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Actualizado: hace 1 hora 52 mins

Gaussianos cumple 10 años de vida

Hace 6 horas 50 mins

Pues sí, amigos y amigas, Gaussianos cumple 10 años de vida. Una década escribiendo sobre matemáticas a través de este blog y divulgando a través de él y las redes sociales. Una década intentando acercar las matemáticas a todo tipo de público y aprendiendo día a día gracias a mis propios artículos y, cómo no, gracias a vosotros.

Si aquel lejano 26 de julio de 2006 me hubieran dicho que este blog iba a cumplir 10 años activo no me lo habría creído. Pero sí, hemos llegado. Aquel día 26 de julio de 2006 comenzábamos con Gaussianos hablando de la conocida anécdota de Gauss sobre la suma de los 100 primeros enteros positivos y además anunciábamos que Grigori Perelman recibiría la Medalla Fields en el ICM de Madrid.

Y hablo en plural porque, como sabréis los más veteranos, este blog fue creado por dos personas: Fran y un servidor. De hecho fue él quien me sugirió la idea de crearlo, al ver algunos artículos míos sobre matemáticas en un blog personal que yo escribía en aquella época. Por desgracia, Fran tuvo que dejar el blog antes de que llegáramos a nuestro primer año. Fran, si sigues por ahí estaría muy bien que te manifestaras, que hace mucho que no sé nada de ti.

La cuestión es que aquí seguimos después de 10 años. Una década en la que Gaussianos ha traído consigo muchas cosas buenas. Además del propio crecimiento del blog, impensable para mí cuando comenzamos, gracias a él he dado charlas (Santander, Sevilla, Granada, Logroño, Murcia, Toledo , otra vez Granada, de nuevo Sevilla y Albacete, además de las charlas en los eventos Naukas Bilbao en 2011, 2012 y 2013); formé parte de los blogs colaboradores de La Información durante más de 4 años; fui editor del Boletín de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) durante 3 años; y he colaborado en diversos medios de comunicación en papel, digital y en radio.

Sobre esto último, las colaboraciones, la última novedad es que he comenzado a escribir un nuevo blog en El País: El Aleph.

El primer artículo, ¿Existe algún número que no tenga nombre?, se publicó el pasado viernes, y la frecuencia de publicación será de un artículo semanal (en principio se seguirán publicando los viernes). Me hace mucha ilusión colaborar con un medio tan importante, y haré todo lo posible por estar a la altura. Espero que también os hagáis seguidores y comentaristas de este nuevo blog.

Por otra parte, como no podía ser de otra forma, también ha habido alguna cosa no tan buena, sobre todo en los últimos tiempos. Algunas cuestiones personales y bastantes problemas técnicos (el hosting, qué importante es el hosting) han provocado que en los últimos años la frecuencia de publicación de Gaussianos se haya resentido. Las cuestiones personales se solucionaron hace tiempo, y los problemas técnicos parece que se han solucionado desde que decidí cambiar el blog de hosting a webempresa. Por eso Gaussianos sigue aquí, y por eso va a continuar (espero que) mucho tiempo.

Muchos han sido los artículos que se han publicado en Gaussianos en estos 10 años, y los ha habido de todo tipo: presentaciones de teoremas, comentarios sobre trabajos de investigación, notas biográficas, problemas propuestos y resueltos, curiosidades, citas matemáticas, colaboraciones de matemáticos españoles importantes… Es muy complicado para mí seleccionar unos cuantos artículos como los más interesantes o llamativos, pero lo voy a intentar. Os voy a dejar diez artículos que para mí han sido muy importantes, ya sea por lo que me costó escribirlos, por la belleza de lo que describen, por la importancia de su contenido o simplemente porque les tengo un especial cariño. Aquí los tenéis:

Seguro que muchos de vosotros tendréis como favorito algún artículo de Gaussianos que no aparece en esta lista. Me gustaría, si queréis, que nos contéis en un comentario cuál o cuáles son los artículos del blog que más os han gustado.

