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Actualizado: hace 8 horas 7 mins

Centenario del nacimiento de Martin Gardner

Mar, 10/21/2014 - 06:00

Hoy 21 de octubre de 2014 se cumplen 100 años del nacimiento del gran Martin Gardner, posiblemente el principal divulgador de las matemáticas del siglo XX, que por otra parte falleció hace relativamente poco, el 22 de mayo de 2010.

Martin GardnerAunque seguro que la gran mayoría de vosotros conocéis a Gardner creo que no está de más que en una fecha tan señalada como la de hoy recordemos algunos detalles sobre si vida y su obra. Martin Gardner, que estudió filosofía y posteriormente se dedicó al periodismo, pasa por ser uno de los más importantes (si no el que más) divulgadores matemáticos de la época moderna. Comenzó su vida divulgadora en la revista Scientific American a través de una columna de matemática recreativa, que se llamaba Juegos Matemáticos, que comenzó a escribir en 1956. Su primer artículo trataba sobre hexaflexágonos, y con éste y otros muchos artículos consiguió que aumentara el interés por las matemáticas y presentar por primera vez a mucha gente una gran cantidad de temas relacionados con ellas, como pueden ser los propios hexaflexágonos, el cubo soma, los poliominós, los fractales, el juego de la vida, el tangram o la criptografía de clave pública. La diversidad de temáticas tratadas y la calidad de sus artículos le llevaron a escribir esta columna de matemática recreativa hasta el año 1981, y también a adquirir una bien merecida fama en el mundillo matemático.

Pero además Martin Gardner fue un prolífico escritor, teniendo más de 70 libros publicados. La gran mayoría de ellos tratan sobre matemática recreativa (en varias ocasiones fueron recopilaciones de sus artículos en Scientific American), pero también escribió sobre filosofía, pseudociencias (con el objetivo de desenmascarar fraudes) y una versión anotada de Alicia en el País de las Maravillas. Yo poseo varios de ellos, que formaban parte de la colección Desafíos Matemáticos de RBA:

Todos ellos sin excepción son pequeñas maravillas de las matemáticas recreativas. Si en algún momento tenéis oportunidad de leer alguno de sus libros, ya sea uno de estos cinco o cualquier otro, no lo dudéis, seguro que en él encontraréis tanto temas desconocidos por vosotros como cuestiones conocidas pero explicadas y comentadas de forma magistral.

En la página de Martin Gardner de la Wikipedia en inglés podéis encontrar más información sobre este fenómeno de la divulgación de las matemáticas.

Otros artículos de Gaussianos relacionados con Martin Gardner:

Esta es la segunda contribución de Gaussianos a la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a @cuantozombi en su blog El zombi de Schrödinger.

Y esta entrada también participa en la celebración, hoy 21 de octubre de 2014, en el #MGardner100th, el centenario del nacimiento de Martin Gardner.

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La sorprendente constante de Khinchin

Lun, 10/20/2014 - 10:00

Las matemáticas nunca dejarán de sorprenderme. En cualquier lugar puedes encontrarte una cuestión interesante, una relación curiosa o una propiedad inesperada de algún número, alguna función o alguna figura. Particularmente conozco un buen número de ejemplos de este tipo (muchos de ellos os los he comentado en este blog), y en este post vamos a añadir uno más a la lista: la constante de Khinchin.

Vamos a comenzar presentando esta constante de Khinchin. Es la siguiente:

K_0=2.685452001065306445309714835481795693820382293994462 \ldots

Para poder explicar de dónde sale dicho número y hablar sobre sus propiedades necesitamos antes recordar algunas cosas sobre fracciones continuas. Una fracción continua es una expresión del tipo siguiente:

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}}

donde a_0 es un número entero y a_1, \ldots , a_n, \ldots son números enteros positivos. Suele abreviarse de la forma [a_0;a_1, \ldots , a_n, \ldots ] (la expresión podría ser finita o infinita).

Como podéis ver, en la expresión anterior todos los numeradores son 1, pero seguro que en alguna ocasión habéis visto una fracción continua con otros números en el numerador. Bien, cuando todos son 1 la fracción continua se llama regular, y cuando permitimos otros números se denomina generalizada. En este post podéis encontrar más información sobre ellas, en este otro tenéis fracciones continuas de números muy conocidos y aquí una interpretación combinatoria de las mismas.

Una de las principales propiedades de las fracciones continuas es que todo número real puede expresarse como una fracción continua regular. Es decir, podemos expresar todo número real de la forma [a_0;a_1, \ldots, a_n, \ldots ]. Olvidémonos de a_0 y quedémonos con los a_i desde i=1 hasta i=n. Ahora calculemos la media geométrica de esos términos, es decir:

(a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}

y después el límite de esa expresión cuando n a infinito. Entonces, casi siempre ocurre lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (a_1 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}=K_0}

Es decir, el límite de la media geométrica de los a_i desde i=1 hasta i=n casi siempre (esto es, para casi todos los números reales) vale K_0, la constante de Khinchin. Tremendo, ¿verdad?

Aleksandr Khinchin

Este resultado lo demostró Aleksandr Khinchin (en ocasiones escrito Khintchine), matemático soviético de la primera mitad del siglo XX (nació en 1894 y murió en 1959) que trabajó en múltiples áreas de las matemáticas y la física: análisis real, teoría de la probabilidad, teoría de números o física estadística. Podéis encontrar más información sobre él aquí y aquí (web de la que he tomado la foto de Khinchin).

Bien, posiblemente la primera pregunta que os ha surgido a la mayoría de los que habéis leído hasta aquí es ésta: ¿qué significa eso de casi siempre? Pues significa, como comenté antes, para casi todos los números reales. Y ese casi lo que nos dice es que el conjunto de números para los cuales no se cumple la propiedad anterior es un conjunto de medida nula, que viene a ser un conjunto que aunque puede ser infinito (como veremos que ocurre en este caso) tiene muy pocos elementos.

