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Actualizado: hace 20 horas 12 mins

Edición 7.6 “La banda de Möbius” del Carnaval de Matemáticas

Jue, 09/22/2016 - 05:00

Después del parón estival, vuelve el Carnaval de Matemáticas, que para quien no lo sepa es una celebración bloguera mensual cuya idea es publicar artículos relacionados con las matemáticas con el objetivo de hacer más visible la divulgación de las matemáticas dentro del mundo internetero.

Esta edición del Carnaval de Matemáticas está dedicada a la banda de Möbius, superficie tridimensional con una sola cara descubierta de manera independiente por August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.

Banda de Möbius

La razón por la que esta edición está dedicada a esta curiosa figura es que dentro de la semana de celebración del Carnaval, concretamente el 26 de septiembre, se cumplen años del fallecimiento de Möbius, hecho que ocurrió en 1868.

La banda de Möbius, como hemos dicho, es una figura tridimensional de una sola cara que presenta interesantes propiedades. Podría comentar algunas de ellas en este post, pero voy a aprovechar que hace un tiempo escribí una entrada sobre esta interesante superficie para recomendaros que accedáis a ella y buceéis en esta banda de una sola cara: La banda de Möbius: cuánto juego da una sola cara.

Vamos ahora con la información específica de la edición actual del Carnaval. La idea es publicar en vuestros blogs una entrada relacionada con las matemáticas entre el 25 de septiembre (domingo) y el 2 de octubre (domingo siguiente) que indique en algún lugar de la misma que dicha entrada participa en esta edición citando esta entrada y el blog anfitrión. Como sugerencia, puedes usar el siguiente texto:

Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.

Los que habéis participado en anteriores ediciones habréis advertido que no se menciona a la web del Carnaval. La razón es que, al parecer, Bligoo (la plataforma en la que estaba alojada dicha web) ha realizado una reestructuración terrible de sus páginas, con la que, además de añadir una ingente cantidad de publicidad, se han perdido algunas secciones, como la de los próximos anfitriones del Carnaval. Por ello, se ha decidido dejar de usarla. Si alguien conoce una plataforma tipo Bligoo que sea gratuita y que pueda servir como página oficial del Carnaval de Matemáticas que lo comente aquí, o a través de Twitter o Facebook. Si no se encuentra nada interesante, posiblemente se deje la página de Facebook como página principal del Carnaval. Iremos informando de esta cuestión cuando se decida qué hacer.

Seguimos con el tema. Cuando termine la edición en curso, publicaré un resumen en mi blog con todas las entradas que se participen en esta edición. Para que sepa que has escrito una contribución para el Carnaval, lo mejor sería que me avisaras de ello. Puedes hacerlo de varias formas:

En dicha entrada-resumen podréis votar con 4, 2 y 1 puntos a las entradas que más os hayan gustado entre todas las participen en esta edición. La entrada con mayor cantidad de puntos será la ganadora de la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas.

Creo que no tengo que comentaros nada más sobre esta nueva edición del Carnaval. Por tanto, os dejo con los resúmenes de todas las ediciones que se han celebrado hasta la fecha:

¡¡A participar se ha dicho!!

La metamorfosis del señor LeBlanc

Mié, 09/21/2016 - 12:57

En pleno siglo XXI no es difícil encontrar mujeres matemáticas en cualquier país del mundo que se dedican a esta ciencia de manera profesional y que ocupan cargos de altura en los organismos matemáticos más importantes. Podría poner muchos ejemplos, pero voy a citar solamente dos que considero especialmente notorios: Ingrid Daubechies y Marta Sanz-Solé. Además de destacar por sus investigaciones en diversos campos de las matemáticas, también lo hacen por los cargos que han ocupado: Ingrid, matemática belga, fue presidenta de la Unión Matemática Internacional (IMU, en inglés) de 2011 a 2014; y Marta, matemática española, lo fue de la Sociedad Matemática Europea (EMS, en inglés) durante el mismo período.

Que la mujer pueda dedicarse profesionalmente a la investigación científica en general, y matemática en particular, se ve en la actualidad con total naturalidad (como no podía ser de otra manera). Pero, por desgracia, no siempre fue así. Hasta hace unas décadas, el acceso de la mujer a estudios superiores era bastante complicado, y se tornaba en prácticamente imposible conforme miramos hacia atrás en la historia.

Por ello es justo dar a conocer a esas mujeres que consiguieron destacar en campos como las matemáticas en tiempos en los que pertenecer a ese selecto grupo de personas era poco menos que una utopía para ellas. Y no nos vamos a ir demasiado lejos, concretamente a finales del siglo XVIII y principios del XIX.

De aquella época, muchos son los matemáticos (hombres) importantes que seguro le suenan a más de uno (Gauss, Euler o Lagrange son algunos de los más importantes y conocidos), pero ¿podríais citar a alguna mujer? Posiblemente no. Esta historia os va a dar a conocer a una de las más destacadas: Sophie Germain.

Sophie GermainSophie Germain (en la imagen) fue una matemática, física y filósofa francesa nacida en el año 1776. A pesar de ser autodidacta, realizó importantes contribuciones en varios campos de las matemáticas y la física y llegó a relacionarse con algunos de los matemáticos más influyentes de su época.