Por cierto, si miráis de nuevo la lista anterior podéis ver que hay dos colaboraciones entre los diez artículos. La de la conjetura débil de Goldbach, de Harald Helfgott, aparece en la lista por ser la demostración de un importante problema que llevaba muchísimos años sin solución, y porque, si no me equivoco, fue el primero que publiqué la demostración de Harald en español. La de los tres capicúas está en el listado, además de por su importancia y su interés, como tributo a un gran matemático, Javier Cilleruelo, que falleció hace unos meses. Un gran colaborador de Gaussianos y un grandísimo matemático. Pero, lo que es más importante, una bellísima persona. Descansa en paz, amigo Javier.

Y qué decir de vosotros, lectores, comentaristas, colaboradores. Todos sois parte de Gaussianos. Sin vosotros, este blog no existiría, o al menos no sería ni de lejos lo que ha sido y lo que es. Sé que estos son los típicos comentarios que suelo hacer en estos casos, pero no por mucho repetirlos pierden su valor. Todos, vosotros y yo, somos compañeros en este maravilloso viaje. Seguro que seguiremos juntos mucho tiempo compartiendo conocimiento y experiencias. MUCHAS GRACIAS.

Para terminar este post, os recuerdo los lugares en los que me podéis encontrar en Internet:

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 3: Entero divisible

Lun, 07/25/2016 - 05:30

Tercer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los días 11 y 12 de julio.

Sea P=A_1 A_2 \ldots A_k un polígono convexo en el plano. Los vértices A_1, A_2, \ldots , A_k tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea S el área de P. Sea n un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de P son todos números enteros divisibles por n. Demostrar que 2S es un entero divisible por n.

Si ya conocéis la solución porque la habéis visto publicada, lo ideal sería que dejarais a los demás intentar el problema. Muchas gracias.

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 2: I-M-O

Mar, 07/19/2016 - 11:30

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los pasados días 11 y 12 de julio.

Hallar todos los enteros positivos n para los que en cada casilla de un tablero n \times n se puede escribir una de las letras I,M y O de manera que:

  • en cada fila y en cada columna, un tercio de las caillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O; y
  • en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casilla divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O.

Nota: Las filas y las columnas del tablero n \times n se numeran desde 1 hasta n, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos (i,j) con 1 \le i,j \le n. Para n > 1, el tablero tiene 4n-2 líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i+j es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i-j es una constante.

Si ya habéis visto la solución del problema en algún sitio, os agradecería que no la publicarais aquí, para así dar la posibilidad a los demás a resolverlo. Gracias.

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 1: Rectas concurrentes

Mar, 07/12/2016 - 06:15

Entre ayer, día 11 de julio, y hoy, 12 de julio, se ha celebrado en Hong Kong la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016. Comenzamos hoy a plantear en el blog los problemas propuestos en esta competición.

El enunciado del primer problema es el siguiente:

El triángulo BCF es rectángulo en B. Sea A el punto de la recta CF tal que FA=FB y F está entre A y C. Se elige el punto D de modo que DA=DC y AC es la bisectriz del ángulo \langle DAB. Se elige el punto E de modo que EA=ED y AD es bisectriz del ángulo \langle EAC. Sea M el punto medio de CF. Sea X el punto tal que AMXE es un paralelogramo (con AM \parallel EX y AE \parallel MX). Demostrar que las rectas BD, FX y ME son concurrentes.

Como siempre, os pido que si veis la solución al problema en alguna web (se publicarán en muchas webs las soluciones a estos problemas) no la pongáis directamente aquí, dejad que los que no han visto la solución puedan intentar el problema por su cuenta. Muchas gracias.

El problema del destructor y el submarino

Mié, 07/06/2016 - 04:30

Hace unos días, un lector del blog, Manel Amorós, me hizo llegar un problema que había visto en un comentario de un artículo relacionado con matemáticas que se había publicado en un medio de comunicación. Aunque el comentario no tenía mucho que ver con la temática del artículo en sí, el problema suscitó el interés de varios lectores, Manel incluido. Por ello os lo planteo hoy en Gaussianos.