Es interesante destacar que aunque esta propiedad la cumplen casi todos los números reales no se ha probado para ningún número en concreto (¡¿?!). Lo que sí se conocen son excepciones, es decir, números de los que se sabe que no la cumplen. Por ejemplo, los racionales no cumplen dicha propiedad. Y tampoco algunos números irracionales como el número \sqrt{2}, el número áureo \phi o el número e.

Por otra parte, se conjetura que otros números irracionales (o que se sospecha que lo son) también muy conocidos sí que la cumplen, aunque no se sabe con certeza (recordad que hemos dicho que no se ha demostrado esta propiedad explícitamente para ningún número concreto). Por ejemplo, se cree que el número \pi (que sí se sabe que es irracional) cumple esta propiedad, y también la constante de Euler-Mascheroni \gamma (aunque no se sabe si este número es irracional).

Pero quizás lo más llamativo de todo este tema es que se cree (no está probado, pero los indicios apuntan a ello) que el propio K_0 cumple esta propiedad. Es decir, que si expresamos K_0 como una fracción continua y calculamos el límite de la media geométrica de los correspondiente valores a_i el resultado sería de nuevo el propio K_0. No sé a vosotros, pero a mí estoy me parecería absolutamente maravilloso.

Por otra parte, tampoco se sabe si K_0 es un número racional, un número irracional algebraico o un número trascendente. Y, por tanto, tampoco si es o no un número normal, aunque también en este caso los indicios apuntan a ello. En la siguiente tabla podéis ver el número de apariciones de los números 0, 1,…,9 en los primeros 10^n decimales, para n de 1 a 5:

Como podéis ver, parece que conforme n va siendo mayor la frecuencia de cada uno de los números de una cifra se va pareciendo bastante. Pero lo dicho, no hay ni demostración ni refutación sobre la normalidad de K_0.

El límite antes mencionado no es ni mucho menos la única manera de representar K_0 que se conoce. Hay muchas otras que involucran a series infinitas, como ésta:

K_0=\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left [ 1+ \cfrac{1}{n(n+2)} \right ] ^{\frac{log(n)}{log(2)}}}

Y también se conocen algunas relacionadas con integrales, como ésta:

log(K_0)=\displaystyle{\int_0^1 \cfrac{log(\lfloor x^{-1} \rfloor}{(x+1) log(2)} \, dx}

Y para terminar vamos a responder a una pregunta que posiblemente os habéis hecho muchos de vosotros: ¿por qué se llama a esta constante K_0? Bueno, la K es, como cabía esperar, por ser la inicial de Khinchin. ¿Y el subíndice 0? Pues muy sencillo: porque K_0 es simplemente un caso particular de una clase de medias de ese tipo, K_p, definidas de la siguiente forma:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( \cfrac{ a_1^p+a_2^p+ \ldots +a_n^p}{n} \right )^{1/p}}

Se puede demostrar que para p \rightarrow 0 (que sería el caso de la constante de Khinchin) obtenemos K_0 tal cual lo hemos definido al principio de este artículo. Otro valor destacable de esta clase de medias es el que se obtiene para p=-1, y que se denomina media armónica de Khinchin:

K_{-1}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+ \ldots +a_n^{-1}}}=1.7454056624073468634 \ldots

Con este artículo sobre la constante de Khinchin espero haberos descubierto algo nuevo, tanto a los que no tenéis muchos conocimientos matemáticos como a los que estáis más metidos en el tema. Para todos, en los enlaces que aparecen debajo de este párrafo podréis encontrar más información sobre esta sorprendente constante.

Fuentes y más información:

Esta es la primera contribución de Gaussianos a la Edición 5.7: Alan Turing del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene como anfitrión a @cuantozombi en su blog El zombi de Schrödinger.

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Segundas Clasificaciones Parciales de los Premios Bitacoras 2014

Vie, 10/17/2014 - 09:30

Ya han salido las segundas clasificaciones parciales de los Premios Bitácoras 2014, en los que Gaussianos participa en la categoría Mejor Blog de Ciencia.

En dicha categoría Gaussianos ha bajado de la tercera a la quinta posición. Los cinco primeros puestos son los siguientes:

  1. Dimetilsulfuro
  2. Ciencia de sofá
  3. Ese Punto Azul Pálido
  4. La pizarra de Yuri
  5. Gaussianos

Hemos bajado un par de puestos, pero eso no puede significar que el ánimo decaiga. Quedan todavía unas semanas para votar y todavía hay posibilidades de quedar entre los tres primeros, que son los que al finalizar las votaciones serán los finalistas de esta categoría y, por tanto, los que optarán a ganar el premio final. Si quieres votar a Gaussianos identifícate en http://bitacoras.com y después haz click en la imagen siguiente:

Si no sabes cómo identificarte en este post te explico cómo hacerlo. Puedes hacerlo a través de la propia web http://bitacoras.com (si tienes cuenta en ella) o mediante tu cuenta de Twitter o Facebook. Y si tienes algún problema al intentar votar comenta en esta entrada (o en cualquier otra de las que hemos publicado relacionadas con los premios) y te ayudaré. Son solamente unos minutos, y tu voto puede ayudar a que Gaussianos sea finalista de estos premios. Muchas gracias por adelantado.

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Poniendo los puntos sobre las íes

Jue, 10/16/2014 - 09:30

Relacionar el talento matemático con la cantinela de la tabla de multiplicar, o con la facultad de recordar los números premiados de la lotería, es una ligereza equivalente a la de afirmar la falta de dotes literarias de una persona, no por ser incapaz de escribir poemas como Juan Ramón Jiménez o novelas como Gabriel García Márquez, sino por no poder recitar de memoria las conjunciones del castellano o por no recordar los nombres y apellidos del listín telefónico.

Antonio Córdoba, en su libro La vida entre teoremas.


