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Porque todo tiende a infinito...

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La demostración del presidente

Jue, 04/18/2013 - 03:30

¿Os imagináis a Mariano Rajoy presentando la demostración de un teorema? ¿O a Zapatero, Aznar o Felipe González? Yo tampoco. Al menos por estos lares no parece que los máximos mandatarios tengan “buenas relaciones” con las matemáticas. Pero no es así en todos sitios. En Estados Unidos hay un caso que por conocido no deja de ser interesante. Nos referimos a James Garfield y su demostración del teorema de Pitagoras.

James Abram Garfield (1831-1881) fue el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Fue elegido presidente en marzo de 1881, pero en septiembre del mismo año falleció a causa de las heridas provocadas por unos disparos que había recibido un par de meses antes.

Garfield tenía una formación académica bastante completa, además de ser matemático aficionado. A tanto llegó su afición por las matemáticas que encontró una bella, a la par que sencilla, demostración del teorema de Pitagoras, que llegó a ser publicada en ell New England Journal of Education, y que vamos a comentar en lo que sigue.

Partimos de un triángulo rectángulo con catetos de longitud $a,b$ e hipotenusa de longitud $h$ , como el que puede verse en la figura siguiente:

Tomamos una copia de este triángulo y lo colocamos con el vértice que en la imagen aparece arriba coincidiendo con el vértice que en la imagen aparece abajo a la derecha de forma que los catetos inferiores de los dos triángulos queden alineados, como se ve a continuación

Es claro entonces que el ángulo que forman las hipotenusas de los dos triángulos es un ángulo recto. Unimos ahora los dos vértices “superiores” de los dos triángulos, obteniendo así un trapecio:

Ahora vamos a calcular el área de dicho trapecio de dos formas: directamente con la fórmula habitual y como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos en los que está dividido:

Con la fórmula habitual
El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura. En este caso las bases miden $a$ y $b$ , y la altura mide $a+b$ . Por tanto, el área $A$ del trapecio es:

$A=\cfrac{a+b}{2} \cdot (a+b)=\cfrac{(a+b)^2}{2}$
Como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos
El trapecio puede verse como la unión de tres triángulos rectángulos: el inicial dos veces y otro (el de fondo blanco), también rectángulo, cuyos catetos son ambos $h$ y cuya hipotenusa es el último segmento que habíamos añadido. El área $A$ del trapecio queda entonces así:

$A=\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{h \cdot h}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2}$

Ahora igualamos los dos resultados que hemos obtenido para el área y operamos:

$\begin{matrix} \cfrac{(a+b)^2}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2} \\ \\ (a+b)^2=2ab+h^2 \\ \\ a^2+2ab+b^2=2ab+h^2 \end{matrix}$

Y restando $2ab$ en ambos términos obtenemos lo buscado, el teorema de Pitagoras:

$a^2+b^2=h^2$

Como decíamos antes, sencilla y bella demostración de uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, que además pasa por ser, posiblemente, el teorema del que se conocen más demostraciones distintas (cerca de 400). En Cut-the-knot podéis ver 99 de ellas. La de Garfield está en el quinto lugar.

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Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos

Mar, 04/16/2013 - 03:00

En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa.

Los números perfectos son uno de esos tipos de números que poseen características sorprendentes. Para empezar, su propia definición los eleva a una categoría acorde con su propia denominación:

Un número entero positivo N es un número perfecto si la suma de todos sus divisores (excluyéndolo a él mismo) es igual al propio N.

Ejemplos de números perfectos son los siguientes:

$\begin{matrix}6=1+2+3 \\ 28=1+2+4+7+14 \\ 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 \end{matrix}$

que son los tres más pequeños.

Hay dos cuestiones interesantes sobre los números perfectos que actualmente siguen sin respuesta. Son las siguientes:

¿Existen infinitos números perfectos?
¿Existen números perfectos impares?

Sobre la segunda pregunta, solamente se conocen propiedades que deberían cumplir si en realidad existieran relacionadas con el número de factores que deberían tener o sobre la cantidad de dígitos de dichos factores (aquí se demostró un resultado relacionado con ellos).

Y sobre la primera, sabemos algo pero no demasiado. No sabemos si hay infinitos números perfectos, pero sí sabemos cómo son exactamente los números perfectos pares. Se sabe (gracias, a partes iguales, a Euclides y a Euler) que hay una relación biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne (que recordemos que son primos de la forma $2^p-1$ , con $p$ un número primo). Es decir, sabemos que cada número perfecto par corresponde con un primo de Mersenne, y viceversa de la siguiente forma:

Si $2^p-1$ es un número primo, entonces $2^{p-1} \cdot (2^p-1)$ es un número perfecto.

Por tanto a día de hoy se conocen 48 números perfectos (uno por cada primo de Mersenne que conocemos). Por ejemplo, los tres anteriores corresponden a los siguientes primos de Mersenne:

Para p=2 obtenemos el primo de Mersenne $2^2-1=3$ , y el número perfecto $2^{2-1} \cdot (2^2-1)=6$ .
Para p=3 obtenemos el primo de Mersenne $2^3-1=7$ , y el número perfecto $2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28$ .
Para p=5 obtenemos el primo de Mersenne $2^5-1=31$ , y el número perfecto $2^{5-1} \cdot (2^5-1)=496$ .

Como podemos ver, los números perfectos tienen una definición y unas propiedades ciertamente curiosas y, hasta cierto punto, sorprendentes (esta relación con los primos de Mersenne es, para mí, cautivadora por lo inesperado de la misma), pero no todo lo que está relacionado con ellos debe ser necesariamente “inexplicable”. Veamos un ejemplo.

Hace unos días se publicaba en Futility Closet el post Brothers in Binary, en el que aparecía esta tabla con la representación binaria de los primeros ocho números perfectos:

En ella se puede ver que la representación binaria de dichos números perfectos es muy especial, ya que en todos los casos aparecen una cierta cantidad de unos seguidos de otra cierta cantidad de ceros. Además, en todos los casos la cantidad de unos es un número primo y la cantidad de ceros es un número par. ¿Esto es siempre así? Y, en ese caso, ¿tiene algún tipo de explicación?

Pues sí, es así siempre que el número perfecto sea par. Y sí, tiene explicación. Y, como ya habréis adivinado, tiene que ver con la correspondencia de los números perfectos pares con los primos de Mersenne.