El interés de Germain por las matemáticas fue provocado, indirectamente, por la toma de la Bastilla en 1789, cuando contaba con 13 años. El ambiente revolucionario que se vivió en aquella época le obligaba a estar en casa de manera casi permanente. Ello le llevó a comenzar a leer libros de la biblioteca de su padre por puro entretenimiento, y fue uno de ellos, L’Historie des Mathématiques, la que le llevó a introducirse en el mundo de las matemáticas. A través de esta obra, Sophie conoció a Arquímedes, y su historia le cautivó hasta tal punto que continuó devorando todos los libros de matemáticas que pasaban por sus manos (llegando a aprender latín y griego por su cuenta para ello) aunque lo tuviera que hacer por las noches a espaldas de sus progenitores, que no aprobaban su interés por las matemáticas dado lo inapropiado del mismo para una mujer de aquella época.

En 1794, con 18 años, Germain consiguió algunas notas provenientes de la École Polytechnique recién creada, y comenzó a enviar sus trabajos a Joseph Louis Lagrange, uno de los matemáticos más importantes de la época. Pero no lo hizo con su nombre real, ya que temía que Lagrange no la tomara en serio por su condición de mujer, sino con el sobrenombre de señor LeBlanc. Éste, viendo la calidad de dichos trabajos, se interesó por conocer al tal señor LeBlanc, y ahí Sophie no tuvo más remedio que desvelar su verdadera identidad. Afortunadamente para ella (y para las matemáticas en general), a Lagrange no le importó lo más mínimo que el señor LeBlanc en realidad fuera una mujer y se convirtió en el mentor de Sophie Germain.

Carl Friedrich GaussPosiblemente, las contribuciones más importantes de Sophie Germain a las matemáticas se encuadran en una rama de las mismas denominada teoría de números. Comenzó a interesarse por ella a raíz de la lectura de la obra Essai sur la théorie des nombres, de Adrien-Marie Legendre, con quien también se carteó, y dicho interés alcanzó su mayor grado después de la lectura de las Disquisitiones Arithmeticae, de Carl Friedrich Gauss (en la imagen). Con Gauss, la correspondencia comenzó cuando Germain le envió sus trabajos relacionados con el denominado último teorema de Fermat, y evidentemente también lo hizo bajo el seudónimo de señor LeBlanc.

Pero fue Napoleón, de nuevo indirectamente, quien provocó que Sophie Germain desvelara su verdadera identidad a Gauss. Sobre 1807, Francia ocupa Braunschweig, ciudad de residencia de Gauss. Al conocer la noticia, Germain, por miedo a que éste pudiera sufrir algún daño, escribe a un general amigo de la familia para que se encargue de velar por la seguridad del propio Gauss. El general manda a alguien a comprobar que Gauss está en perfecto estado y éste le informa de que esa comprobación se ha realizado a petición de Sophie Germain. Esto le desconcierta un poco (no tenía constancia de conocer a nadie con ese nombre), pero tres meses después todo cobra sentido: Sophie Germain revela por carta a Gauss que en realidad el señor LeBlanc era una mujer. La contestación de Gauss deja bien claras las sensaciones que esta historia provocaron en él (citada ya aquí en Gaussianos):

Pero cómo describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Sr. LeBlanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no me asombra ya es que los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior.

Sophie aprovechó esta buena aceptación por parte de Gauss de dicha revelación para comunicarle algunos de los resultados que había obtenido en teoría de números. Pero, a pesar del buen concepto que Gauss tenía de ella, el decreciente interés de él por esta rama de las matemáticas hizo que normalmente tardara mucho en contestar o que ni siquiera revisara convenientemente sus trabajos, llegando esto a provocar que dejaran de cartearse. Por otra parte, aunque Germain y Gauss entablaron una buena amistad, no se tiene constancia de que llegaran a conocerse personalmente.

En la última parte de su vida se dedicó en parte a la filosofía, llegando a publicarse dos trabajos suyos de forma póstuma sobre esta rama del conocimiento. El interés de los mismos queda patente al saber que Auguste Comte mostró gran admiración por ellos.

Como ya hemos comentado, las contribuciones de Sophie Germain a las matemáticas se centraron en teoría de números, y concretamente en el estudio de los números primos y el último teorema de Fermat que hemos citado unos párrafos más arriba.

En lo que se refiere a los números primos, los estudios de Sophie ha llevado a que uno tipo de ellos lleve su nombre. Los primos de Germain son los números primos p tales que 2p+1 también es primo, como por ejemplo el 2 (2 \cdot 2+1=5 es primo), el 3 (2 \cdot 3+1=7 es primo) o el 29 (2 \cdot 29 +1=59 también es primo). Los primeros primos de Germain (A005384 en la OEIS) son:

\begin{matrix} 2,3,5,11,23,29,41,53,83,89,113,131,173,179,191,233,239,251,281, \\ 293,359,419,431,443,491,509,593,641,653,659,683,719,743,761,809,911 \ldots \end{matrix}

Se conjetura que hay infinitos primos de Germain. El mayor conocido hasta la fecha es 2618163402417 \cdot 2^{1290000} - 1, descubierto en febrero de este año 2016.