Estas palabras de Antonio Córdoba son una especie de contestación a unas líneas escritas por el escritor Francisco Ayala que forman parte de un artículo que él mismo publicó en El País allá por diciembre de 1999. El artículo en cuestión se titula El ordenador novelista y las palabras a las que “contesta” Antonio Córdoba son las siguientes:

Debo reconocer en efecto que entre las cualidades innatas de que carezco se encuentra en lugar preeminente el talento matemático. Nunca en la escuela primaria, donde se nos hacía recitar la tabla de multiplicar, logré retener en la memoria sino los primeros versículos de la cantinela [...] Sin osar envidiarlos, uno admiraba aquellos casos asombrosos del señor que se sabía de memoria los números premiados en la lotería desde quién sabe cuánto tiempo atrás; y, aparte de tan singulares proezas, solía estimarse en general, y se cotizaba, la habilidad de los contables profesionales que con una rápida ojeada solían repasar sin falla columnas aterradoras de guarismos.

Pues eso, que parece que algunos, como Francisco Ayala, no se han enterado de la película.

Por cierto, estaría bien que en los comentarios dejarais más casos como éste. Es decir, artículos de prensa, blogs, etc., en los que se pretenda identificar las matemáticas solamente con cuestiones como éstas. Seguro que, por desgracia, hay muchísimos.

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XI Edición del ciclo de talleres divulgativos “Matemáticas en Acción” en la Universidad de Cantabria

Mié, 10/15/2014 - 06:00

En este curso 2014-2015 se cumple el undécimo aniversario del ciclo de talleres divulgativos Matemáticas en Acción que se imparten desde el curso 2004-2005 en la Universidad de Cantabria. Organizados por Luis Alberto Fernández y Fernando Etayo, estos talleres tienen los siguientes objetivos:

  • Difundir el papel esencial desempeñado por las Matemáticas en campos muy variados del conocimiento científico y técnico.

  • Mostrar la aplicación de las Matemáticas a problemas reales y enseñar cómo se construyen modelos matemáticos para estudiar un problema real.

  • Completar la visión de las Matemáticas ofrecidas en las enseñanzas regladas con una visión interdisciplinar.

  • Servir como punto de encuentro de personas provenientes de diferentes ámbitos que utilizan las Matemáticas como base o herramienta fundamental en su trabajo o estudio.


La edición de este año constará de diez conferencias desde hoy 15 de octubre de 2014 hasta el 6 de mayo de 2014. Sí, la primera de las conferencias comenzará hoy mismo a las 18:00 horas. Su título es Emergencias por riesgos naturales: el deslizamiento de Sebrango de 2013 y la impartirá Alberto González, del departamento de Ciencias de la Tierra y Física de la Materia Condensada de la Universidad de Cantabria. Podéis ver toda la información relativa a esas diez charlas en el cartel del ciclo:

En este enlace podéis ver el programa completo algo más detallado y aquí encontraréis información sobre las charlas de las ediciones anteriores. Entre ellas, concretamente en el curso 2010-2011, tenéis el taller Blogs y matemáticas: una interesante comunión que tuve el placer de impartir en enero de 2011. Aquélla fue mi primera conferencia en universidades y eventos de divulgación, y estoy muy agradecido a Luis Alberto y a Fernando que tuvieran el detalle de invitarme. Ojalá iniciativas de este tipo nunca dejen de existir, son tan necesarias como interesantes.

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Probar que es un cuadrado perfecto

Mar, 10/14/2014 - 09:15

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sea n > 1 un número natural y p un número primo. Probar que si p|n^3-1 y n|p-1, entonces 4p-3 es un cuadrado perfecto.

A por él.

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Las tortitas de Gates

Lun, 10/13/2014 - 04:30

Bill GatesBill Gates es mundialmente conocido por, entre otras cosas, ser uno de los fundadores de Microsoft (y, por tanto, uno de los responsables de Windows) y por las donaciones millonarias que ha realizado a través de la Fundación Bill y Melinda Gates, que comparte con su esposa Melinda. Estas cuestiones y otras muchas de su vida relacionadas con la informática son de dominio público, y se puede encontrar información sobre ellas muy fácilmente a través de internet. Lo que posiblemente no sea muy conocido es su faceta investigadora en lo que se refiere a publicaciones científicas. Y es normal, ya que solamente hay una publicación de este tipo en la que Bill Gates aparezca como autor (coautor en este caso, junto con Christos H. Papadimitriou). Curiosamente, el contenido de dicho artículo tiene como temática central las matemáticas, y en esta entrada vamos a contar la historia del mismo. Matemáticas, tortitas y Bill Gates…ahhh, y Los Simpson, que parece que están en todos sitios. ¿Se puede pedir más?

Comencemos con el origen del problema que trata la publicación científica de Gates y Papadimitriou. En 1975, el matemático estadounidense Jacob E. Goodman se encontraba colocando toallas en su casa. Al ver que la pila de toallas que había quedado estaba algo desordenada decidió recolocarlas en orden según su tamaño: la más grande abajo y la más pequeña arriba. Y fue durante estos cambios de posición de las toallas cuando le vino a la cabeza la siguiente cuestión: ¿Cuál sería el número de cambios que tendría que hacer?

Goodman pensó que el problema era suficientemente interesante como para enviarlo a American Mathematical Monthly, pero lo de las toallas no le convencía. Pensó que cambiando las toallas por tortitas (“pancakes” en inglés) la cosa quedaría mejor, y con este cambio nació el problema conocido como pancake sorting problem.

Por otra parte, parece que no tenía muy claro eso de que se le asociara con esa pregunta (quizás por si el tema acababa siendo demasiado trivial y le acababa perjudicando). Por ello no quiso arriesgar y utilizó un seudónimo, concretamente Harry Dweighter, que pronunciado en inglés como harried waiter significa camarero agobiado. Vamos con el enunciado que creó Goodman para ilustrar este problema:

El chef de nuestro negocio es descuidado, y cuando prepara una pila de tortitas, todas son de distintos tamaños. Por tanto, cuando las servimos a los clientes, de camino a la mesa las ordeno un poco, de modo que las más pequeñas queden encima, las de mayor tamaño debajo de todo cogiendo varias de encima e intercalándolas, y lo repito (variando el número de las que cambio) tantas veces como sea necesario. Si hay n tortitas, ¿cuál es el máximo número de cambios (como una función de n) que tendré que hacer para ordenarlas?