Tomemos un número perfecto par cualquiera, $K$ . Por la correspondencia con los primos de Mersenne, debe existir un número primo $p$ tal que $2^p-1$ es un número primo y además $K=2^{p-1} \cdot (2^p-1)$ . Por otro lado, se puede demostrar fácilmente por inducción que si $n$ es un número entero positivo, entonces

$2^n-1=1+2+ \ldots +2^{n-1}$

por lo que tenemos que

$K=2^{p-1} \cdot (1+2+\ldots +2^{p-1})$

Realizando la multiplicación obtenemos la expresión de $K$ como suma de potencias de 2:

$K=2^{p-1}+2^p+ \ldots 2^{2p-2}$

¿Qué nos dice esta representación? Pues un par de cosas:

La primera es que las potencias de 2 menores que $2^{p-1}$ no aparecen en ella, por lo que en la representación binaria darán ceros. ¿Cuántos habrá? Pues exactamente $p-1$ , que es un número par de ceros.
Y la segunda es que hay $p$ potencias de 2 consecutivas que aparecen en esa expresión, que por tanto corresponderán con $p$ unos consecutivos en la representación binaria.

¿Qué significa todo esto? Pues que a partir de la correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne no es para nada sorprendente que la representación binaria de los números perfectos pares tenga siempre la estructura siguiente

$K=\underbrace{ 1 \ldots 1 }_{p} \underbrace{ 0 \ldots 0}_{p-1}$

sino más bien que es evidente que debe ser así.

Una consecuencia de todo esto es que, aunque no nos vale a encontrar números perfectos pares, esta propiedad nos podría servir para descartar que un número entero sea un número perfecto par: calculamos su representación binaria y si no es un número primo de unos seguidos de un número par de ceros entonces ya sabemos que el número en cuestión no es un número perfecto par. Cierto es que no es de mucha ayuda, pero algo es algo, ¿no?

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Google dedica su doodle de hoy a Leonhard Euler

Lun, 04/15/2013 - 09:00

Google dedica hoy uno de sus famosos doodles a la figura de Leonhard Euler, justo 306 años después de su nacimiento.

Leonhard Euler es uno de los matemáticos más importantes de la historia y el más prolífico. Sus aportaciones se repartir por todas y cada una de las ramas de las matemáticas, además de por otras ciencias. En el doodle podemos ver algunas de las aportaciones de Euler a las matemáticas, como la fórmula de Euler para poliedros convexos, la identidad de Euler o el problema de los puentes de Konigsberg.

Otro doodle matemático más para añadir a todos estos de los que os hablé hace tiempo. Esperemos que sigan ampliando esta colección.

Supongo que ya lo habíais visto, pero por si acaso no es así he querido avisaros con este pequeño post.

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Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 2: Constante

Lun, 04/15/2013 - 03:00

Segundo problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Ahí va el enunciado:

Determina todos los números enteros positivos $n$ para los cuales

$S_n=x^n+y^n+z^n$

es constante, cualesquiera que sea $x,y,z$ reales tales que $xyz=1$ y $x+y+z=0$ .

A por él.

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WolframAlpha y algunas curvas muy “especiales”

Jue, 04/11/2013 - 03:30

A estas alturas creo que quedará muy poca gente que no conozca Wolfram|Alpha, el especialísimo buscador del imperio Wolfram. En él podemos encontrar de todo: desde completísimas descripciones de todo lo que podáis imaginar hasta resultados de las operaciones más complejas que se os ocurran. Vamos, que además de mostrar datos de lo más variopinto sobre muchos temas podemos realizar operaciones simples, cálculos complejos, representaciones gráficas en dos y tres dimensiones…

…y en esta entrada vamos a centrarnos en las primeras, en las de dos dimensiones. Y concretamente en representaciones gráficas de curvas. Y más concretamente en ciertas curvas muy “especiales”.

Porque otra cosa no, pero curvas “especiales” hay muchísimas en Wolfram|Alpha. ¿Quién no recuerda la ecuación del logo de Batman que se hizo famosa en internet hace un año y algo? Pues se puede encontrar en Wolfram|Alpha con la búsqueda batman insignia:

En la imagen podemos ver que lo que nos ofrecen es la descripción de la región acotada por dicha curva.

Pero no es el único superhéroe que tiene su logo en Wolfram|Alpha. También podemos encontrar el de Superman con la búsqueda superman insignia:

y también, como no podía ser de otra forma, la de Bizarro, el “antiSuperman”, con bizarro insignia:

También tenemos logos de marcas, como el de Apple, que podemos encontrar con la búsqueda Apple symbol-like equation:

y que también tenemos con la silueta de la cara de Steve Jobs. Y no es el único gigante de internet cuyo logo está en Wolfram|Alpha. El pájaro de Twitter también aparece bajo la búsqueda Twitter symbol-like equation:

Otros logos que podemos encontrar en Wolfram|Alpha son de marcas de coches, como el de Mercedes, con Mercedes-Benz symbol-like equation:

O de empresas de comida rápida, como el de McDonalds, con McDonald’s symbol-like equation:

Y hasta el logo de Playboy tiene representación en esta galería de Wolfram|Alpha en la búsqueda Playboy symbol-like equation:

Podéis ver más realizando la búsqueda logo laminae.

Y aún hay más. Tenemos huevos de pascua de cuatro tipos, first Easter Egg, second Easter Egg, third Easter Egg y fourth Easter Egg:

y figuras varias como un árbol de navidad, en Christmas tree with curly branches; un conejito, en bunny equation; o una cara sonriente, en smiley face curve:

que, por cierto, está algo mejor que las caritas que se convertían en señor con bigote que os enseñé en este post.

Tenéis más en curvilinear lamina.

Pero no acaba aquí la cosa, ni mucho menos. Todas las figuras que hemos visto hasta ahora vienen caracterizadas, como comenté antes, mediante desigualdades que describen la región delimitada por una o varias curvas. Pero también tenemos muchas figuras curiosas en Wolfram|Alpha descritas directamente mediante las ecuaciones (paramétricas) de ciertas curvas. Y la mayoría de ellas no tienen desperdicio.