Y en lo que se refiere al último teorema de Fermat, este mismo tipo de números primos tuvo mucho que ver en los resultados obtenidos por Sophie Germain.

Doodle de Google dedicado al último teorema de Fermat

Doodle que el buscador Google dedicó al último teorema de Fermat en el 410 aniversario del nacimiento de Pierre de Fermat, el 17 de agosto de 2011 (que podéis ver aquí).

Germain no consiguió demostrar dicho teorema (de hecho, como sabéis, no se consiguió ¡hasta 1995!), pero sí consiguió demostrar un resultado que supuso una importante restricción del posible conjunto de soluciones del mismo. Tal fue la importancia del ahora denominado teorema de Germain que se convirtió en uno de los mayores avances en la búsqueda de la demostración de este último teorema de Fermat. Dicho teorema dice, básicamente, que si el exponente p es un primo de Germain (es decir, un primo tal que 2p+1 también es primo), entonces el último teorema de Fermat es cierto para el caso en el que p no divide a ninguna de las bases x,y,z.

La introducción del concepto de curvatura media de una superficie fue otra de sus principales aportaciones a las matemáticas, en este caso relacionada con la geometría. Y en lo que se refiere a la física, fue una de las pioneras de la teoría de la elasticidad.

Aunque a Sophie Germain se le achaca cierta falta de rigor en sus trabajos, más que posiblemente provocada por su condición de autodidacta, no se puede negar la importancia que los mismos tuvieron en varios ámbitos de las matemáticas y la física. Y lo que es seguro es el enorme mérito que tiene el hecho de poder conseguir todo esto teniendo en cuenta las dificultades que la sociedad de la época planteaba a las mujeres que querían acceder al conocimiento. Por todo ello, el escritor estadounidense John Augustine Zahm dijo en su obra Woman in Science, que publicó en 1913 bajo el seudónimo de H.J. Mozans, que Sophie Germain había sido probablemente la mujer más profundamente intelectual que Francia había producido. No es para menos.

Más información en:

“La circunferencia de Feuerbach”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 09/18/2016 - 10:00

El pasado viernes 16 de septiembre publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la circunferencia de Feuerbach.

La circunferencia de Feuerbach o por qué me encantan los triángulos

La geometría plana, a pesar de su aparente sencillez, esconde auténticas maravillas. Y, en concreto, la geometría del triángulo es tremendamente rica en sorpresas geométricas, hechos inesperados que la convierten en una rama de las matemáticas digna de ser estudiada en profundidad.

Espero que os guste.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo.

Comienzan los Premios Bitácoras 2016: ¡¡Vota a Gaussianos!!

Jue, 09/15/2016 - 06:00

Ayer, 14 de septiembre de 2016, se presentaron los Premios Bitácoras 2016, que, como muchos ya sabréis, es un conocido certamen de premios para blogs de diferentes temáticas. Gaussianos, como suele ser habitual, se presenta a estos premios.

Estos premios están divididos en categorías, según las distintas temáticas que puede tratar un blog. Concretamente, hay 20 categorías en las que podéis votar a un blog concreto. Hasta hace un par de años, la categoría “Ciencia” era exclusiva, pero el año pasado la organización decidió fusionarla con la categoría “Educación”. En esta edición, las categorías se mantienen igual, por lo que si queréis votar a Gaussianos debéis hacerlo dentro de la categoría “Educación y Ciencia”.

La fecha límite para votar es el 28 de octubre de 2016. Durante el proceso de votación, la organización publicará clasificaciones parciales que yo os iré comentando por aquí. Después de esa fecha, los tres blogs más votados en cada una de las categorías serán los finalistas de la misma, y un comité de expertos decidirá cuál de esos finalistas merece ser el ganador en cada una de ellas.

Paso ahora a explicarlos cómo votar, para que todos los que queráis hacerlo sepáis cómo. Quien haya votado en otras ediciones ya sabe cómo hacerlo, porque el proceso no ha cambiado, y quien no lo haya hecho en años anteriores puede estar tranquilo porque es sencillo.

En primer lugar, tenéis que identificaros en la página web de los premios, http://bitacoras.com/. Si ya tenéis cuenta en ella, metéis vuestro usuario y contraseña y hacéis click en Entrar. Si no tenéis cuenta en dicha web, también podéis identificaros a través de vuestra cuenta de Twitter o vuestra cuenta de Facebook. En la imagen siguiente podéis ver dónde tenéis que hacer click para cada una de las opciones:

Ya identicados, hacéis click en Premios 2016 y después en Votar. Os aparecerán todas las categorías de los premios, y en cada una de ellas cinco huecos para los, como máximo, cinco blogs a los que podéis votar en cada una de ellas:

Buscáis Educación y Ciencia y, en cualquiera de los huecos, escribís gaussianos.com después del http:// que ya os aparece escrito. Bajáis hasta el final de la página y hacéis click en Votar. En ese momento, la página os confirmará que el voto ha sido correcto. A partir de ese instante, si volvéis a entrar en la página de las votaciones los blogs votados os aparecerán en gris, como en la imagen anterior.

Por cierto, cuando os hayáis identificado podéis hacer click en este enlace. Con ello iréis directamente a la página de las votaciones y ya os aparecerá la url de Gaussianos escrita en su sitio, con lo que simplemente tendréis que bajar hasta el final de la página y hacer click en Votar.