Bueno, pues parece que el problema que planteó Goodman sí que despertó el interés de cierta cantidad de matemáticos, tanto por enfrentarse al problema en sí como por las aplicaciones que podría tener (por ejemplo, en informática).

Vamos a analizar un poco el problema para cantidades pequeñas de tortitas, y vamos a llamar T_n al número de cambios que tendríamos que hacer para reordenar de la forma comentada nuestra torre de tortitas en el peor de los casos:

\bullet Supongamos que tenemos una tortita nada más. En este caso es evidente que la torre ya está ordenada, por lo que no hay que hacer ningún cambio. Por tanto, T_1=0.

\bullet Supongamos ahora que tenemos dos tortitas. Aquí podría ocurrir que la más grande estuviera abajo y la más pequeña arriba, por lo que no habría que cambiar nada (la torre ya viene ordenada). Pero puede ocurrir lo contrario, que la más grande venga arriba y la más pequeña abajo, por lo que habría que hacer un único cambio para ordenar la torre: dar la vuelta a las dos tortitas a la vez para que queden en el orden correcto. Por tanto, en este caso tenemos que T_2=1.

\bullet ¿Qué ocurre si tenemos tres tortitas? Aquí la cosa se complica un poco. La torre nos puede llegar de seis formas distintas, y analizando cada una de ellas vemos que el máximo número de cambios necesarios son tres. Aquí tenéis las seis opciones y el número de cambios que harían falta para ordenar cada una de ellas:

En este punto vamos a pararnos un momento para explicar más detenidamente cómo se realizan estos cambios. El camarero estará agobiado, pero es limpio, y realiza los cambios con una espátula, por lo que la forma de hacer cada cambio es meter la espátula por una zona concreta de la pila y dar la vuelta a todas las que en ese momento están encima de la espátula, cambiando totalmente la posición de éstas. En la siguiente imagen podéis ver los tres cambios que habría que hacer para ordenar la torre que aparece en la imagen anterior abajo a la izquierda:

Sería un ejercicio interesante que intentarais ordenar el resto de situaciones que se nos pueden presentar con esas tres tortitas.

Como podéis imaginar, conforme aumenta el número de tortitas de la pila inicial el problema es cada vez más complicado. El número de disposiciones iniciales posibles aumenta considerablemente, y en consecuencia es mucho más difícil encontrar el número de cambios necesarios para ordenarlas todas. Y por si fuera poco parece que los valores de T_n no siguen un patrón determinado, por lo que en principio ni siquiera se podría estimar una expresión para ese número de cambios analizando los valores conocidos. En la siguiente tabla podéis ver el valor de T_n para n de 1 a 19:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 T_n 0 1 3 4 5 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 22 ¿?

Y en 19 tortitas nos quedamos. No se sabe el valor de T_n para n=20. Ni siquiera mediante el uso de ordenadores se ha podido calcular dicho número, dada la gran cantidad de combinaciones posibles. Posiblemente el principal problema es el comentado anteriormente: no se ha podido encontrar una expresión que calcule exactamente el valor de T_n en función de n, por lo que se puede decir que lo único que tenemos para realizar este cálculo es la fuerza bruta. Y, por desgracia, hasta los ordenadores tienen un límite.

Bueno, ¿y qué tiene que ver Bill Gates con todo esto? Muy sencillo. Hemos dicho que para cantidades de tortitas mayores o iguales que 20 no sabemos cuántos cambios son necesarios, ni parece que tengamos forma de calcular dicho número. En esta situación, calcular una cota superior de dicho valor sí que podría ser interesante. Pues precisamente eso es lo que hicieron Bill Gates y Christos Papadimitriou en su artículo Bounds for sorting by prefix reversal (pdf), publicado en Discrete Mathematics en 1979: establecer una cota superior para T_n. Concretamente la siguiente:

T_n \leq \cfrac{5n+5}{3}

Por ejemplo, si tuviéramos una pila de 200 tortitas (con la que es casi seguro que el camarero estaría realmente agobiado), la peor colocación posible de las mismas se podría reordenar de la manera comentada con, a lo sumo, 335 cambios:

\cfrac{5 \cdot 200 +5}{3}=335

Bueno, en realidad en el artículo, además de dar esa cota superior, plantean una variación del problema y dan también cotas para él. Dicha variación consiste en suponer que cada tortita está algo quemada por uno de sus lados, por lo que es interesante que al presentarlas al cliente cada una de las tortita muestre su “lado bueno” (vamos, que el quemado quede abajo). Por tanto, ahora no solamente hay que ordenar la pila por tamaño, sino que también hay que conseguir que todas ellas estén con su parte quemada mirando hacia abajo. Por ello este problema se denomina burnt pancake problem, y Gates y Papadimitriou establecieron que el número de cambios en este caso estaría entre (3n/2)-1 y 2n+3.

Pero más adelante esas cotas se mejoraron, y uno de los responsables fue David S. Cohen. ¿Os suena? Exacto, uno de los guionistas de Los Simpson (ya lo habíamos citado aquí) y uno de los creadores de Futurama, donde aparece como David X. Cohen. Cohen y el informático venezolano Manuel Blum publicaban en 1995 el artículo On the problem of sorting burnt pancakes (pdf) en Discrete Applied Mathematics. En él mejoraban las cotas encontradas por Gates y Papadimitriou, dejando la inferior en 3n/2 y la superior en 2n-2. Por ejemplo, para las 200 tortitas que tomamos antes, en este caso necesitaríamos, en el peor de los casos, 398 cambios.