Tenemos 328 personajes ficticios cuya figura está descrita mediante ecuaciones paramétricas de curvas que podemos encontrar en fictional character curve. Podemos encontrar desde Bender hasta Bart Simpson, pasando por Mickey Mouse, el meme “Fuck Yeah”, Don Quijote y Sancho Panza, el doctor Zoidberg, el “Angry Bird” rojo, Voldemort, Terminator, R2D2, Lara Croft o Sheldon Cooper:

Todos personajes ficticios, pero algunos de ellos son personas reales, como Sheldon o Lara Croft. ¿Habrá personas reales “de verdad” en Wolfram|Alpha representadas por ecuaciones paramétricas de ciertas curvas? Pues sí, claro que las hay. Y de ellas nos hablaba nuestro Tito Eliatron en su post Matemáticas para dibujar caras. Tenemos una galería con 142 imágenes de personas reales entre las que podemos encontrar auténticas maravillas “paramétricas”, y también algunas sorpresas. Tenemos a Adele, a Kim Dotcom o a Arnold Schwarzenegger (jovencito y musculoso). También tenemos a Martin Luther King o Angela Merkel (que a mí se me parece a Joaquín Reyes sin gafas…). Y a personajes de internet como Mark Zuckerberg o el propio Stephen Wolfram. Pero quizás lo que más nos puede sorprender es que también están Rajoy y Zapatero (muy bien hecho, por cierto):

Casi nada.

También tenemos a gente de ciencia, como Albert Einstein (y II), Richard Feynman, Stphen Hawking, Peter Higgs o Donald Knuth.

Y para el final he dejado los nuestros, los matemáticos. Los que tienen el honor de aparecer en esta galería son Gauss (¡¡tremendas sus ecuaciones paramétricas!!), Leibniz, Newton, Bézier, Ramanujan, Kaczynski, Turing y von Neumann:

Una muy buena selección que esperamos amplíen pronto.

Como podéis ver Wolfram|Alpha es mucho más que un buscador y un programa para realizar operaciones matemáticas. En él podemos encontrar de todo, como todas estas figuras representadas con curvas. Y seguro que no son las únicas, posiblemente me he dejado algunas. Podéis avisar de ello en los comentarios.

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Lo que se puede hacer con GeoGebra (VIII): Más cubos en 3D

Mié, 04/10/2013 - 08:10

Hoy os quiero enseñar un par de applets de GeoGebra dentro de la serie Lo que se puede hacer con GeoGebra que llevo publicando desde hace un tiempo. Y en este caso la cosa sigue yendo sobre cubos en 3D realizados con GeoGebra 4, que todavía no tenía soporte para 3D, al igual que el applet que os enseñé en esta entrada.

Lo que no cambia es el protagonista, el creador de estos applets. Vuelve a ser Daniel Mentrard, cuyo perfil en GeoGebraTube es una auténtica maravilla.

El primero de ellos es el 3d iterate cube animation:

Y el segundo es 3d string cube:

Como os decía antes, auténticas maravillas, sin duda.

¿Conocéis otros applets de este estilo realizados por otras personas?

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Bayes y las pruebas de detección de enfermedades

Mar, 04/09/2013 - 03:00

El teorema de Bayes es uno de los teoremas más conocidos y más importantes relacionados con probabilidad. Es uno de esos resultados que por su sencillez y su utilidad deberían ser conocidos por todos. ¿Utilidad? Sí, utilidad. Y no me refiero solamente a utilidad dentro de las matemáticas, sino utilidad práctica en nuestra vida. Concretamente vamos a ver que el teorema de Bayes nos ayuda a ser un poco más optimistas en el caso de que cierta prueba diga que es casi seguro que padezcamos una enfermedad seria.

Pero vamos por partes. Creo que para comenzar lo más adecuado es enunciar dicho teorema. Ahí va:

Teorema de Bayes:

Supongamos que nuestro espacio de referencia $U$ puede expresarse como unión de una cierta cantidad de sucesos $\{A_1,A_2,\ldots,A_n \}$ que son disjuntos dos a dos (es decir, que ninguna pareja formada con esos conjuntos tiene elementos en común) y tal que la probabilidad de todos ellos es mayor que cero.

Supongamos que dado un suceso cualquiera $B$ conocemos la probabilidad de que suceda $B$ condicionado a que sucede cualquiera de los $A_i$ , que denotamos por $P(B|A_i)$ . Entonces podemos calcular la probabilidad de que suceda cada uno de los $A_i$ condicionado a que sucede $B$ , $P(A_i|B)$ , de la siguiente forma:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)}$

La probabilidad de suceso $B$ puede expresarse de la siguiente forma (teorema de la probabilidad total):

$P(B)=P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + \ldots + P(B|A_n) \cdot P(A_n)$

Como decía antes, un teorema muy conocido para cualquiera que haya estudiado unos mínimos de probabilidad que Thomas Bayes enunció a mediados del siglo XVIII.

Pero de todas formas puede ser un resultado poco conocido por mucha gente, y, por qué no decirlo, puede echar un poco para atrás su formulación tal cual la hemos planteado. En este momento os pido que no os vayáis, que no os marchéis sin continuar leyendo este post. Que no abandonéis la lectura de estas líneas hasta que no las hayáis terminado todas, porque si os vais no tendrá ningún sentido. Porque lo importante de este post no es lo que llevamos, sino lo que nos queda. Vamos a ver una aplicación de dicho resultado que además nos va a ayudar a ser optimistas ante una aparente mala noticia.

Estos $A_i$ que aparecen en el teorema son un conjunto de partes en las que podemos dividir nuestra situación inicial de forma que dos partes distintas no tienen elementos en común y todas las partes juntas recomponen dicha situación. En nuestro ejemplo de aplicación del teorema, el conjunto inicial van a ser los habitantes de un país y los $A_i$ van a ser dos: padecer una enfermedad, $E$ (de enfermo), y no padecerla, $S$ (de sano). Está claro que no tienen elementos comunes (no puede haber nadie que padezca y no padezca la enfermedad a la vez) y que si junto a todos los que padecen dicha enfermedad con los que no la padecen obtengo el conjunto de la población.

Supongamos que esta enfermedad es una de esas a las que todos tenemos miedo, de esas que hasta casi nos da miedo pronunciar: cáncer, SIDA, etc. Y supongamos que estamos participando en una campaña de concienciación sobre dicha enfermedad en la que se le va a realizar esta prueba a, digamos, 100000 personas.

Vamos a poner que la prueba es fiable al 95%. ¿Qué significa esto? Pues muy sencillo: que da positivo el 95% de las veces que se la hacemos a alguien enfermo y que da negativo el 95% de las veces que se la aplicamos a alguien sano. Y supongamos también que el porcentaje de personas que la padecen en realidad es el 1%. Es decir, una de cada cien personas tienen realmente dicha enfermedad.