Y ya está, con esto ya habréis votado a Gaussianos. Así escrito, el proceso parece largo, pero en realidad es sólo un minutito. Por ello, os pido que, si creéis que Gaussianos merece estar entre los tres finalistas de “Educación y Ciencia”, le dediquéis ese minutito a votar. Y si tenéis alguna duda sobre las votaciones, no tenéis más que poneros en contacto conmigo, ya sea mediante un comentario en esta entrada o mediante alguna de las opciones que os ofrezco en la sección Contacto.

Muchísimas gracias por adelantado.

Utilizando el método de exhaución para “demostrar” que 2=1

Mar, 09/13/2016 - 14:11

El método de exhaución ideado por los griegos es un argumento mediante el cual se puede aproxima el perímetro o el área de figuras curvas. Probablemente, el ejemplo más famoso es el cálculo de la longitud de la circunferencia que elaboró Arquímedes en el que se aproximaba dicha longitud mediante polígonos regulares inscritos en ella (más información en la Wikipedia en inglés).

Polígonos de 6, 12 y 24 lados inscritos en una circunferencia.

Detrás de este método están los conceptos que permitieron desarrollar el cálculo diferencial e integral y posteriormente, el concepto de límite.

Ernesto ArandaÉste es el comienzo de una interesante colaboración de Ernesto Aranda, en la que nos mostrará una supuesta “demostración” de que 2=1. En internet se pueden encontrar algunas “demostraciones” de este hecho. La mayoría de ellas son sencillas de desenmascarar, ya que suele utilizar la cancelación de un término que en realidad es igual a cero (razón por la cual no puede cancelarse). En Gaussianos hemos publicado alguna un poco más compleja, como ésta, relacionada con la raíz cuadrada, o ésta, relacionada con derivadas. La que nos trae Ernesto es, posiblemente, más compleja que todas ellas. Por eso, él mismo nos explicará después dónde está el error.

Por cierto, creo que es buen momento para presentar a nuestro colaborador. Ernesto Aranda es licenciado y doctor por la Universidad de Sevilla, y profesor titular de universidad del área de Matemática Aplicada de la UCLM, donde imparte clases en la Escuela de Ingenieros Industriales de Ciudad Real. Su área de trabajo gira en torno al cálculo de variaciones y al diseño y control óptimos, desde una perspectiva numérica. Aparte de la cuestión académica, es de destacar que es un apasionado del parapente y del paramotor.

Y aprovecho para comentaros que en su página web podéis encontrar apuntes y libros interesantes relacionados con \LaTeX y Python.

Os dejo con el resto del artículo. Espero que os resulte interesante.

El método de exhaución en definitiva no es más que un paso al límite, que aplicado al cálculo de la longitud de la circunferencia afirma que el perímetro del polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia tiene longitud, cuando n es suficientemente grande, prácticamente igual a la longitud de la circunferencia.

Aquí vamos a usar este método de exhaución para “probar” que 2=1. Para ello, consideremos un triángulo equilátero de lado 1 (como el que aparece a la izquierda en la imagen posterior). Es evidente que los lados opuestos a la base tienen longitud 1, y su suma será 1+1=2.

A continuación, sobre el triángulo anterior, construimos dos triángulos equiláteros de lado 1 \over 2, según vemos en el centro de la imagen siguiente. Ahora, si sumamos la longitud de los lados opuestos a las bases, tenemos 4 lados de longitud 1 \over 2, cuya suma es 2, mientras que las bases continúan sumando 1.

Es fácil intuir las siguientes iteraciones de nuestra construcción. En la siguiente etapa tendremos 4 triángulos equiláteros cuyos lados tienen longitud 1 \over 4, de manera que las longitudes de los lados opuestos a las bases siguen sumando 2, mientras que la longitud de sus bases suma 1:

Al cabo de n iteraciones, tendremos 2^{n-1} triángulos equiláteros de lado 1 \over {2^{n-1}}, y si sumamos las longitudes de los lados opuestos a las bases serán 2^{n-1} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}=2, y las bases seguirán sumando 1.

En nuestro caso, si seguimos realizando iteraciones de la construcción anterior, resultará que en el límite los triángulos equiláteros construidos se aproximan cada vez más a la línea que forman sus bases, por lo que sus longitudes han de ser iguales. Pero la suma de las longitudes de los lados opuestos es siempre 2, y las bases suman siempre 1. Ahora, según el método de exhaución en el límite deben coincidir, de modo que 2 ha de ser igual a 1.

Paramos un momento aquí para dejaros pensar. ¿Dónde puede estar el error (porque error tiene que haber)? ¿Cómo podríamos explicarlo? Bien, vamos con la segunda parte del artículo: la explicación que Ernesto nos da sobre esta “demostración”.