Y parece ser que ahí estamos hasta ahora. Hasta donde yo sé no se han mejorado ninguna de las cotas (si alguien tiene más información al respecto que la deje en un comentario), por lo que podríamos decir que estos dos problemas siguen parados desde que Gates y Papadimitriou por un lado y Cohen y Blum por otro publicaron sus artículos. Y, como decía antes, parece que estos temas tienen interés práctico. En informática, como comentaba más arriba, por el tema de la reordenación de datos que están desordenados. Pero parece ser que también podría tener cierto interés en Biología, en lo que se refiere a cómo se ordenan los genes (algo así como que dos organismos pueden tener los mismos genes pero en distinto orden, y podría haber interés en saber cuántos cambios fueron necesarios para pasar de uno a otro). Si conocéis algún otro campo en el que este problema de las tortitas pueda ser interesante no dudéis en comentarlo.

Fuentes y más información:

La foto de Bill Gates está tomada de aquí, la primera foto de las tortitas de aquí y la segunda de las tortitas de aquí.

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Primeras Clasificaciones Parciales de los Premios Bitacoras 2014

Vie, 10/10/2014 - 05:15

Como todos los años, comenzamos a mostraros las clasificaciones parciales de los Premios Bitácoras 2014, en los que Gaussianos participa en la categoría Mejor Blog de Ciencia. Las clasificaciones comenzaron a aparecer ayer jueves y continuarán saliendo durante las próximas semanas.

En dicha categoría Gaussianos va en tercera posición. Los cinco primeros puestos son los siguientes:

  1. Ciencia de sofá
  2. Dimetilsulfuro
  3. Gaussianos
  4. Ese Punto Azul Pálido
  5. La pizarra de Yuri

En principio la cosa empieza bien para este blog, ya que los tres primeros al finalizar las votaciones serán los finalistas de entre los cuales el jurado elegirá al ganador de esta categoría. Si quieres votar a Gaussianos identifícate en http://bitacoras.com y después haz click en la imagen siguiente:

Si no sabes cómo identificarte en este post te explico cómo hacerlo. Puedes hacerlo a través de la propia web http://bitacoras.com (si tienes cuenta en ella) o mediante tu cuenta de Twitter o Facebook. Son solamente unos minutos, y tu voto puede ayudar a que Gaussianos sea finalista de estos premios. Muchas gracias por adelantado.

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Número 5 de Matgazine, revista matemática creada por estudiantes de la UCM

Jue, 10/09/2014 - 13:56

Ya está disponible el número 5 de la revista Matgazine, sexto número de esta publicación (sí, el sexto, antes de él salieron el número 0, el número 1, el número 2, el número 3 y el número 4). Aunque en realidad este número salió en mayo, Jaime Mendizábal (el nuevo director) y yo decidimos que lo mejor era esperar al comienzo del curso académico para difundirlo a través de este blog.

Aquí tenéis la portada y la contraportada

Y aquí el índice de este número:

Y otra cosa. Me han chivado que en el próximo número aparecerá una entrevista a John H. Conway. Casi nada.

El precio de la revista es de 1 €. Para adquirirla puedes acercarte a alguna de las universidades donde se vende, si tienes alguna cerca, o pedirla a título individual. En ese caso deberás contactar con ellos vía mail, en matgazine (arroba) gmail (punto) com, y encargarte de abonar los gastos de envío, que según Moisés rondan el euro. Echadle un vistazo a la sección Suscripción de la página web de Matgazine para más información.

Si todavía no sabéis qué es Matgazine, os comento que es una revista realizada en principio por estudiantes de la UCM y que actualmente se distribuye oficialmente en las siguientes universidades:

  • Barcelona Tech
  • Universidad Autónoma de Madrid
  • Universidad Complutense de Madrid
  • Universidad de Barcelona
  • Universidad de Cantabria
  • Universidad de La Rioja
  • Universidad de Santiago de Compostela
  • Universidad de Valencia
  • Universidad de Zaragoza

Y siguen interesados en que otras universidades se unan al proyecto. Podéis entrar en su web, matgazine.com (sí, han pasado a dominio .com), y también echar un ojo a este post de Gaussianos donde presenté la revista.

Enhorabuena chicos, espero que continuéis con este proyecto mucho tiempo, y que sigáis creciendo como hasta ahora. En Gaussianos os seguiremos apoyando.

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¡Abajo las identidades notables!

Mar, 10/07/2014 - 09:00

En el tiempo que llevo dando clase son muchos y diversos los errores que cometen mis alumnos en lo que se refiere a manipulación de expresiones algebraicas (como por ejemplo los que tienen que ver con el factor común). Pero posiblemente el más común (o al menos uno de los más comunes) de los que me estoy encontrando en los últimos tiempos está relacionado con las llamadas identidades notables que se enseñan en secundaria:

\begin{matrix} (x+y)^2=x^2+y^2+2xy \\ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy \\ (x+y) \cdot (x-y)=x^2-y^2 \end{matrix}


Son muchos los alumnos que se aprenden esas expresiones de memoria sin razonar de dónde vienen o por qué son esos los resultados. Esto, como he dicho antes, en muchas ocasiones les lleva al error por no recordar bien alguna de ellas y hacer “lo que te pide el cuerpo”. Por ejemplo:

(x+y)^2=x^2+y^2

Y, por otra parte, les crea grandes dificultades a la hora de calcular potencias superiores a dos de un binomio, como puede ser (x+y)^3. Si recuerdan esas identidades notables intentan buscar una expresión similar para desarrollar esa potencia, y suelen confundirse. Y no digamos ya si ni siquiera recuerdan la identidad notable “relacionada” con dicha potencia…

Por ello opino que tendríamos que hacer lo que aparece en el título de esta entrada:


¡Abajo las identidades notables!

No digo que no se enseñen, pero sí que se explique bien de dónde salen y que se induzca al alumno a realizar el producto pertinente en vez de utilizar la identidad correspondiente. Es decir, que en vez de usar la de (x+y)^2 desarrollemos la potencia de ese binomio de la forma siguiente:

(x+y)^2=(x+y) \cdot (x+y)=x^2+xy+yx+y^2=x^2+2xy+y^2

Y lo mismo para las otras dos. Así será más sencillo conseguir que, por ejemplo, para desarrollar (x+y)^3 el alumno no intente buscar expresiones del estilo a la identidad notable del cuadrado (búsqueda que suele terminar con una expresión incorrecta) sino que realice la operación

(x+y) \cdot (x+y) \cdot (x+y)

haciendo primero el primer producto y después multiplicando el resultado obtenido por el tercer miembro.