Bueno, con todo esto nos hacemos la prueba…y el resultado es positivo. ¿Debemos venirnos abajo? ¿Debemos pensar que está todo perdido? ¿Cuál es realmente la probabilidad de que padezcamos realmente la enfermedad? La cosa parece muy clara, pero quizás no lo esté tanto.

Vamos a ponerle nombre a todo. Las probabilidades de “enfermo” y de “sano” son las siguientes:

$P(E)=\cfrac{1000}{100000}=0.01 \; ; \; P(S)=\cfrac{99000}{100000}=0.99$

ya que se sabe de antemano (esto suelen ser estimaciones, pero para el caso no es relevante) que el 1% de la población padece realmente la enfermedad.

Si llamamos $B$ al suceso “dar positivo en la prueba”, tenemos que la probabilidad de dar positivo sabiendo que se está enfermo es:

$P(B|E)=0.95$

y que la probabilidad de dar positivo estando sano es

$P(B|S)=0.05$

por la fiabilidad de la prueba que teníamos al principio. Por otro lado, la probabilidad de $B$ , por lo comentado al final de la formulación del teorema, se puede calcular así:

$P(B)=P(B|E) \cdot P(E) + P(B|S) \cdot P(S)=0.95 \cdot 0.01+0.05 \cdot 0.99=0.059$

Recordad que ya nos hemos hecho la prueba, y que el resultado de la misma ha sido positivo. Lo que queremos saber es qué probabilidad hay de que en realidad padezcamos dicha enfermedad a la vista de este resultado de la prueba. Es decir, queremos calcular la probabilidad de padecer la enfermedad condicionada a que el resultado de la prueba ha sido positivo, esto es, $P(E|B)$ . Y para ello utilizamos el teorema de Bayes:

$P(E|B)=\cfrac{P(B|E) \cdot P(E)}{P(B)}=\cfrac{0.95 \cdot 0.01}{0.059} \approx 0.16$

¡¡Un 16%!! Es decir, en un caso como el descrito hay solamente un 16% de posibilidades de padecer la enfermedad habiendo dado positivo en la prueba, porcentaje que choca tremendamente con la fiabilidad inicial de dicha prueba, que recordemos era del 95%.

¿Qué nos debe enseñar esto? Pues que siempre hay que ser cautelosos con los resultados, que no hay que perder la esperanza por algo así, ya que igual no estamos interpretando bien los números que hay detrás de estos estudios. Evidentemente habrá gente que, a la postre, en realidad tenga dicha enfermedad, pero será un pequeño porcentaje (16%) respecto al que en teoría parecía ser (95%). Así que tranquilidad, paciencia y optimismo. Y, eso sí, corriendo al médico a confirmar si padecemos la enfermedad o no, que una cosa no quita a la otra.

Y todo esto, repito, con una prueba cuya fiabilidad es del 95%. Imaginaos qué porcentaje nos saldría si la prueba tiene un 80% de fiabilidad, o un 60%, o menos (que las hay). Y que luego nos quieran vender “la máquina de la verdad” como algo de lo que nos podemos fiar…

Fuente:

El hombre anumérico, de John Allen Paulos.

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Olimpiada Matemática Española 2013 – Problema 1: Desigualdad

Lun, 04/08/2013 - 03:00

El pasado fin de semana se celebró en Bilbao la Olimpiada Matemática Española 2012 (OME), cuadragésimo novena edición de la misma. Y como es habitual vamos a proponer aquí los seis problemas a los que se enfrentaron los participantes. Muchísimas gracias a @juanripu y a @_cronos2 por enviármelos.

Ahí va el primero:

Sean $a,b$ y $n$ enteros positivos tales que $a > b$ y $ab-1=n^2$ . Prueba que

$a-b \geq \sqrt{4n-3}$

Indica justificadamente cuándo se alcanza la igualdad.

Que se os dé bien.

Sí, faltan todavía algunos problemas de la Olimpiada de Asturias y de la de Galicia, pero por importancia creo que es razonable dejarlos para más adelante. Cuando terminemos con los de la OME seguiremos con ellos.

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En Zientzia Cultura: El efecto Richardson, la clave del estudio moderno de los fractales

Sáb, 04/06/2013 - 04:00

Ayer viernes se publicó una colaboración mía en Cuaderno de Cultura Científica, el blog de la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco, a cuyos responsables agradezco que me hayan propuesto colaborar con ellos con este artículo. Os dejo los primeros párrafos y un enlace para que lo continuéis leyendo.

Aunque ha habido algunas discusiones acerca de su definición, podemos decir que un fractal es un objeto irregular que presenta autosimilitudes a ciertas escalas. Ejemplos típicos de fractal son, por ejemplo, el Romanescu (en la naturaleza) o el conocido como conjunto de Mandelbrot:

(Imagen del Romanescu. La del conjunto de Mandelbrot la he gererado yo con UltraFractal.)

Precisamente el propio Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) está considerado como el padre de la geometría fractal, rama de las matemáticas encargada del estudio de estos objetos. Y no es demasiado atrevido asegurar que la semilla a partir de la cual emergió este campo es el artículo de Mandelbrot How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension publicado en la revista em>Science en 1967. Lo que puede que no sepa todo el mundo es que la idea clave de este artículo proviene de un estudio anterior del matemático inglés Lewis Fry Richardson (1881-1953).

Sigue leyendo El efecto Richardson, la clave del estudio moderno de los fractales en Cuaderno de Cultura Científica.

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“pronouncemath”, aprende cómo se pronuncian los nombres de algunos de los más importantes matemáticos

Jue, 04/04/2013 - 07:30

¿Tienes dudas sobre si pronuncias bien el nombre de algún matemático famoso? ¿Acabas de conocer el nombre de un nuevo matemático pero no sabes pronunciarlo? Entonces quizás te venga bien estar pendiente de Pronunciation of Mathematicians’ Names (http://pronouncemath.blogspot.com.es/), blog en el que Andrew Marcinkiewicz nos pronuncia correctamente el nombre de unos cuantos matemáticos importantes y conocidos.

Aunque el blog es de muy reciente creación (mediados del pasado mes de marzo) ya cuenta con la pronunciación del nombre de unos cuantos matemáticos de renombre. Desde el primer post, en el que nos enseñó a pronunciar bien Józef Marcinkiewicz, matemático polaco (¿familia del autor?), han aparecido nombres como Hausdorff, Banach, Dirichlet o Ramanujan (estos dos últimos me han sorprendido un poco). El último que ha añadido, como puede verse en la imagen, es el del matemático Leonidas Alaoglu:

Así que ya sabéis, si queréis estar a la última en lo que a pronunciación de nombres de matemáticos se refiere no dudéis en echar un vistazo de vez en cuando a este prometedor blog.