No os voy a dejar el enunciado literal que se propuso en ese artículo, ni el enlace del mismo (lo pondré más adelante, cuando se haya resuelto aquí). Os agradecería que ninguno de vosotros lo ponga en ningún comentario.

Ahí va el enunciado tal cual me lo envió Manel:

Un destructor y un submarino se encuentran separados una distancia D (suponemos distancias horizontales, dado que el problema se desarrolla en el plano). En un momento dado, ambos empiezan a moverse a velocidades constantes, siendo la velocidad del barco superior a la del submarino. El submarino se mueve obligatoriamente en linea recta, pero el barco desconoce la dirección que ha tomado el submarino. ¿Existe alguna trayectoria del barco que garantice que en algún momento se encontrará sobre la vertical del submarino?

Hala, a pensar, que nunca viene mal. Que se os dé bien.

La conjetura de Steinberg es…¡falsa!

Dom, 06/26/2016 - 14:25

La teoría de grafos es una de las ramas de las matemáticas que más movimiento está teniendo en los últimos años, en lo que se refiere a investigación y a aplicaciones a problemas “reales”.

Dentro de la teoría de grafos, los problemas relacionados con coloración de grafos tienen gran interés dentro de los especialistas de esta rama.

Y dentro de los problemas de coloración de grafos, la conjetura de Steinberg ha sido uno de los problemas abiertos que más han interesado a los estudiosos en la materia.

Bien, pues (parece ser que) tenemos resultado para este problema: la conjetura de Steinberg es falsa. En lo que sigue, vamos a dar una idea sobre qué es eso de la coloración de grafos y hablaremos de esta interesante conjetura.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado en otra ocasiones sobre grafos, no está mal recordar algo sobre ellos. Un grafo es un conjunto V (distinto del vacío) de puntos, llamados vértices, y un conjunto de líneas A, llamadas aristas, cada una de las cuales une dos de sus vértices. Si dos vértices están unidos con al menos una arista, se dice que dichos vértices están conectados.

Un grafo plano es un grafo que puede dibujarse en un plano con la condición de que dos aristas cualesquiera no se cortan en ningún punto que no sea un vértice. En la siguiente imagen podéis ver un grafo plano y uno que no lo es (de hecho es el famoso grafo de Kuratowski K_{3,3}):

plano-noplano

Un ciclo en un grafo es una sucesión de vértices v_1, \ldots ,v_n, v_1 en la que cada vértice de la lista está conectado con el siguiente y donde no hay vértices repetidos (excepto el primero y el último). Vamos, lo que todos esperaríamos que fuera un ciclo. La longitud de un ciclo es el número de vértices distintos (equivalentemente, el número de aristas) que contiene. Un ciclo de longitud n se suele denominar n-ciclo. Aquí tenéis dos ciclos, uno de longitud 3 (el verde) y otro de longitud 5 (el rojo):

ciclos

Una coloración de un grafo es una asignación de etiquetas (colores) a los vértices de dicho grafo de manera que dos vértices conectados tengan distinto color. Si el número de etiquetas es pequeño, suelen usarse colores para etiquetar los vértices. Si este número es grande, suelen usarse números enteros positivos: 1,2, \ldots , m. Si en la coloración se usan k colores, se dice que tenemos una k-coloración. Aquí tenéis como ejemplo una 3-coloración del grafo anterior:

3coloracion

The Three Color Problem

Ya tenemos todo lo necesario para introducir el tema principal de esta entrada. La cuestión central de toda esta historia es el coloreado de mapas. El resultado más conocido en relación con esto, como muchos ya sabréis, es el famosísimo teorema de los cuatro colores, demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.

La primera noticia que se tiene sobre la coloración de mapas con tres colores es un paper de Arthur Cayley de 1879. Ese mismo año, Alfred Kempe también lo trata en su trabajo sobre el teorema de los cuatro colores (que, por cierto, contenía una demostración incorrecta de este resultado); y, más adelante, Percy Heawood también habla de él en sendos trabajos que datan de 1890 y 1898, respectivamente.

