivamente todos ellos se pueden escribir como suma de dos primos. Además observando la tabla parece que según va creciendo el número par también va aumentando el número de representaciones que tiene como suma de dos primos:

El siguiente argumento heurístico puede convencernos de que la conjetura de Goldbach debería de ser cierta. El Teorema de los números primos afirma que el número de primos menores que N es aproximadamente N \over log(N). Así que si elegimos un impar al azar menor que N, la probabilidad de que sea primo será aproximadamente 2 \over log(N). Por otra parte, cada N par tiene N/4 representaciones como suma de dos enteros impares. La “probabilidad” de que los dos enteros impares involucrados en una representación dada sean primos debería ser 4 \over log^2(N) y el número de representaciones de N como suma de dos primos debería de un orden de magnitud comparable con N \over log^2(N). Por supuesto está muy lejos de ser una demostración (ni ser primo es un suceso aleatorio ni el modelo probabilístico es del todo correcto) pero explica bien el por qué va aumentando el número de representaciones.

La conjetura de Goldbach se ha comprobado numéricamente hasta 4 \cdot 10^{18} (y ha sido utilizado por Harald Helfgott para comprobar la conjetura débil hasta 10^{29}).

Entre las aproximaciones a la conjetura de Goldbach hay que destacar que se ha demostrado que ésta era cierta para casi todos los números pares. Es decir, que aquellos para los que no es cierta ocupan una proporción muy pequeña (que tiende a cero) en la sucesión de todos los números pares.

Otro resultado teórico importante respecto a esta conjetura se debe a Chen Jing-run.

Teorema (Chen Jing-run, 1966): Todo par suficientemente grande se puede escribir como un primo más otro número que es primo o es producto de dos primos.

Quizás el lector se acuerde del libro “El tio Petros y la conjetura de Goldbach”, de Apostolos Doxiadis. Era una lectura entretenida centrada en la obsesión por demostrar esta conjetura. La editorial, como gancho, ofreció un millón de dólares a quien demostrase la conjetura en un plazo de dos años. Nadie lo consiguió, como era previsible, aunque fueron muchos los aficionados que reclamaron el premio con demostraciones erróneas.

La conjetura débil de Goldbach

Se denomina así porque sería una consecuencia sencilla de conjetura de Goldbach. Efectivamente, si la conjetura de Goldbach fuese cierta y n es un número impar mayor que 5, entoncs n-3 es un par mayor que 2, y por tanto sería suma de dos números primos, n-3=p+q. Y en ese caso n=3+p+q, con lo que n es suma de tres números primos.

A principios del siglo XX, Hardy y Littlewood inventaron “el método del círculo” para hallar fórmulas asintóticas para el número de representaciones de un entero como suma de elementos de una sucesión determinada.

Hardy (izquierda) y Littlewood (derecha)

Consiste en expresar dicho número mediante una integral en el intervalo [0,1] y luego calcular esa integral a trocitos, donde los trocitos que más contribuyen y que se denominan “arcos mayores” son aquellos intervalos (muy pequeños) cercanos a racionales de denominador pequeño. No es éste el lugar para explicar con detalle este método, pero de esta manera y asumiendo la Hipótesis Generalizada de Riemann (un conocimiento muy preciso de la distribución de los primos en progresiones aritméticas) Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura débil era cierta para todo impar “suficientemente grande”.

En 1937 Vinogradov consiguió una demostración sin necesidad de asumir la Hipótesis Generalizada de Riemann.

Teorema (Vinogradov, 1937): Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.

En la demostración original de Vinogradov el “suficientemente grande” no era efectivo. Es decir, no se sabía hasta qué impar habría que comprobar la conjetura a mano o de otra manera.

Aunque se consiguió finalmente dar una constante explícita y ésta fue disminuyendo en diferentes trabajos, la constante más pequeña que se había conseguido era 10^{1346}. Así que la conjetura débil de Goldbach quedaría demostrada si se pudiese comprobar que es cierta para todos los impares menores que esa cantidad.

En el artículo de divulgación “La conjetura débil de Goldbach” que el mismo Harald Helfgott ha escrito para la sección “El diablo de los Números” de la Gaceta de la RSME, el autor dice:

Incluso 10^{100} sería demasiado: como 10^{100} es más grande que el producto del número estimado de partículas subatómicas del universo por el número de segundos desde el Big Bang, no habría ninguna esperanza de comprobar cada caso hasta 10^{100} por ordenador (aun asumiendo que uno fuera un dictador alienígena usando el universo entero como una computadora muy altamente paralela).

Harald ha introducido unas innovaciones teóricas en el método del círculo que le han permitido rebajar esa constante hasta 10^{27}. Comprobar la conjetura débil de Goldbach hasta esa cantidad sí que está al alcance de los ordenadores y él, junto con D. Platt, lo han hecho utilizando aritmética de intervalos (la precisión exigida para dar rigurosidad matemática a los cálculos con ordenador).