Mientras escribía esta entrada he recordado que la mítica www.matemáticas.net tenía una especie de galería con archivos mp3 con la pronunciación del apellido de muchos matemáticos importantes. Podéis acceder a ella a través de este enlace, y, ya de paso, comparar las pronunciaciones que se proponen en ambos lugares para ver si coinciden. Espero vuestros comentarios al respecto.

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Una preciosa solución para el noveno desafío GyG

Jue, 04/04/2013 - 04:00

Por norma general, las soluciones que se han recibido para los nueve desafíos GaussianosyGuijarro (GyG) que se han planteado hasta ahora, ya sean correctas o falsas, se limitan a intentar resolver el problema planteado sin más. De vez en cuando aparece alguna solución interesante, y hasta brillante. Y en algunas, aunque pocas, ocasiones alguien manda una solución que, además de ser correcta, es digna de ser destacada por su originalidad y por el trabajo que conlleva.

Sin duda éste es el caso de la solución que os traigo hoy para el noveno desafío GyG. La envió Miguel Capitán, que además resultó ser el ganador de dicho desafío. Por todo lo que hemos comentado antes creo que merece ocupar un post ella sola.

Os dejo con el texto enviado por Miguel, en el que al principio se incluye el enunciado del noveno desafío GyG. Espero que lo disfrutéis.

Enunciado y solución del noveno desafío GyG

Magnífica, sin lugar a dudas. Miguel, muchas gracias por esta gran aportación a las soluciones de los desafíos GyG.

Por cierto, más de uno estará preguntándose si los desafíos GyG se han terminado ya. En principio no, aunque no sé cuándo volverán. Quiero que sea pronto (esta misma semana, o quizás la próxima), pero no os puedo asegurar nada. Estad atentos al blog, pronto lo veremos.

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Olimpiada Matemática de Galicia 2013 – Problema 5

Mar, 04/02/2013 - 03:00

Quinto problema de la Olimpiada Matemática de Galicia 2013. El enunciado es el siguiente:

Resuelve esta ecuación exponencial

$2^x \cdot 3^{5^{-x}} + \cfrac{3^{5^x}}{2^x} = 6$

Que se os dé bien.

Actualización (2-4-2013): Arreglado el error que había en el enunciado.

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Cambiando la regla y el compás por piezas de mecano para bisecar ¡y trisecar! ángulos

Lun, 04/01/2013 - 03:00

Hace unos meses hablábamos sobre cómo usar piezas de mecano para construir ciertos tipos de números. Hoy vamos a continuar trabajando con estas piezas para realizar interesantes y sorprendentes construcciones relacionadas con ángulos.

Lo primero que vamos a hacer es recordar lo que hicimos en la entrada anterior. En ella vimos una manera de construir los números racionales y las raíces cuadradas con estas piezas de mecano

y también vimos cómo construir un artilugio mediante el cual un cierto punto C (intersección de dos de las piezas) se mueve a lo largo de una línea recta

En esta entrada, como ya hemos comentado, los protagonistas van a ser los ángulos. La cosa va a ir sobre divisiones de ángulos en partes iguales, y concretamente sobre bisección y trisección de ángulos. Sí, sí, habéis leído bien, bisección y trisección. Sí, es verdad, es sencillo bisecar (dividir en dos partes iguales) un ángulo con regla y compás pero, en general, no se puede trisecar (dividir en tres partes iguales) un ángulo con esas herramientas. Pero nosotros vamos a usar piezas de mecano, que son muy muy potentes. Sigue leyendo y lo verás.

Bisección de un ángulo
Comenzamos con un ángulo cualquiera $\psi$ formado por dos piezas de mecano (el formado por las piezas marrones que aparecen en la siguiente imagen a izquierda y derecha). ¿Cómo podríamos realizar una bisección aproximada de este ángulo? Pues, por ejemplo, como aparece en la imagen, en la que se ha dividido el ángulo $\psi$ en suma de dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$ , aproximadamente iguales

Sí, cierto, no son ni aproximadamente iguales, pero no nos importa. Nos da igual por ahora lo parecidos que sean estos ángulos, con tener una manera de dividir un ángulo en suma de otros dos (a la que podemos llamar falso bisector) es suficiente.

Y ahora viene la clave. Una forma de construir un bisector exacto es usar varios falsos bisectores. Colocamos un falso bisector del ángulo $\psi$ , que lo dividirá en $\alpha + \beta$ . Después a partir de $\beta$ colocamos un nuevo falso bisector simétrico al anterior, creando entonces una nueva copia del ángulo $\alpha$ . Y a partir de este último añadimos un nuevo falso bisector, apareciendo ahora una copia nueva de $\beta$ . Todo ello aparece en la siguiente imagen:

Fijémonos en el ángulo total que obtenemos. Sería

$\alpha + \beta + \alpha + \beta=\psi + \psi =2 \psi = \varphi$

Vamos, que lo que hemos hecho es realizar la bisección del ángulo $\varphi$ .
Trisección de un ángulo
¿Y qué ocurre con la trisección? Sí, se puede realizar la trisección de un ángulo con piezas de mecano, y seguro que más de uno habrá adivinado ya cómo hacerlo. Si hemos dicho que para la bisección unimos varios bisectores falsos, para la trisección actuaremos de la misma forma utilizando más bisectores de este tipo. Concretamente tendremos que realizar el proceso anterior una vez más para obtener otra copia de $\alpha + \beta$ , con lo que obtendremos una trisección exacta del ángulo $\psi+\psi+\psi=\gamma$

consiguiendo así una construcción que, en general, es imposible de realizar con regla y compás. Y además, por el mismo argumento, podemos dividir un ángulo cualquiera en un número entero cualquiera de partes repitiendo el proceso.

Enorme el potencial de estas construcciones con piezas de mecano, nunca dejarán de sorprenderme. Pronto tendremos una nueva entrega sobre ellas.

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(Vídeo) Los azulejos que desaparecen y vuelven a aparecer

Sáb, 03/30/2013 - 04:00

Muchos son los trucos que se han visto por ahí en los que ciertos objetos aparecen o desaparecen, o desaparecen y más adelante aparecen en otro lugar. Pero el que os voy a enseñar hoy atenta contra la Geometría y, por qué no, contra toda lógica.