Pero es en 1958 cuando el Three Color Problem pasa a tener entidad de problema propio gracias a Herbert Grötzsch, siendo Oystein Ore en 1967 quien lo elevó a los altares. Recomiendo el paper The state of the Three Color Problem [Annals of Discrete Mathematics, 55, 21 1-248 (1993)], de Richard Steinberg, a quienes estén interesados en más datos relacionados con la historia de este problema.

El Three Color Problem pregunta, básicamente, lo siguiente:

¿Bajo qué condiciones pueden ser coloreadas las regiones de un mapa plano con tres colores de manera que no haya dos regiones con frontera común que tengan asignado el mismo color?

Como cada región de un mapa puede interpretarse como un vértice y la frontera común de dos regiones puede asociarse con una arista, un problema de coloreado de mapas puede interpretarse como un problema de coloreado de grafos.

Y por ahí va la cosa, por coloreado de grafos. En 1976, el propio Richard Steinberg establece la conjetura que actualmente lleva su nombre:

Conjetura de Steinberg:

Todo grafo plano que no contenga ni 4-ciclos ni 5-ciclos es 3-coloreable.

Es decir, si un grafo no tiene ciclos de longitud 4 ni ciclos de longitud 5, entonces pueden colorearse sus vértices con 3 colores de manera que no haya vértices conectados que compartan color.

Hasta hace poco, había habido acercamientos a dicha conjetura. Posiblemente, el más interesante surgió a partir de una sugerencia del gran Paul Erdős. Erdős sugirió buscar si existía una constante k que cumpliera que todo grafo sin ciclos de longitud 4,5, \ldots , k era 3-coloreable. Borodin, Glebov, Raspaud y Salavatipour, mejorando resultados anteriores, demostraron en Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are 3-colorable [J. Combin. Theory Ser. B 93 (2005), 303–331] que k \le 7.

Y más o menos en este punto es en el que estábamos…hasta hace bien poquito (en julio de 2006, se publicaba una supuesta demostración de la veracidad de la conjetura de Steinberg que no fue aceptada como correcta). En abril de este año 2016, Vincent Cohen-Addad, Michael Hebdige, Daniel Král, Zhentao Li y Esteban Salgado ha demostrado que la conjetura de Steinberg es falsa. En su trabajo Steinberg’s Conjecture is False, construyen un contraejemplo para dicha conjetura. Es decir, construyen un grafo plano que no contiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que no es 3-coloreable. Para ello, comienzan construyendo un grafo G_1 (arriba a la izquierda en la imagen) con ciertas propiedades; a partir de él construyen un segundo grafo G_2 (arriba a la derecha); y para finalizar construyen un grafo G (abajo) a partir de este último que cumple que no tiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que además no es 3-coloreable:

En el paper que acabo de enlazar podéis ver la demostración de este hecho.

Bien, la conjetura de Steinberg es falsa, problema resuelto. Pero el Three Color Problem sigue abierto, todavía no sabemos si ese k cuya búsqueda sugirió Erdős es 7 ó 6. Estaremos atentos a futuras novedades.

Fuentes y enlaces relacionados:

Esta entrada participa en la Edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.

Explicando un “Casi-Pi” relacionado con un seno y muchos cincos

Mar, 05/24/2016 - 05:30

Un “Casi-Pi” podría definirse como una aproximación de Pi que, posiblemente, uno no esperaría encontrarse. Vamos, una operación que involucra ciertos números y que, de manera más o menos sorprendente, da como resultado una interesante aproximación de nuestro amado número Pi.

Tomo prestado este nombre de este post del blog de Claudio Meller (por cierto, blog muy interesante que os recomiendo visitar). Y aprovecho que he visto dicha entrada para enseñaros un “Casi-Pi” bastante curioso:

sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right )=3.14159268 \ldots \cdot 10^{-10} \approx \pi \cdot 10^{-10}

Este valor, multiplicando por 10^{10}, nos da una aproximación de \pi con 7 decimales exactos. Lo que decía, bastante curioso, ¿verdad?