Para ver qué está ocurriendo con esta aparente paradoja, debemos formalizar un poco los elementos con los que estamos jugando. En lugar de una sucesión de triángulos podemos considerar una sucesión de funciones, cuya gráfica corresponde a cada una de las etapas de construcción. Así, tendríamos que las funciones que corresponden a los lados opuestos a la base en los triángulos son

f_n(x) =\sqrt{3} \left ( \cfrac{1}{2^n} - \left | x- \cfrac{[2^{n-1}x]}{2^n} - \cfrac{1}{2^n} \right | \right )

donde [\,\cdot\,] denota la parte entera. Estas son las conocidas como funciones dientes de sierra. Es evidente que f_n(x) \ge 0, \forall x \in [0,1] y que

|f_n(x)| \le \cfrac{\sqrt{3}}{2^n} \quad \forall x \in [0,1]

De aquí se deduce fácilmente que la sucesión f_n converge uniformemente a 0. Como consecuencia, vemos que el método de exhaución falla estrepitosamente: tenemos una sucesión de funciones que converge de la mejor forma posible a otra función, pero la longitud de estas funciones no converge a la longitud de su límite.

Aquí es importante observar que estamos midiendo longitudes; para ello, debemos recordar que el cálculo de la longitud de una curva dada por una función g, entre los puntos de abscisa x=0 y x=1 viene dado por el funcional integral

L(g) = \displaystyle{\int_0^1 \sqrt{1+g'(x)} \, dx}

Esto nos puede dar una idea inicial de lo que está ocurriendo. Para calcular la longitud debemos tener presente las derivadas de las funciones f_n. Si alguien está pensando en que eso no es posible, pues las funciones f_n no son derivables, en realidad eso no es problema, puesto que se trata de funciones que son derivables a trozos, y por tanto la integral anterior se puede calcular como una suma de integrales en los subintervalos en los que las funciones sí son derivables.

Pero la dificultad aparece cuando tomamos límite, no en las funciones f_n sino en sus derivadas. ¿Cuál es el límite de f_n'? Si tomamos cualquier punto x \in [0,1] \backslash \{ \frac{m}{2^k}, \ m=1,\dots,2^k-1\}_{k \in \mathbb{Z}}, vemos que la sucesión f_n'(x) no tiene límite, pues sus valores van a ser \sqrt{3} o -\sqrt{3}. Es decir, la sucesión f_n' no converge puntualmente.

No obstante, existe un concepto de límite coherente con el límite de f_n y de sus derivadas: la convergencia débil. Para no entrar en cuestiones excesivamente técnicas, bastará decir que la convergencia débil de funciones viene a ser convergencia en media. Podemos decir que una sucesión g_n converge débil a g, y se denota por g_n \rightharpoonup g si

\displaystyle{\int_0^1 g_n(x) \, dx  \rightarrow \int_0^1 g(x) \, dx}

Además, la convergencia fuerte, que sería la convergencia en norma, implica la convergencia débil. De este modo, la sucesión de funciones f_n anterior converge débil a f=0 y sus derivadas f_n' convergen débilmente a f'=0.

Ahora sí podemos explicar matemáticamente por qué falla el método de exhaución en este caso. Para que el límite de las longitudes de las funciones de las sucesión sea igual a la longitud del límite se ha de tener continuidad del funcional longitud. Aunque el funcional integral L descrito antes es continuo respecto de la convergencia fuerte, no es continuo respecto de la convergencia débil, de hecho sólo es semicontinuo inferior débil, esto es, si f_n \rightharpoonup f, entonces L(f) \le L(f_n), que es justamente o que sucede en nuestro caso. Si f=0, entonces L(f) = 1 \le L(f_n) = 2. O sea, que en realidad sólo podemos decir que 1\le 2.

¿Qué os ha parecido? ¿Conocíais esta demostración falaz de que 2=1? ¿Habíais visto la explicación alguna vez? Os animo a que nos contéis vuestras experiencias en los comentarios, así como que nos habléis de otras “demostraciones” de 2=1 que no hayamos citado aquí.

“El Aleph”, mi nuevo blog de matemáticas en El País

Sáb, 08/06/2016 - 05:30

Aunque seguro que muchos de vosotros ya lo sabéis, creo que es necesario comentar que desde hace unas semanas estoy escribiendo un nuevo blog dedicado a las matemáticas. Se trata de El Aleph, y está alojado en la sección de blogs de El País.

Como decía, es posible que muchos ya lo sepáis, ya sea porque lo habéis visto a través de mi cuenta de Twitter o la página de Facebook de Gaussianos o porque lo visteis en el post del décimo aniversario del blog. Para todos, los que lo sabíais y los que no, os comento que la idea de El Aleph es esencialmente la misma que la de Gaussianos: realizar divulgación matemática con el objetivo de llegar a todo tipo de público. Evidentemente, escribir en un medio de comunicación tan grande supone una gran oportunidad para acercar las matemáticas aún más al gran público. Y, evidentemente, cuento con vuestra ayuda para que la difusión de los artículos que publique en este nuevo blog lleguen incluso más lejos.

En principio publicaré allí un artículo semanal, que por ahora sale los viernes. Se han publicado ya tres artículos, de los cuales dejo por aquí títulos y enlaces:

He creado una nueva página en Gaussianos, El Aleph, que iré actualizando semanalmente con la información de cada uno de los nuevos artículos. De todas formas, intentaré anunciar aquí con un pequeño post la publicación de cada uno de estos nuevos artículos.

Esto no significará que deje de escribir en Gaussianos, ni mucho menos. Mi idea, y mi intención, es continuar escribiendo aquí. No os libraréis de mí tan fácilmente.