El autor del mismo es el mago Norberto Jansenson, y os aseguro que os tendrá pegados a la pantalla los casi cuatro minutos que dura intentando encontrar el truco:

Por cierto, la cuestión parece que no tiene nada que ver con los dos cortes que hay en el vídeo. Aquí lo tienes con una tableta de chocolate en forma de animación para que te convenzas de ello:

Sigue leyendo si quieres pistas sobre cuál puede ser el truco.

Parece que la cosa tiene cierta relación con el famoso juego creado por Martin Gardner en el que al dividir un triángulo en cuatro piezas y colocarlas de otra forma “parece” que un trozo de triángulo ha desparecido

(Imagen tomada de aquí)

y del que habló Tito Eliatron en su charla en Amazings Bilbao 2012 (que podéis ver aquí).

Bueno, y para terminar os dejo esta entrada de nuestra amiga Marta Macho en el que nos explica muy bien el porqué de este magnífico truco. Un artista el tal Norberto Jansenson

Nuestros amigos los Microsiervos también publicaron el vídeo hace unos días.

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Por suerte la vida no es transitiva

Mar, 03/26/2013 - 04:00

En un curso de Álgebra en el que se traten conjuntos y relaciones definidas en conjuntos, uno de los temas a estudiar son las relaciones de equivalencia. Una de las propiedades que debe cumplir una relación para ser “de equivalencia” es la propiedad transitiva, que viene a decir lo siguiente:

Dado un conjunto $A$ y una relación $R$ en $A$ , se tiene que $R$ es transitiva si para toda terna $a, b, c$ de elementos de $A$ se cumple que si $a$ está relacionado con $b$ y $b$ está relacionado con $c$ , entonces $a$ está relacionado con $c$ .

Se ha entendido, ¿verdad? Un par de ejemplos:

Si un número es menor que otro y este otro es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Si un objeto es igual que otro y ese segundo objeto es igual a otro más, entonces el primero de ellos es igual que el tercero

Ahora sí, ¿no? Bien, pues lo habitual es que los alumnos entiendan con cierta facilidad lo que significa esta propiedad, y además la vean “lógica”. Es algo así como que de pronto le ponen nombre a algo con lo que han estado en contacto siempre, como si por fin saben cómo se llama eso que han tenido tan cerca desde que su mente acierta a recordar…

…¿Seguro? Es curioso cómo habitualmente ven tan razonable y coherente esta propiedad por su relación con su propia vida cuando en realidad, generalmente, la vida no es transitiva. Y menos mal que no es así, ya que si nuestra vida fuera transitiva todo sería mucho más aburrido.

Pensadlo un momento antes de seguir leyendo. ¿Vuestra vida es transitiva? ¿Lo que os rodea cumple la propiedad descrita un poco más arriba?

(Imagen tomada de aquí)

Pues supongo que, como la mía y la de cualquier otra persona, la respuesta a esas dos preguntas es un rotundo NO. Y ejemplos de ello los hay a montones:

Si sois amigos de alguien y ese alguien es amigo de otra persona, ¿entonces sois amigos de esa tercera persona? Evidentemente no. De hecho podéis ser íntimo amigo de alguien, ese alguien ser íntimo de otra persona y resultar que os lleváis a matar con ese tercero.

Y si las relaciones de amistad no son, en general, transitivas tampoco lo son las de pareja. ¿O acaso si a vosotros os gusta alguien y a ese alguien le gusta otra persona eso significa que a vosotros también os debe gustar esa tercera persona? No, ¿verdad?

Si el equipo A le gana al equipo B, y el equipo B le gana al equipo C, ¿entonces el equipo A le ganará siempre al equipo C? Pues no, claro que no. De hecho este mismo año en la Liga Española de Fútbol hay muchos casos que no cumplen esta regla de transitividad. Por ejemplo, el Deportivo de la Coruña ganó 2-0 a Osasuna en la jornada 1 y el Osasuna ganó 4-0 al Levante en la jornada 6. Si se cumpliera la transitiva en este caso, el Deportivo debía ganar al Levante, pero en realidad no fue así: el Deportivo perdío 0-2 con el Levante en la jornada 12.

Y en general el deporte no es transitivo, ni mucho menos. Tenis, fútbol, baloncesto, atletismo, etc. Si Nadal gana a Federer y Federer a Djokovic, ¿Nadal gana a Djokovic? Claramente no.

¿Y qué ocurre si hay que elegir quién comienza algo? Se puede hacer por el típico “pares o nones”…o por el no menos habitual “piedra, papel o tijera”, que es un juego no transitivo. La tijera le gana al papel y el papel le gana a la piedra, pero la tijera no le gana a la piedra, sino todo lo contrario.

Supongamos que desde vuestra casa podéis llegar a casa de un amigo en línea recta, y que desde casa de vuestro amigo se puede llegar en línea recta a la cafetería donde soléis tomar café. ¿Significa eso que desde vuestra casa de puede llegar en línea recta a la cafetería? Pues no, no tiene por qué ser así

Hasta se pueden conseguir juegos de dados no transitivos, que consisten en tres grupos de dados que cumplen que los primeros ganan a los segundos y los segundos a los terceros, pero los primeros no ganan a los terceros. En Esos curiosos dados hablé sobre el tema.

Y como estos podemos encontrar muchísimos más ejemplos. Os sugiero que nos dejéis en los comentarios los que se os ocurran.

¿Qué nos muestran todos estos ejemplos? Pues después de analizarlos lo que yo veo es que la vida sería mucho más aburrida si fuera transitiva, todo sería mucho más simple y nos perderíamos muchas relaciones entre personas y colectivos de personas. Los juegos perderían interés, y la chispa de conocer a gente nueva no sería igual. Como reza el título de esta entrada, por suerte la vida no es transitiva.

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(Vídeo) Una manera muy sexy de celebrar el día de Pi

Lun, 03/25/2013 - 07:00

El pasado día 14 de marzo fue, como muchos sabéis, el día de Pi (por la notación estadounidense de las fechas, 14-3). El mundo en general, e internet en particular, se llena de detalles conmemorativos de la fecha en los que el número Pi es el auténtico protagonista.