Pues la cosa se torna en totalmente intrigante cuando comprobamos que aumentando el número de cincos mejoramos la aproximación. Por ejemplo, para 12 cincos obtenemos lo siguiente:

sen \left ( \cfrac{1}{555555555555} \right )=3.141592653592 \ldots \cdot 10^{-14}

El resultado, después de multiplicar por 10^{14}, nos ofrece una aproximación de \pi con 10 decimales exactos. Y, por poner otro ejemplo, con 20 cincos se obtiene

sen \left ( \cfrac{1}{55555555555555555555} \right )=3.141592653589793238494 \ldots \cdot 10^{-22}

que nos da, después de multiplicar por 10^{22}, una aproximación de \pi con 19 decimales correctos.

Tatuaje de PiY podéis seguir aumentando el número de cincos. Cuantos más pongáis, mejor sería la aproximación que obtendréis (después de multiplicar por cierta potencia de 10).

¿Qué está pasando? ¿Qué tipo de brujería es ésta? Tranquilos, no hay ninguna razón oculta en este tema. ¿Casualidad? Como diría aquél, no lo creo. Y, de hecho, no lo es. Todo esto tiene una explicación y, al contrario que cualquier mago que se precie, os voy a desvelar el (sencillo) “truco” que hay escondido aquí.

Para empezar, recordemos que, para valores de x cercanos a cero, se tiene que sen(x) \approx x (hecho que también ha dado para el insulto matemático definitivo)…pero, y esto es muy importante, dicha aproximación se tiene si x está medido en radianes. Si tomamos x medido en grados sexagesimales (los grados de toda la vida), la equivalencia queda así:

sen(x)\approx \cfrac{\pi}{180} \; x

Explicado esto, vamos a meternos en el tema. Teniendo en cuenta que

\cfrac{1}{180}=0.00555 \overline{5}

podemos relacionar el 180 con un número formado solo por cincos. Por poner algunos ejemplos:

  • \cfrac{1}{180} \approx 5555 \cdot 10^{-6}
  • \cfrac{1}{180} \approx 555555 \cdot 10^{-8}
  • \cfrac{1}{180} \approx 55555555 \cdot 10^{-10}

En general, para k cincos se tiene que

\cfrac{1}{180} \approx 555 \ldots (k) \ldots 555 \cdot 10^{-k-2}

Particularizando para k=8, tendríamos que:

\cfrac{1}{55555555} \approx 180 \cdot 10^{-10}

Si sustituimos en la expresión anterior del seno en grados, obtenemos el “Casi-Pi” que comentábamos al principio:

sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right ) \approx \cfrac{\pi}{180} \cdot \cfrac{1}{55555555} \approx \cfrac{\pi}{180} \cdot 180 \cdot 10^{-10} =\pi \cdot 10^{-10}

Por lo que:

10^{10} \cdot sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right ) \approx \pi

Y, como decíamos antes, al aumentar el número de cincos obtenemos cada vez mejores aproximaciones.

Después de explicar todo esto, después de mostrar el “truco”, parece que la cosa no es para tanto. Pero lo que seguro no podréis negar es que la “casualidad” nos proporciona un, cuando menos, curioso resultado, ¿verdad?

Por cierto, ¿qué pensáis sobre la posibilidad de encontrar un “Casi-Pi” ciertamente sorprendente que realmente pueda considerarse una casualidad? ¿Conocéis alguno? Para abrir boca os dejo uno al que, al menos yo, no le encuentro “explicación” (vamos, que parece ser totalmente “casual”):

(Ln(6))^{{{{(Ln(5))}^{(Ln(4))}}^{(Ln(3))}}^{(Ln(2))}}=3.141577 \ldots

Esta entrada participa en la Edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, que, en esta ocasión, organiza Marta Macho desde el blog ZTFNews.