Dado el gran nivel de conocimientos matemáticos que tenéis muchos de los lectores y comentaristas de este blog, es posible que gran parte de vosotros penséis que esto que comento es una tontería o algo sin la importancia suficiente como para destacarlo en una entrada. Que los alumnos deberían ser capaces de deducirlo sin necesidad de incidir demasiado en ello. Pero la realidad, o al menos lo que yo me encuentro muy frecuentemente, indica lo contrario. No han sido ni uno ni dos los alumnos que he tenido que han suspendido un examen (y bien suspendido está) por puntuar 0 en algún ejercicio en el que han cometido un error en alguna de estas expresiones. Cierto es que en ocasiones ese error lo han provocado las prisas o los nervios del propio examen, pero en la gran mayoría la causa ha sido no tener interiorizado el significado de los resultados de estas identidades notables.

Y, por otra parte, también es posible que muchos de los profesores que pasan por Gaussianos digan que ellos sí explican de dónde salen estos resultados e intentan que los alumnos los comprendan (esto es, que van más allá del hecho de promover la simple memorización de las correspondientes expresiones), pero también tengo comprobado (por experiencia propia y por lo que me ha comentado mucha gente, alumnos y profesores) que en la práctica son muchas las veces en las que, por decirlo de alguna forma, “vamos a lo fácil”. O sea, que cuando nos encontramos expresiones así vamos directamente a la identidad notable olvidando comentar y recordar que también podemos obtener el resultado correcto realizando el correspondiente producto de binomios.

Por todo ello me gustaría saber vuestra opinión sobre este tema, tanto en el lugar del alumno (qué experiencia habéis tenido vosotros y vuestros compañeros con esto) como en el del profesor (qué soléis hacer en vuestras clases con las identidades notables y qué suele pasar con vuestros alumnos). Seguro que habrá gente que estará de acuerdo conmigo y gente que no, pero estoy convencido de que con las opiniones de todos podemos generar un interesante debate.

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Enteros positivos con cierta propiedad

Lun, 10/06/2014 - 04:30

Vamos con el problema semanal. Ahí va:

Encuentra todos los enteros positivos n que cumplen que

\cfrac{2^n+1}{n^2}

es un número entero.

A por él.

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Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Jue, 10/02/2014 - 04:30

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Elevamos al cuadrado a ambos lados:

x y \leq \left (\cfrac{x+y}{2} \right )^2

Desarrollamos la parte derecha:

x y \leq \cfrac{x^2+2xy+y^2}{4}

Multiplicamos por 4 a ambos lados:

4x y \leq x^2+2xy+y^2

Restamos 4xy a ambos lados:

0 \leq x^2-2xy+y^2

Y nos queda a la derecha el desarrollo de (x-y)^2:

0 \leq (x-y)^2

que al ser el cuadrado de un número es, evidentemente, mayor o igual que cero. Desigualdad demostrada.

Pero hay más formas de demostrar que esta desigualdad es cierta. Aquí os dejo una demostración visual de la misma, en la que m representa a la media aritmética de x e y y g a la media geométrica de esos números:

¿Está clara, verdad? Por si acaso no es así vamos a reconstruirla.

Dibujamos una semicircunferencia cuyo diámetro sea la suma de nuestro dos números, x+y. Tomamos el punto de la circunferencia (en la imagen en rojo) que está verticalmente encima del punto de separación entre los segmentos de longitudes x (en negro) e y (en azul) y dibujamos el triángulo que tiene como vértices a este punto y a los extremos del diámetro de la circunferencia:

Como dicho triángulo está inscrito en la semicircunferencia y uno de sus lados es un diámetro de la misma sabemos que en realidad se trata de un triángulo rectángulo (la demostración de este hecho la podéis encontrar al final de esta entrada). Dibujamos ahora el radio de la semicircunferencia que es perpendicular al diámetro ya dibujado (en verde) y el segmento que une el punto rojo con el que tenemos marcado en el diámetro (en rojo):

Al ser un radio de la semicircunferencia, tenemos que el segmento verde mide {x+y} \over 2 (la mitad del diámetro). Es decir, la longitud de ese segmento verde, que llamaremos m, es exactamente la media aritmética de x e y. Vamos a calcular ahora la longitud del segmento rojo.

Si llamamos g a dicho segmento rojo y a y b a los catetos del triángulo rectángulo, podemos considerar dicho triángulo dividido en otros dos triángulos rectángulos: el de lados agx y el de lados bgy:

Ahora, utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:

\begin{matrix} a^2+b^2=(x+y)^2 \\ x^2+g^2=a^2 \\ y^2+g^2=b^2 \end{matrix}

Sustituyendo las dos últimas en la primera y desarrollando el término de la derecha de esa primera igualdad obtenemos lo siguiente:

x^2+g^2+y^2+g^2=x^2+y^2+2xy

Simplificamos los términos que aparecen en ambos lados:

2g^2=2xy

Dividimos entre 2 y aplicamos raíz cuadrada a ambos lados, obteniendo:

g=\sqrt{xy}

o, lo que es lo mismo, la longitud del segmento rojo, g, es la media geométrica de x e y.

Y como es evidente que el segmento rojo siempre tendrá menor o igual longitud que el segmento verde tenemos demostrada la desigualdad comentada inicialmente:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

¿Conocéis alguna otra demostración curiosa y/o interesante de este conocido resultado? Si es así podéis dejarla en los comentarios.

Vamos a demostrar lo siguiente:

Si inscribimos en una circunferencia un triángulo en el que uno de los lados es un diámetro de la misma, entonces dicho triángulo es rectángulo, y el diámetro es la hipotenusa del mismo.