Espero que recibáis los artículos de El Aleph tan bien como habéis recibido siempre los artículos de Gaussianos. Como siempre, muchísimas gracias por vuestro apoyo.

Gaussianos cumple 10 años de vida

Mar, 07/26/2016 - 06:00

Pues sí, amigos y amigas, Gaussianos cumple 10 años de vida. Una década escribiendo sobre matemáticas a través de este blog y divulgando a través de él y las redes sociales. Una década intentando acercar las matemáticas a todo tipo de público y aprendiendo día a día gracias a mis propios artículos y, cómo no, gracias a vosotros.

Si aquel lejano 26 de julio de 2006 me hubieran dicho que este blog iba a cumplir 10 años activo no me lo habría creído. Pero sí, hemos llegado. Aquel día 26 de julio de 2006 comenzábamos con Gaussianos hablando de la conocida anécdota de Gauss sobre la suma de los 100 primeros enteros positivos y además anunciábamos que Grigori Perelman recibiría la Medalla Fields en el ICM de Madrid.

Y hablo en plural porque, como sabréis los más veteranos, este blog fue creado por dos personas: Fran y un servidor. De hecho fue él quien me sugirió la idea de crearlo, al ver algunos artículos míos sobre matemáticas en un blog personal que yo escribía en aquella época. Por desgracia, Fran tuvo que dejar el blog antes de que llegáramos a nuestro primer año. Fran, si sigues por ahí estaría muy bien que te manifestaras, que hace mucho que no sé nada de ti.

La cuestión es que aquí seguimos después de 10 años. Una década en la que Gaussianos ha traído consigo muchas cosas buenas. Además del propio crecimiento del blog, impensable para mí cuando comenzamos, gracias a él he dado charlas (Santander, Sevilla, Granada, Logroño, Murcia, Toledo , otra vez Granada, de nuevo Sevilla y Albacete, además de las charlas en los eventos Naukas Bilbao en 2011, 2012 y 2013); formé parte de los blogs colaboradores de La Información durante más de 4 años; fui editor del Boletín de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) durante 3 años; y he colaborado en diversos medios de comunicación en papel, digital y en radio.

Sobre esto último, las colaboraciones, la última novedad es que he comenzado a escribir un nuevo blog en El País: El Aleph.

El primer artículo, ¿Existe algún número que no tenga nombre?, se publicó el pasado viernes, y la frecuencia de publicación será de un artículo semanal (en principio se seguirán publicando los viernes). Me hace mucha ilusión colaborar con un medio tan importante, y haré todo lo posible por estar a la altura. Espero que también os hagáis seguidores y comentaristas de este nuevo blog.

Por otra parte, como no podía ser de otra forma, también ha habido alguna cosa no tan buena, sobre todo en los últimos tiempos. Algunas cuestiones personales y bastantes problemas técnicos (el hosting, qué importante es el hosting) han provocado que en los últimos años la frecuencia de publicación de Gaussianos se haya resentido. Las cuestiones personales se solucionaron hace tiempo, y los problemas técnicos parece que se han solucionado desde que decidí cambiar el blog de hosting a webempresa. Por eso Gaussianos sigue aquí, y por eso va a continuar (espero que) mucho tiempo.

Muchos han sido los artículos que se han publicado en Gaussianos en estos 10 años, y los ha habido de todo tipo: presentaciones de teoremas, comentarios sobre trabajos de investigación, notas biográficas, problemas propuestos y resueltos, curiosidades, citas matemáticas, colaboraciones de matemáticos españoles importantes… Es muy complicado para mí seleccionar unos cuantos artículos como los más interesantes o llamativos, pero lo voy a intentar. Os voy a dejar diez artículos que para mí han sido muy importantes, ya sea por lo que me costó escribirlos, por la belleza de lo que describen, por la importancia de su contenido o simplemente porque les tengo un especial cariño. Aquí los tenéis:

Seguro que muchos de vosotros tendréis como favorito algún artículo de Gaussianos que no aparece en esta lista. Me gustaría, si queréis, que nos contéis en un comentario cuál o cuáles son los artículos del blog que más os han gustado.

Por cierto, si miráis de nuevo la lista anterior podéis ver que hay dos colaboraciones entre los diez artículos. La de la conjetura débil de Goldbach, de Harald Helfgott, aparece en la lista por ser la demostración de un importante problema que llevaba muchísimos años sin solución, y porque, si no me equivoco, fue el primero que publiqué la demostración de Harald en español. La de los tres capicúas está en el listado, además de por su importancia y su interés, como tributo a un gran matemático, Javier Cilleruelo, que falleció hace unos meses. Un gran colaborador de Gaussianos y un grandísimo matemático. Pero, lo que es más importante, una bellísima persona. Descansa en paz, amigo Javier.

Y qué decir de vosotros, lectores, comentaristas, colaboradores. Todos sois parte de Gaussianos. Sin vosotros, este blog no existiría, o al menos no sería ni de lejos lo que ha sido y lo que es. Sé que estos son los típicos comentarios que suelo hacer en estos casos, pero no por mucho repetirlos pierden su valor. Todos, vosotros y yo, somos compañeros en este maravilloso viaje. Seguro que seguiremos juntos mucho tiempo compartiendo conocimiento y experiencias. MUCHAS GRACIAS.