Ha fallecido Javier Cilleruelo, DEP

Dom, 05/15/2016 - 13:05

Hace unas horas me he enterado del triste fallecimiento, hoy mismo, del matemático español Javier Cilleruelo. El primero en avisarme ha sido Diego Soler, a través de la página de Facebook del blog. Después, durante el día, han sido varios amigos, compañeros, exalumnos y familiares de Javier los que me han comunicado y confirmado la noticia.

Javier Cilleruelo

El fallecimiento de Javier es una gran pérdida, tanto a nivel profesional como a nivel personal. En lo que se refiere a su profesión, era uno de los matemáticos españoles de mayor importancia y reconocimiento dentro de su área, la teoría de números. Era profesor titular de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y director del Colegio Mayor Juan Luis Vives de la UAM (es de la página de Facebook de este colegio mayor de donde he tomado la imagen que acompaña a esta entrada).

En los últimos años, Javier, en colaboración con otros matemáticos, resolvió algunos problemas de su área que, hasta ese momento, permanecían abiertos. Concretamente, los que han llegado a mi conocimiento son el problema de los conjuntos generalizados de Sidon, que resolvió junto a Imre Ruzsa y Carlos Vinuesa, y el problema de cómo expresar números enteros como suma de números capicúas, resuelto por Javier junto a Florian Luca.

Por otra parte, Javier ha sido uno de los grandes colaboradores que ha tenido Gaussianos desde siempre. Cuando me enteré de la resolución del problema los conjuntos generalizados de Sidon, me puse en contacto con él y, muy gentilmente, accedió a colaborar con el blog. De dicha colaboración salió la entrada Javier Cilleruelo nos habla sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon. Pero la cosa no quedó ahí. A propósito de la visita de Endre Szemerédi a Madrid, Javier me ayudó a presentaros el teorema de Szemerédi en la entrada Endre Szemerédi, una leyenda viva de las matemáticas. Ambas colaboraciones se produjeron en el año 2011.

Ya en 2014, Harald Helfgott (exacto, el matemático peruano que demostró la conjetura débil de Goldbach), visitaba España para dar un coloquio en el ICMAT. En aquellas fechas, Javier colaboraba con Gaussianos presentando dicho coloquio y dando unas líneas generales sobre el problema en la entrada “La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT. Y, por último, hace bien poco (en febrero de este año 2016) Javier nos sorprendía demostrando, junto a Florian Luca, que todo entero positivo puede expresarse como suma de tres números capicuás. Fue él mismo quien me informó sobre este hallazgo y, como no podía ser de otra forma, quien me sugirió publicar un artículo sobre ello en este blog. Y así lo hicimos en Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por javier Cilleruelo).

Además, compartimos colaboración con El País y la RSME por el centenario de ésta última en 2011. En aquel año, se celebró dicho centenario con la publicación de 40 problemas en dicho medio de comunicación. Javier se encargó de proponer el problema número 3 y yo el problema número 39. Más adelante, esta colaboración entre El País y la RSME se ha repetido en fechas señaladas, y Javier siguió apareciendo en estas colaboraciones. En concreto, propuso el Desafío Extraordinario de Navidad 2013 y el cuarto Desafío de verano de 2014. Los amantes de los problemas matemáticos seguro que disfrutaréis intentando resolver todos ellos.

Por otra lado, a nivel personal se nos va una magnífica persona, alguien a quien todos apreciaban y que, al menos según mi experiencia, se tenía bien ganado ese cariño. Para mí, Javier ha sido, y es, alguien muy especial. Siempre tuvo una magnífica disposición a colaborar conmigo y a ayudarme en lo que yo pudiera necesitar, y eso, bajo mi punto de vista, es de admirar. Y viendo las reacciones que me han llegado de algunos de sus compañeros, amigos y conocidos, veo que no soy el único que le tenía un cariño y aprecio especial. Se nos va un gran matemático y, sobre todo, una maravillosa persona. Javier, te echaremos de menos. Descansa en paz.