Se puede celebrar el día de Pi con un texto, una imagen o un vídeo, mediante un artículo (como hice yo aquí con el algoritmo de Chudnovsky) o una simple nota recordatoria. Y hasta podemos encontrar celebraciones “culinarias” que aprovechan que “pastel” en inglés, Pie, se pronuncia igual que Pi. Pero posiblemente encontremos muy pocas que sean tan sexys como la de Kayla Collins

Kayla Collins, exnovia del futbolista del Chelsea Ashley Cole, protagoniza este vídeo que celebra el día de Pi con una “clase magistral” muy particular

Debía hacer calor en la sala donde se grabó el vídeo…

Sí, tenéis razón, el vídeo no aporta demasiado en lo que a contenido matemático se refiere. La cuestión es que me ha resultado realmente curioso que alguien del perfil de Kayla Collins aparezca de esta forma en vídeo donde el número Pi es el auténtico protagonista. Seguro que más de uno se habría enganchado mucho más a las matemáticas si hubiera tenido una profesora como Kayla Collins…

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Olimpiada Matemática de Asturias 2013 – Problema 4

Lun, 03/25/2013 - 03:00

Cuarto problema de la Olimpiada Matemática de Asturias 2013. El enunciado de éste es el siguiente:

Calcula la suma de los inversos de los dos mil trece primeros términos de la sucesión de término general:

$a_n = 1 - \cfrac{1}{4n^2}$

Que se os dé bien.

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Número 4 de Matgazine, revista matemática creada por estudiantes de la UCM

Jue, 03/21/2013 - 08:30

Me escribe Moisés Herradón para informarme de la salida del número 4 de la revista Matgazine, que es el quinto número de esta publicación (sí, el quinto, antes de él salieron el número 0, el número 1, el número 2 y el número 3).

Aquí tenéis la portada y la contraportada

y aquí la información sobre los contenidos de este número directamente del propio Moisés Herradón, director de la revista:

Te cuento un poco lo que tenemos en este número:

Nuestras habituales noticias y novedades.

Una entrevista a David Ellwood, el director de investigación del Instituto Clay en el momento de hacerle la entrevista, este verano.

El primer artículo se titula El problema de “doblar y un solo corte”, por Eva Elduque Laburta, y habla sobre un teorema que dice que cualquier dibujo hecho con líneas rectas en un papel puede obtenerse recortando el papel de alguna forma y después pegando un tijeretazo recto al papel doblado. En concreto, nos muestra un método por el que podremos doblar y recortar casi cualquier dibujo que queramos.

El segundo artículo es Paseos Aleatorios, por Iván Geffner. En él nos explican las probabilidades de volver al punto de origen si se emprende un camino aleatorio por una recta, un plano, el espacio tridimensional y un poco más en cualquier dimensión.

Esta vez en la biblioteca tenemos tres reseñas: la primera, de Matemáticas. Una Breve Introducción, de Tim Gowers; La Medida de Lebesgue, de J C Burkill y dos artículos de Barry Mazur.

Nuevos problemas para que penséis y enviéis soluciones.

Y dos curiosidades. En la primera de ellas, Jorge Guijarro nos demuestra que los cosenos de ángulos racionales casi nunca son irracionales (es decir, sólo lo son cuando tomamos ángulos de 0, 60º ó 90º).
En la segunda curiosidad, Luis Vera nos habla de la música y las matemáticas en Grecia, y de la profunda relación entre ambas.

Y con los pasatiempos cerramos este número, ¡esperamos que los lectores quedéis con ganas para el siguiente!

El precio de la revista es de 1 €. Para adquirirla puedes acercarte a alguna de las universidades donde se vende, si tienes alguna cerca, o pedirla a título individual. En ese caso deberás contactar con ellos vía mail, en matgazine (arroba) gmail (punto) com, y encargarte de abonar los gastos de envío, que según Moisés rondan el euro. Echadle un vistazo a la sección Suscripción de la página web de Matgazine para más información.

Si todavía no sabéis qué es Matgazine, os comento que es una revista realizada en principio por estudiantes de la UCM a la que se han adherido (por ahora) estudiantes de las universidades de Zaragoza, Salamanca, Autónoma de Madrid, Valencia, Alicante y Politècnica de Catalunya. Y siguen interesados en que otras universidades se unan al proyecto. Podéis entrar en su web, matgazine.tk, y también echar un ojo a este post de Gaussianos donde presenté la revista.

Enhorabuena chicos, espero que continuéis con este proyecto mucho tiempo, y que sigáis creciendo como hasta ahora. En Gaussianos os seguiremos apoyando.

Esta entrada es mi cuarta participación en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, que organiza High Ability Dimension.

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Pierre Deligne, premio Abel 2013

Mié, 03/20/2013 - 10:00

El matemático belga Pierre Deligne, a los 69 años de edad, ha sido galardonado con el premio Abel 2013 por la Norgewian Academy of Science and Letters por sus “contribuciones seminales a la geometría algebraica y por su impacto transformador en la teoría de números, la teoría de representaciones y otros campos relacionados”. Deligne, profesor emérito de Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, suma este prestigioso premio a la medalla Fields que consiguió en 1978, al premio Crafoord conseguido en 1988, al premio Balzan, que recibió en 2002, y al premio Wolf, en 2008. El 21 de mayo Deligne recibirá el premio de manos del rey Harald de Noruega.

La contribución matemática más relevante de Pierre Deligne es la resolución de una de las cuatro conjeturas de Weil, que demostró en 1973 y que tiene relación con la hipótesis de Riemann.

Para consultar éste y otros temas en los que ha trabajado Pierre Deligne podéis echar un vistazo al artículo que Tim Gowers ha escrito (como en otras ocasiones) sobre ello: The work of Pierre Deligne (pdf).

Fuentes y enlaces relacionados:

The Abel Prize Laureate 2013.

Pierre Deligne, Premio Abel 2013 en el blog de Francis.

Premio Abel 2013: Pierre Deligne en Series Divergentes.

Esta es mi tercera aportación a la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, que organiza High Ability Dimension.

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El tamaño (de la muestra) importa, pero quizás no de la manera que pensamos

Mar, 03/19/2013 - 03:00

Recuerdo que cuando era pequeño en las estadísticas que aparecían en televisión solía aparecer en una esquina de la pantalla el margen de error del estudio realizado y el número de personas que participaron en el mismo, como se puede ver en esta imagen

(Imagen tomada de aquí)

A mí siempre me parecía poca gente en comparación con el margen de error que nos indicaban. ¿Solamente con 400 personas obtenemos un margen de error del 5%?

Y en realidad parece poco, pero eso no significa que no sea suficiente. La pregunta es: ¿estaba yo en lo cierto? ¿Es poco, y por tanto nos estaban engañando, o en realidad basta con esa cantidad de individuos para asegurarnos ese margen de error?