Para terminar este post, os recuerdo los lugares en los que me podéis encontrar en Internet:

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 3: Entero divisible

Lun, 07/25/2016 - 05:30

Tercer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los días 11 y 12 de julio.

Sea P=A_1 A_2 \ldots A_k un polígono convexo en el plano. Los vértices A_1, A_2, \ldots , A_k tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea S el área de P. Sea n un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de P son todos números enteros divisibles por n. Demostrar que 2S es un entero divisible por n.

Si ya conocéis la solución porque la habéis visto publicada, lo ideal sería que dejarais a los demás intentar el problema. Muchas gracias.

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 2: I-M-O

Mar, 07/19/2016 - 11:30

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016, celebrada en Hong Kong los pasados días 11 y 12 de julio.

Hallar todos los enteros positivos n para los que en cada casilla de un tablero n \times n se puede escribir una de las letras I,M y O de manera que:

  • en cada fila y en cada columna, un tercio de las caillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O; y
  • en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casilla divisible por 3, exactamente un tercio de las casillas tiene I, un tercio tiene M y un tercio tiene O.

Nota: Las filas y las columnas del tablero n \times n se numeran desde 1 hasta n, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par de enteros positivos (i,j) con 1 \le i,j \le n. Para n > 1, el tablero tiene 4n-2 líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i+j es una constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas (i,j) para las que i-j es una constante.

Si ya habéis visto la solución del problema en algún sitio, os agradecería que no la publicarais aquí, para así dar la posibilidad a los demás a resolverlo. Gracias.

Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016 – Problema 1: Rectas concurrentes

Mar, 07/12/2016 - 06:15

Entre ayer, día 11 de julio, y hoy, 12 de julio, se ha celebrado en Hong Kong la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2016. Comenzamos hoy a plantear en el blog los problemas propuestos en esta competición.

El enunciado del primer problema es el siguiente:

El triángulo BCF es rectángulo en B. Sea A el punto de la recta CF tal que FA=FB y F está entre A y C. Se elige el punto D de modo que DA=DC y AC es la bisectriz del ángulo \langle DAB. Se elige el punto E de modo que EA=ED y AD es bisectriz del ángulo \langle EAC. Sea M el punto medio de CF. Sea X el punto tal que AMXE es un paralelogramo (con AM \parallel EX y AE \parallel MX). Demostrar que las rectas BD, FX y ME son concurrentes.

Como siempre, os pido que si veis la solución al problema en alguna web (se publicarán en muchas webs las soluciones a estos problemas) no la pongáis directamente aquí, dejad que los que no han visto la solución puedan intentar el problema por su cuenta. Muchas gracias.

El problema del destructor y el submarino

Mié, 07/06/2016 - 04:30

Hace unos días, un lector del blog, Manel Amorós, me hizo llegar un problema que había visto en un comentario de un artículo relacionado con matemáticas que se había publicado en un medio de comunicación. Aunque el comentario no tenía mucho que ver con la temática del artículo en sí, el problema suscitó el interés de varios lectores, Manel incluido. Por ello os lo planteo hoy en Gaussianos.

No os voy a dejar el enunciado literal que se propuso en ese artículo, ni el enlace del mismo (lo pondré más adelante, cuando se haya resuelto aquí). Os agradecería que ninguno de vosotros lo ponga en ningún comentario.

Ahí va el enunciado tal cual me lo envió Manel:

Un destructor y un submarino se encuentran separados una distancia D (suponemos distancias horizontales, dado que el problema se desarrolla en el plano). En un momento dado, ambos empiezan a moverse a velocidades constantes, siendo la velocidad del barco superior a la del submarino. El submarino se mueve obligatoriamente en linea recta, pero el barco desconoce la dirección que ha tomado el submarino. ¿Existe alguna trayectoria del barco que garantice que en algún momento se encontrará sobre la vertical del submarino?

Hala, a pensar, que nunca viene mal. Que se os dé bien.

La conjetura de Steinberg es…¡falsa!

Dom, 06/26/2016 - 14:25

La teoría de grafos es una de las ramas de las matemáticas que más movimiento está teniendo en los últimos años, en lo que se refiere a investigación y a aplicaciones a problemas “reales”.

Dentro de la teoría de grafos, los problemas relacionados con coloración de grafos tienen gran interés dentro de los especialistas de esta rama.

Y dentro de los problemas de coloración de grafos, la conjetura de Steinberg ha sido uno de los problemas abiertos que más han interesado a los estudiosos en la materia.

Bien, pues (parece ser que) tenemos resultado para este problema: la conjetura de Steinberg es falsa. En lo que sigue, vamos a dar una idea sobre qué es eso de la coloración de grafos y hablaremos de esta interesante conjetura.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado en otra ocasiones sobre grafos, no está mal recordar algo sobre ellos. Un grafo es un conjunto V (distinto del vacío) de puntos, llamados vértices, y un conjunto de líneas A, llamadas aristas, cada una de las cuales une dos de sus vértices. Si dos vértices están unidos con al menos una arista, se dice que dichos vértices están conectados.