Se sabe que un ángulo inscrito en una circunferencia mide exactamente la mitad del arco de circunferencia que abarca (podéis intentar demostrar esto, pero si no os sale tenéis una demostración aquí). Si tomamos el ángulo \alpha cuyos extremos están en los extremos de un diámetro de la circunferencia y el vértice en otro punto de la misma

tenemos que dicho ángulo \alpha abarca exactamente media circunferencia (en línea discontinua en la imagen):

Es decir, nuestro ángulo \alpha abarca un arco de 180^\circ. Por tanto, por lo dicho anteriormente sobre el ángulo inscrito, tenemos que \alpha=90^\circ y, en consecuencia, el triángulo correspondiente es rectángulo, siendo el diámetro la hipotenusa del mismo.

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Fracción en poliedro

Mar, 09/30/2014 - 04:30

Vamos con el problema semanal. El enunciado es el siguiente:

Supongamos que tenemos un poliedro con 12 caras que cumple las siguientes condiciones:

  • Todas las caras son triángulos isósceles.
  • Todas las aristas tienen longitud x o longitud y.
  • En cada vértice se encuentra 3 ó 6 aristas.
  • Todos los ángulos diedros son iguales.

Encuentra el valor de x \over y.

Que se os dé bien.

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Comienzan los Premios Bitácoras 2014. Ya puedes votar a Gaussianos

Jue, 09/25/2014 - 05:30

Ayer día 24 de septiembre se presentaron los Premios Bitacoras 2014 (la décima edición de los mismos) en La Casa Encendida de Madrid. Como todos los años, Gaussianos se presenta a estos premios en la categoría Mejor Blog de Ciencia. Podéis votar al blog en más categorías, pero lo ideal es que lo hagáis en ésta. Tenéis hasta el 14 de noviembre de 2014 para hacerlo.

Para los que no sabéis cómo votar os cuento cómo hacerlo:

  1. Entra en Bitácoras y accede a tu cuenta. Si no tienes cuenta en dicha página puedes crearte una de la forma habitual. Y si prefieres no crearte una cuenta puedes identificarte a través de tu cuenta de Twitter o tu cuenta de Facebook:

  2. Ya registrado e identificado haz click en Votar (pues ir directamente ahí hacienco click en este enlace). Después busca la categoría Mejor Blog de Ciencia y escribe la dirección de este blog, gaussianos.com, después del http:// que ya te encontrarás escrito:

    Después haz click en Votar.

  3. Y listo, ya has votado a Gaussianos en los Premios Bitácoras 2014.

Si tenéis alguna duda o algún problema a la hora de votar comentadlo por aquí y os echo una mano. Y si quieres ver las bases de los premios y todas las categorías en las que puede participar un blog entra en Premios Bitácoras 2014.

Podéis seguir la evolución de las votaciones de estos premios en el blog oficial de los Premios Bitacoras.com 2014. En Gaussianos os iré informando de las clasificaciones parciales que vayan apareciendo. Muchas gracias por vuestro apoyo.

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Cómo preparar el desayuno como un matemático

Mié, 09/24/2014 - 13:00

¿Quieres conocer una manera de preparar el desayuno que además de original es muy matemática? Pues compra un dónut, una rosquilla o un pan con esa forma y sigue la que nos propone George Hart en este vídeo:

Exacto, después de unos cortes adecuados conseguimos que nuestra rosquilla se convierta en dos bandas de Möbius enlazadas.

¿Te ha quedado claro cómo hacerlo? Por si acaso no es así aquí tienes un tutorial paso a paso del propio George Hart. Anímate a hacerlo y cuéntanos cómo te ha quedado la cosa en los comentarios (y si lo haces mostrándonos una imagen de tu creación mucho mejor).

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Parejas de enteros

Mar, 09/23/2014 - 04:30

Vamos con el problema de esta semana:

Encuentra todas las parejas de enteros positivos x,y \geq 1 que satisfacen la ecuación

x^{y^2}=y^x

A por él.

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“Euclid: The Game”: el juego de las construcciones con regla y compás

Jue, 09/18/2014 - 14:00

Euclid: The Game es un juego en el que podemos demostrar nuestra habilidad con las construcciones con regla y compás.

La mecánica del mismo es sencilla: en cada uno de los niveles tendremos que realizar una cierta construcción con regla y compás utilizando para ello algunas de las funciones que nos proporciona el magnífico programa GeoGebra. Conforme vayamos avanzando tendremos más funciones disponibles para utilizar, pero evidentemente las construcciones serán más complicadas. En el caso de que alguna de ellas se os resista quizás los artículos publicados en Gaussianos sobre construcciones con regla y compás os puedan echar una mano:

Un juego interesante para pasar un rato entretenido rompiéndose el coco con las construcciones y, cómo no, para aprender un poco más sobre geometría (como también lo es Ancient Greek Geometry, otro juego del estilo del que os hablé el pasado año 2013). Podéis dejarnos vuestros progresos en los comentarios. Y si alguien se atasca en alguno de los niveles que pregunte, seguro que alguien le podrá ayudar.

Esta entrada participa en la “Edición 5.6: Paul Erdős” del Carnaval de Matemáticas (15-21 septiembre 2014) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es David Orden desde su blog Cifras y Teclas.

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Naukas Bilbao 2014, vuelve el evento de divulgación científica más importante de España

Mié, 09/17/2014 - 13:00

Un año más, y ya van cuatro, se celebrará en Bilbao el encuentro Naukas Bilbao 2014, el más importante de España en lo que a divulgación científica se refiere, organizado por Naukas.com. Tendrá lugar los días 26 y 27 de septiembre de este año 2014 en el Paraninfo de la UPV/EHU, situado cerca del Museo Guggenheim.

El formato será básicamente el mismo que se ha utilizado en años anteriores: charlas de 10 minutos en las que se intentará transmitir alguna idea relacionada con la ciencia. También habrá entrevistas, volverá Naukas Kids (con muchas más sesiones que el año pasado) y se entregarán los Premios Tesla. Podéis ver el programa completo en este enlace.