En esencia, lo que querríamos tener es una manera de calcular el número necesario de personas que necesitamos para que los resultados de nuestro estudio tengan un error máximo fijado desde el principio (sí, en estos casos se fija el error máximo admisible al principio del estudio). Supongamos que partimos de una población inicial de la cual conocemos el número de individuos que la componen (podría ser la población de una cierta zona de España) y queremos estimar qué proporción de individuos de entre todos los de dicha población cumple cierta característica (por ejemplo, qué proporción de habitantes de dicha zona tiene un smartphone). Esta estimación se suele realizar calculando un intervalo de confianza, que es un intervalo en el cual se confía que estará el valor de la proporción de individuos que estamos buscando.

¿Qué significa eso de que se confía? Pues que no se puede asegurar con total seguridad que la proporción buscada pertenezca al intervalo, sino que se tiene una cierta confianza en que sea así. ¿Cuánta confianza? Pues la que se fije de antemano. El valor que mide esta confianza se denomina nivel de confianza y se suele denotar como $1-\alpha$ , aunque se suele dar en tanto por cierto, $(1-\alpha)$ % (a $\alpha$ se le denomina nivel de significación). Por ejemplo, para un nivel de confianza del 95% (valor que se usa muy frecuentemente) todo esto significa que al calcular un intervalo de confianza para la proporción que queremos estimar confiamos al 95% en que el valor de dicha proporción pertenecerá al intervalo.

Recapitulando vemos que para calcular el tamaño de muestra en este tipo de estudios tenemos que conocer el tamaño de la población y fijar de antemano el nivel de confianza y el error máximo que admitimos. Llamando $N$ al tamaño de la población, el tamaño de muestra, $n$ , que necesitamos con un nivel de confianza $1-\alpha$ y un error $e$ se puede calcular con la siguiente fórmula:

$n=\cfrac{N \cdot z^2_{\frac{\alpha}{2}} \cdot p \cdot (1-p)}{e^2 \cdot (N-1) + z^2_{\frac{\alpha}{2}} \cdot p \cdot (1-p)}$

siendo $z^2_{\frac{\alpha}{2}}$ un valor de la distribución normal que se obtiene de una tabla y $p$ la proporción de individuos de la población que poseen la característica que se está estudiando. Como ese dato es desconocido, se suele usar $p=0.5$ valor que maximiza el producto $p(1-p)$ .

Lo que parece claro es que cuanto mayor sea el tamaño de la población mayor tendrá que ser el tamaño de la muestra. La cuestión que nos ocupa es saber de qué forma crece el tamaño de muestra en función del tamaño de la población si tenemos fijado de antemano el nivel de confianza y el margen de error. Vamos a realizar algunos cálculos para intentar hacernos una idea del asunto. Fijamos un nivel de confianza del 95% (con el cual $\alpha=0.05$ y, por tanto, se sabe que $z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.05}=1.96$ ) y un error del 5% (con lo que $e=0.05$ ):

Para una población de 100 personas, tenemos que el tamaño de muestra necesario en este caso será:
$n=\cfrac{100 \cdot (1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.0025 \cdot 99+(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 79.5$

Es decir, con 100 personas deberíamos tomar una muestra de 80 individuos, casi la población entera.

Veamos qué ocurre con 1000 personas:
$n=\cfrac{1000 \cdot (1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.0025 \cdot 999+(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 277.7$

Evidentemente el valor aumenta, 278 en esta ocasión, pero ya no está tan cerca del tamaño total de la población como ocurría antes.

Para 10000 personas:
$n=\cfrac{10000 \cdot (1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.0025 \cdot 9999+(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 369.99$

Sigue aumentando, pero como podéis ver ya aumenta mucho más despacio. Hemos aumentado bastante el tamaño de la población, de 1000 a 10000, pero el tamaño de muestra no llega a aumentar ni en 100 individuos.

Y veamos qué ocurre para 100000:
$n=\cfrac{100000 \cdot (1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.0025 \cdot 99999+(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5} \approx 382.7$

Aquí se ve mucho mejor. Pasando de una población de 10000 individuos a una de 100000 la muestra aumenta en 13 individuos.

De todo esto se deduce que para poblaciones pequeñas el tamaño de la muestra que debemos tomar es bastante grande en comparación con dicha población (en ocasiones casi la población completa), pero para poblaciones de gran tamaño (todos los habitantes de España, por ejemplo) basta con una muestra no demasiado grande para obtener unos resultados estadísticamente fiables. O sea, que eso de que necesitamos muchos individuos en una muestra para que los resultados sean buenos no es del todo cierto.

¿Cuál sería en nuestro caso el tamaño máximo de una muestra? Pues el que corresponda a una población con una gran cantidad de elementos. Podemos obtenerlo tomando la expresión del tamaño de muestra como una función cuya variable es $N$ y calcular el límite de esa función cuando $N$ tiende a infinito:

$\displaystyle{\lim_{N \to \infty} \cfrac{N \cdot (1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{0.0025 \cdot (N-1)+(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}=384.16 \ldots}$

Es decir, que para poblaciones muy muy grandes necesitaremos tomar una muestra de 385 personas para obtener buenos resultados para el nivel de confianza y el error fijados de antemano (95% y 5% respectivamente). Os dejo también la gráfica de esta función (eje X: tamaño de la población; eje Y: tamaño de la muestra) hasta $N=10^9$ :

Como se puede intuir a partir de la misma, la función tiene una asíntota horizontal a la altura del valor del límite calculado antes.

Una última, pero muy importante, cuestión. Imaginemos que tenemos una población de 10000 personas, por lo que deberíamos tomar una muestra de 370 individuos. ¿Nos vale cualquier muestra que tenga con ese número de personas? Rotundamente no. Para que el proceso funcione la muestra debe ser representativa de la población, y si no es así todo esto no sirve de nada. Para ello, la muestra debe elegirse de manera aleatoria. De otra forma no tendremos asegurado que sea representativa de la población, por lo que el estudio no valdrá para nada.

A ver si toma nota más de uno cuando saca conclusiones de toda una población a partir de los resultados de ciertas encuestas en las que la muestra que genera dichos resultados no está elegida de manera aleatoria y, por tanto, es cualquier cosa menos representativa de dicha población.

Fuentes:

La certeza absoluta y otras ficciones, libro de Pere Grima.

Tamaño de la muestra en la Wikipedia en español.

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