Un grafo plano es un grafo que puede dibujarse en un plano con la condición de que dos aristas cualesquiera no se cortan en ningún punto que no sea un vértice. En la siguiente imagen podéis ver un grafo plano y uno que no lo es (de hecho es el famoso grafo de Kuratowski K_{3,3}):

plano-noplano

Un ciclo en un grafo es una sucesión de vértices v_1, \ldots ,v_n, v_1 en la que cada vértice de la lista está conectado con el siguiente y donde no hay vértices repetidos (excepto el primero y el último). Vamos, lo que todos esperaríamos que fuera un ciclo. La longitud de un ciclo es el número de vértices distintos (equivalentemente, el número de aristas) que contiene. Un ciclo de longitud n se suele denominar n-ciclo. Aquí tenéis dos ciclos, uno de longitud 3 (el verde) y otro de longitud 5 (el rojo):

ciclos

Una coloración de un grafo es una asignación de etiquetas (colores) a los vértices de dicho grafo de manera que dos vértices conectados tengan distinto color. Si el número de etiquetas es pequeño, suelen usarse colores para etiquetar los vértices. Si este número es grande, suelen usarse números enteros positivos: 1,2, \ldots , m. Si en la coloración se usan k colores, se dice que tenemos una k-coloración. Aquí tenéis como ejemplo una 3-coloración del grafo anterior:

3coloracion

The Three Color Problem

Ya tenemos todo lo necesario para introducir el tema principal de esta entrada. La cuestión central de toda esta historia es el coloreado de mapas. El resultado más conocido en relación con esto, como muchos ya sabréis, es el famosísimo teorema de los cuatro colores, demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976.

La primera noticia que se tiene sobre la coloración de mapas con tres colores es un paper de Arthur Cayley de 1879. Ese mismo año, Alfred Kempe también lo trata en su trabajo sobre el teorema de los cuatro colores (que, por cierto, contenía una demostración incorrecta de este resultado); y, más adelante, Percy Heawood también habla de él en sendos trabajos que datan de 1890 y 1898, respectivamente.

Pero es en 1958 cuando el Three Color Problem pasa a tener entidad de problema propio gracias a Herbert Grötzsch, siendo Oystein Ore en 1967 quien lo elevó a los altares. Recomiendo el paper The state of the Three Color Problem [Annals of Discrete Mathematics, 55, 21 1-248 (1993)], de Richard Steinberg, a quienes estén interesados en más datos relacionados con la historia de este problema.

El Three Color Problem pregunta, básicamente, lo siguiente:

¿Bajo qué condiciones pueden ser coloreadas las regiones de un mapa plano con tres colores de manera que no haya dos regiones con frontera común que tengan asignado el mismo color?

Como cada región de un mapa puede interpretarse como un vértice y la frontera común de dos regiones puede asociarse con una arista, un problema de coloreado de mapas puede interpretarse como un problema de coloreado de grafos.

Y por ahí va la cosa, por coloreado de grafos. En 1976, el propio Richard Steinberg establece la conjetura que actualmente lleva su nombre:

Conjetura de Steinberg:

Todo grafo plano que no contenga ni 4-ciclos ni 5-ciclos es 3-coloreable.

Es decir, si un grafo no tiene ciclos de longitud 4 ni ciclos de longitud 5, entonces pueden colorearse sus vértices con 3 colores de manera que no haya vértices conectados que compartan color.

Hasta hace poco, había habido acercamientos a dicha conjetura. Posiblemente, el más interesante surgió a partir de una sugerencia del gran Paul Erdős. Erdős sugirió buscar si existía una constante k que cumpliera que todo grafo sin ciclos de longitud 4,5, \ldots , k era 3-coloreable. Borodin, Glebov, Raspaud y Salavatipour, mejorando resultados anteriores, demostraron en Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are 3-colorable [J. Combin. Theory Ser. B 93 (2005), 303–331] que k \le 7.

Y más o menos en este punto es en el que estábamos…hasta hace bien poquito (en julio de 2006, se publicaba una supuesta demostración de la veracidad de la conjetura de Steinberg que no fue aceptada como correcta). En abril de este año 2016, Vincent Cohen-Addad, Michael Hebdige, Daniel Král, Zhentao Li y Esteban Salgado ha demostrado que la conjetura de Steinberg es falsa. En su trabajo Steinberg’s Conjecture is False, construyen un contraejemplo para dicha conjetura. Es decir, construyen un grafo plano que no contiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que no es 3-coloreable. Para ello, comienzan construyendo un grafo G_1 (arriba a la izquierda en la imagen) con ciertas propiedades; a partir de él construyen un segundo grafo G_2 (arriba a la derecha); y para finalizar construyen un grafo G (abajo) a partir de este último que cumple que no tiene ni 4-ciclos ni 5-ciclos y que además no es 3-coloreable:

En el paper que acabo de enlazar podéis ver la demostración de este hecho.

Bien, la conjetura de Steinberg es falsa, problema resuelto. Pero el Three Color Problem sigue abierto, todavía no sabemos si ese k cuya búsqueda sugirió Erdős es 7 ó 6. Estaremos atentos a futuras novedades.

Fuentes y enlaces relacionados:

Esta entrada participa en la Edición 7.5 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.