No, los experimentos aleatorios independientes no tienen memoria

Lun, 04/18/2016 - 06:30

“Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente”. Esta afirmación, que podría parecer cierta, en realidad no tiene mucho sentido en términos de probabilidad. En los próximos párrafos analizaremos el porqué.

Antes de comenzar, quiero dejar claras las condiciones del tema que vamos a comentar. Lo que sigue se refiere a experimentos aleatorios independientes (es decir, su resultado en un momento dado no influye en el resultado del mismo experimento en otro momento, como puede pasar al lanzar un dado o una moneda) con un número finito de resultados en el que conocemos la probabilidad de cada uno de ellos.

Vamos al tema. Esta entrada me vino a la mente después de ver un tuit del famoso tuitero deportivo @2010MisterChip. Otro tuitero, @ScottiePeppino, le comentaba lo siguiente a raíz de una apuesta que el primero había realizado:

@2010MisterChip hombre, siendo un hombre de estadísticas como eres, apostar por el equipo que lleva sin ganar en ese estadio 30 partidos…

— Scottie Peppino (@ScottiePeppino) 11 de abril de 2016

A lo que MisterChip contestaba lo siguiente

Cuanto más llevas sin ganar, más probable es que ganes el siguiente. Estadística pura y dura 😉 https://t.co/ylyJpoVa6g

— MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si accedéis al mismo podéis ver mi respuesta

@2010MisterChip Esto…Hablando de azar (si citas "estadística" supongo que te refieres a eso), lo que has dicho no es para nada correcto

— gaussianos (@gaussianos) 11 de abril de 2016

y algunas más de otros tuiteros. Todos intentábamos hacerle ver que había caído en una famosa falacia estadística, pero, hasta el día de hoy, la única respuesta que he visto de MisterChip es la siguiente (si hay alguna más decídmelo):

Cambia "jugador" por "mal jugador" y estaremos de acuerdo. https://t.co/03oXVSLo9H

— MisterChip (Alexis) (@2010MisterChip) 11 de abril de 2016

Si analizamos el tema de manera probabilística (entiendo que ésa era la intención de MisterChip al hablar de “estadística”), el asunto es como sigue: estamos ante un experimento aleatorio con dos posibles resultados (victoria de equipo de casa o victoria del equipo visitante, no consideramos el empate) en el que tenemos la probabilidad de cada uno de ellos (se podría hablar de cómo se determinan dichas probabilidades, pero eso es otro tema). Además, dichos resultados son independientes.

Si realizamos el experimento, podemos obtener cualquiera de los dos resultados. Imaginemos que gana el equipo de casa. Si volvemos a realizar el experimento, la pregunta es la siguiente: ¿ha aumentado la probabilidad de que gane el equipo visitante? La respuesta es NO. Para hacer un análisis probabilístico correcto, en este caso tenemos que considerar que el resultado obtenido en un enfrentamiento no influye en lo que pasará en el enfrentamiento siguiente (los resultados son independientes).

La creencia de que muchos resultados “hacia un lado” aumentan la probabilidad de que en la siguiente ocasión la cosa irá “hacia el otro lado” o, más en general, que los resultados obtenidos influyen en los siguientes (vamos, que el juego “tiene memoria”) se denomina falacia del jugador. Uno de los ejemplos más conocidos de esta falacia es el caso que se dio el 18 de agosto de 1913 en una de las ruletas del casino de Monte Carlo. En aquella ocasión, la bolita cayó la friolera de ¡¡26 veces seguidas!! en el negro. Lo que ocurrió es que, a medida que iban saliendo “negros”, los jugadores iban apostando cada vez más al “rojo”, porque entendían que con tantas apariciones del negro era mucho más probable que en la siguiente tirada saliera rojo. Y no, esto no es así: la probabilidad de rojo no aumentaba en este caso. Tomando la ruleta como un juego de probabilidades, y dando un 0.5 al rojo y un 0.5 al negro (esto no exacto, pero para el caso en el que estamos nos vale), esas probabilidades se mantienen en cada tirada independientemente de lo que saliera en tiradas anteriores (la ruleta “no tiene memoria”). ¿Qué ocurrió? Pues no es difícil imaginarlo: el casino ganó muchísimo dinero en ese rato.