En lo referente a mí, os informo de que este año no podré estar en Bilbao por esas fechas, por lo que no participaré en el Naukas Bilbao 2014 con una charla de 10 minutos como hice en las tres ediciones anteriores. Pero esto no significa que no vaya a haber matemáticas este año. Os dejo aquí las charlas en las que las matemáticas serán las claras protagonistas (aunque en alguna otra también aparecerán las matemáticas, al menos de pasada):

  • Intuiciones improbables, el viernes 26 de 19:50 a 20:00, por Iñaki Úcar.
  • Todos los matemáticos odiamos a Alfredo, el sábado 27 de 11:10 a 11:20, por José Antonio Prado Bassas (Tito Eliatron).
  • Matemáticos de etiqueta, el sábado 27 de 12:40 a 12:50, por Clara Grima.
  • El Shakespeare de las matemáticas, el sábado 27 de 18:00 a 18:10, por Fernando del Álamo.

Estoy seguro de que, como todos los años, llenaréis el paraninfo y disfrutaréis y aprenderéis muchísimo con todo lo que mis colegas de Naukas van a contaros. Si podéis ir no lo dudéis, oportunidades como ésta hay que aprovecharlas. Además todavía no se sabe si las distintas intervenciones se podrán seguir por streaming ni si serán grabadas para verlas más adelante, por lo que si no estás allí de cuerpo presente (por cierto, como en ocasiones anteriores la entrada es gratuita hasta completar aforo) quizá no puedas verlo después.

Y para terminar os dejo mi impresiones de las tres ediciones anteriores. En cada una de las entradas podréis encontrar también las charlas que di en cada una de esas ediciones:

Esta entrada participa en la “Edición 5.6: Paul Erdős” del Carnaval de Matemáticas (15-21 septiembre 2014) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es David Orden desde su blog Cifras y Teclas.

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Soluciones en progresión geométrica

Mar, 09/16/2014 - 04:30

Después de un tiempo de descanso vuelven los problemas semanales a Gaussianos. El de esta semana es el siguiente:

Determina todos los valores reales del parámetro a para los cuales la ecuación

16x^4-ax^3+(2a+17)x^2-ax+16=0

tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica y determina dichas raíces.

Que se os dé bien.

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Una manera de realizar un sorteo justo con una moneda trucada

Lun, 09/15/2014 - 05:00

Cuando queremos realizar un sorteo para elegir una persona, un sitio o una película de entre dos opciones posibles es típico hacerlo mediante pares o nones o mediante el lanzamiento de una moneda. El primero de ellos es un método de sorteo justo si consideramos que cada jugador saca una cantidad de dedos al azar (aunque en esas condiciones en Los Simpson deja de ser justo), y el segundo también lo es si asumimos que la moneda que utilizamos no está trucada. Ahora, ¿qué ocurre si sabemos que la moneda que vamos a usar está trucada?. Pues también podemos realizar un sorteo justo con ella. Vamos a ver cómo hacerlo.

Supongamos que tenemos una moneda que sabemos que está trucada, por lo que una de las opciones (cara o cruz) tiene mayor probabilidad de salir que la otra (consideramos también que la probabilidad de que caiga de canto es 0). Digamos que la probabilidad de que salga cara es p y que, por tanto, la probabilidad de que salga cruz es 1-p. Evidentemente, si p es mayor que 1-p en un sorteo “habitual” quien eligiera cara tendría ventaja, y lo mismo para el que escogiera cruz si fuera al contrario. Pues lo que vamos a hacer es dar una manera de hacer este sorteo de forma que ninguno de los dos jugadores tenga ventaja usando esta moneda.

Antes de describir esta forma de realizar el sorteo, es interesante comentar que sucesivas tiradas de una moneda son sucesos independientes, lo que quiere decir que el hecho de obtener un resultado en una de las tiradas no influye en el resultado de las siguientes tiradas (vamos, que la moneda “no recuerda” lo que salió en tiradas anteriores). Por ello, si tiramos dos veces la moneda, y según las leyes de la probabilidad, se tiene que la probabilidad de obtener dos sucesos cualesquiera (dos caras, cara y cruz, cruz y cara o dos cruces) es el producto de las probabilidades de obtener cada uno de ellos por separado.

Ésa es la clave de nuestro sorteo, que vamos a describir a continuación, y cuya creación se le atribuye al gran matemático húngaro John von Neumann. Tomamos la moneda trucada y la lanzamos dos veces. Si llamamos A a uno de los jugadores y B al otro:

  1. Si obtenemos dos caras o dos cruces volvemos a tirar la moneda otras dos veces (vamos, como si en un sorteo “habitual” la moneda cae de canto).
  2. Si sale cara en la primera tirada y cruz en la segunda gana el jugador A.
  3. Si sale cruz en la primera tirada y cara en la segunda gana el jugador B.

Vamos a comprobar que, efectivamente, el sorteo es justo. La probabilidad de que salga cara-cara es

P(CC)=p \cdot p=p^2

y la de cruz cruz es

P(XX)=(1-p) \cdot (1-p)=(1-p)^2

Al ser distintas las desechamos. Ahora, la probabilidad de cara-cruz es

P(CX)=p \cdot (1-p)

y la de cruz-cara es

P(XC)=(1-p) \cdot p

que claramente son iguales. Por tanto, con esta manera de realizar el sorteo obtenemos, efectivamente, un sorteo justo, ya que los dos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar (aunque la moneda esté trucada). De hecho, puede ser interesante utilizar esta forma de sortear en todos los casos, ya que en principio no tenemos por qué estar seguros de que la moneda que vamos a usar no esté trucada. No me refiero a que nos quieran engañar, que también, pero podría ser que estuviera trucada “accidentalmente” (por un golpe, o por el mismo relieve de la cara y la cruz). Ahora, lo que puede ser más complicado es convencer a nuestro oponente de que el sorteo que le proponemos es, posiblemente, más justo que el típico “¿cara o cruz?”. Probadlo, a ver qué cara pone el contrario.

La imagen de las monedas la he tomado de aquí.

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