Termino con una cita de Euler sobre los números primos, al que sin duda también le hubiera gustado conocer la demostración de la conjetura débil de Goldbach:

Los matemáticos han intentado en vano descubrir algún orden en la sucesión de los números primos pero tenemos muchos motivos para creer que hay algunos misterios en los que la mente humana nunca podrá penetrar.

Leonhard Euler, 1770

Para finalizar, agradezco enormemente a Javier Cilleruelo que me haya enviado este texto, que como comenté antes es muy oportuno teniendo en cuenta la visita de Harald Helfgott con ocasión del coloquio que se anuncia al principio de este artículo.

Y también quiero aprovechar esta ocasión para dejarlos enlaces a los artículos relacionados con la conjetura de Goldbach y la conjetura débil de Goldbach que han aparecido en Gaussianos durante estos años:

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Parejas de enteros especiales

Mar, 02/18/2014 - 04:00

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:

Ua pareja de enteros es especial si es de la forma (n,n-1) o de la forma (n-1,n), con n un entero positivo. Muestra que una pareja (n,m) de enteros positivos que no es especial se puede representar como la suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros n y m satisfacen la desigualdad

n+m \geq (n-m)^2

Nota: La suma de dos parejas se define como (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Número 9 de la revista online de matemáticas “PIkasle”

Lun, 02/17/2014 - 05:45

En estos días ha salido el nuevo número, el noveno, de PIkasle, revista online de matemáticas creada por un grupo de estudiantes de la Universidad del País Vasco.

En este nuevo número la portada la ocupa un extraño “ser” formado por símbolos matemáticos como la negación, el “para todo”, el “existe” la implicación y la doble implicación, etc.

Os dejo los contenidos de este número contados por los propios autores:

  • Presentamos varias noticias de interés para estudiantes, como la conferencia del ciclo M4temozioa (Bilbao) o la posibilidad de participar como voluntario en la AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Madrid).
  • Antonio Gallastegui nos habla de la jornada Kultura Zientifikoa 1. Jaialdia.
  • Josu Doncel nos cuenta su experiencia en Al acabar la carrera, ¿qué?
  • Ricardo Grande y Josué Tonelli-Cueto entrevistan a Peter Neumann, quien nos habla de su trabajo historiográfico en la traducción de los manuscritos de Galois al inglés.
  • Víctor Manero nos explica las matemáticas del paralaje, método para calcular la distancia a las estrellas.
  • Amaiur Holgado y Nahia Agirregoikoa nos hablan sobre edificios y matemáticas en Fantasiazko Eraikinak.
  • Aitziber Ibáñez nos presenta la vida y contribuciones de Stefan Banach en Un paseo por la historia.
  • Y en el concurso de Txomin se resuelven los problemas 1 y 2 y se plantea el siguiente.

Podéis acceder online a este noveno número de PIkasle en este enlace, y también podéis descargarlo de manera gratuita en este otro enlace. Pues nada, ya solamente queda desearos que la disfrutéis. Bueno, y también que la difundáis entre vuestros amigos y conocidos y vuestras redes sociales, la gente de PIkasle lo merece.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Cubitos blancos y negros

Mar, 02/11/2014 - 03:00

Vamos con el problema de la semana. Ahí va:

Un cubo de n \times n \times n está construído con cubitos de 1 \times 1 \times 1, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de n \times 1 \times 1, de 1 \times n \times 1 y de 1 \times 1 \times n hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración se muestra una posible rebanada del cubo [laatex]6 \times 6 \times 6[/latex] (formada por 6 subprismas de 1 \times 6 \times 1):

Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de n \times 1 \times 1, 1 \times n \times 1 y 1 \times 1 \times n haya exactamente un cubito negro.

Que se os dé bien.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Gaussianos participa en los Premios 20Blogs 2013

Mar, 02/04/2014 - 07:00

Bueno, pues como suele ocurrir en estas fechas llegan los Premios 20Blogs, organizados por el diario 20Minutos. Y, cómo no, Gaussianos participa en ellos en la categoría Ciencia, Tecnología e Internet.

Las votaciones ya han comenzando (lo hicieron el pasado viernes 31 de enero), y concluirán el 3 de marzo de 2014. Si queréis dar vuestro voto a Gaussianos debéis estar registrados en 20Minutos (si no lo estáis el proceso de registro es sencillo y no os llevará más de unos minutos) y acceder a la ficha de Gaussianos en La Blogoteca y votar

En la pasada edición Gaussianos llegó a ser finalista en su categoría. A ver si este año conseguimos, al menos, volver a llegar a ello. Muchísimas gracias de antemano.

Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entradas anteriores o enviarnos un mensaje.

Construye tú también el poliedro de Császár.

Páginas