¿Por qué entonces pensamos de esta errónea manera (y, si somos jugadores, tan perjudicial para nuestro bolsillo)? Pues porque tendemos a pensar que si los resultados anteriores se desvían sustancialmente de lo que marcan las probabilidades, dicha desviación se corregirá pronto para dejarlo todo “como debe ser” (en este caso, mismo número de rojos que de negros). Eso es, a todas luces, falso. Y de este error por nuestra parte se aprovechan a veces los organizadores de este tipo de juegos, dándonos, por ejemplo, los números calientes y los números fríos (intentando así influir en nuestra percepción sobre las probabilidades de cada número en la siguiente tirada). De hecho, en juegos tipo la ruleta, en una situación como ésta de tantos “negros” seguidos podría ser más razonable pensar que dicha ruleta está “trucada” (premeditadamente o no, eso no es importante) para que salgan más “negros” que “rojos”, por lo que quizás tendría más sentido volver a apostar al “negro” en la tirada siguiente (esta forma de razonar se conoce como principio de Hume).

Y un último detalle. Es también interesante distinguir entre “número de veces que se ha producido cada resultado” y “probabilidad de cada resultado”. Que las probabilidades sean iguales no significa, ni mucho menos, que conforme aumentamos el número de realizaciones del experimento las veces en las que sale cada resultado tiendan a igualarse. Voy a poner un ejemplo para intentar explicar qué quiero decir:

Imaginemos que tiramos una moneda 100 veces y salen 40 caras y 60 cruces. En este caso, llevaríamos un 40% de caras y un 60% de cruces. Imaginemos que seguimos tirando la monda y llegamos a 1000 tiradas, obteniendo 460 caras y 540 cruces. Las probabilidades se van acercando, 0.46 para “cara” y 0.54 para “cruz”, pero la distancia entre el número de veces de cada una es mayor (antes era 20 y ahora es 80).

Recordad: la probabilidades en estos casos se calculan dividiendo casos favorables entre casos posibles. Por ello, aunque las probabilidades se vayan igualando, la diferencia de las veces que sale cada uno de los resultados puede ser cada vez mayor.

Se ha escrito mucho sobre la falacia del jugador, y en internet podéis encontrar gran cantidad de artículos sobre el tema. Os dejo éste del maestro Adrián Paenza: La falacia del jugador.

Sobre la manera de determinar las probabilidades de cada uno de los resultados quería hacer un comentario. ¿Tiene sentido tomar los resultados anteriores entre ambos equipos para determinar dicha probabilidad? Si la respuesta es afirmativa, el hecho de que un equipo haya perdido los últimos enfrentamientos directos debería entonces, bajo mi punto de vista, hacer que la probabilidad de victoria del “perdedor habitual” baje respecto a estimaciones anteriores, pero nunca que suba. Y si no lo veis, ahí va un ejemplo:

Imaginemos que el Granada ha perdido 20 veces seguidas en el Bernabéu, y que “su” probabilidad de victoria era de 0.1. ¿Significa eso que si vuelven a jugar ahora en el Bernabéu tienen una probabilidad mayor de ganar?

Pues yo creo que no. A ver qué pensáis vosotros.

Y sobre el hecho de que los resultados anteriores puedan influir en la mente de los jugadores del equipo “perdedor habitual”, cabrían las dos posibilidades. Podría ser de manera positiva (más ganas de romper la mala racha) o de manera negativa (como llevan muchos años perdiendo no se ven con capacidad de ganar). Pero eso significaría que introducimos efectos externos en el análisis (podrían añadirse más: la buena o mala temporada que está haciendo cada uno, la moral que se tiene en esa época, si se juegan algo importante en ese momento o no…), efectos que no tienen que ver con la probabilidad. Por ello no cabría hablar de estadística en este caso.

Este artículo participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Pimedios.es.