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Actualizado: hace 9 horas 10 mins

Cubitos blancos y negros

Mar, 02/11/2014 - 03:00

Vamos con el problema de la semana. Ahí va:

Un cubo de n \times n \times n está construído con cubitos de 1 \times 1 \times 1, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de n \times 1 \times 1, de 1 \times n \times 1 y de 1 \times 1 \times n hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración se muestra una posible rebanada del cubo [laatex]6 \times 6 \times 6[/latex] (formada por 6 subprismas de 1 \times 6 \times 1):

Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de n \times 1 \times 1, 1 \times n \times 1 y 1 \times 1 \times n haya exactamente un cubito negro.

Que se os dé bien.

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Gaussianos participa en los Premios 20Blogs 2013

Mar, 02/04/2014 - 07:00

Bueno, pues como suele ocurrir en estas fechas llegan los Premios 20Blogs, organizados por el diario 20Minutos. Y, cómo no, Gaussianos participa en ellos en la categoría Ciencia, Tecnología e Internet.

Las votaciones ya han comenzando (lo hicieron el pasado viernes 31 de enero), y concluirán el 3 de marzo de 2014. Si queréis dar vuestro voto a Gaussianos debéis estar registrados en 20Minutos (si no lo estáis el proceso de registro es sencillo y no os llevará más de unos minutos) y acceder a la ficha de Gaussianos en La Blogoteca y votar

En la pasada edición Gaussianos llegó a ser finalista en su categoría. A ver si este año conseguimos, al menos, volver a llegar a ello. Muchísimas gracias de antemano.

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Ni divisor ni múltiplo

Mar, 02/04/2014 - 04:15

Os dejo hoy martes el problema de esta semana. Ahí va:

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que se pueden tomar del conjunto de números enteros

\lbrace 1,2, \ldots ,2012,2013 \rbrace

de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos a,b,c, tales que a sea divisor o múltiplo de b-c?

A por él.

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Paralelogramo obtuso

Mié, 01/29/2014 - 04:30

Hoy miércoles os dejo el problema de esta semana:

Sea ABCD un paralelogramo con ángulo obtuso en A. Sea P un punto sobre el segmento BD de manera que la circunferencia con centro en P y que pasa por A corte a la recta AD en A y en Y, y corte a la recta AB en A y en X. La recta AP interseca a BC en Q y a CD en R, respectivamente. Muestra que

\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY

A por él.

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Demostrando “directamente” la no numerabilidad de los números trascendentes

Mar, 01/28/2014 - 13:30

Que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto no numerable es un hecho bastante conocido, y hasta diría que sencillo de demostrar. De hecho, en este mismo blog ya hemos publicado alguna demostración del mismo, aunque dicha prueba es, por decirlo de alguna manera, “indirecta” (en realidad se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable, por lo que el de los trascendentes no puede serlo). Hoy vamos a ver una prueba “directa” de la no numerabilidad de los trascendentes.

Pero comencemos por el principio. Aunque podría apostar a que la mayoría de los lectores de este blog saben qué es un número algebraico y un número trascendente, creo que no está de más recordarlo. A saber:

- Un número real \alpha es un número algebraico si existe algún polinomio de grado finito cuyos coeficientes sean todos números enteros

p(n)=a_nx^n+ \ldots+ a_1x+a_0

que tenga a \alpha como raíz (es decir, tal que p(\alpha)=0).

- Un número real \beta es un número trascendente si no es algebraico (es decir, si no existe ningún polinomio con las características descritas antes que lo tenga como raíz).

Todo número real puede clasificarse como algebraico (si existe tal polinomio) o trascendente (si no existe dicho polinomio). Por tanto, el conjunto \mathbb{R} de los números reales puede expresarse como la unión del conjunto \mathbb{A} de los números algebraicos y el conjunto \mathbb{T}=\mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes.

La demostración habitual de la no numerabilidad de los números trascendentes parte del conocido hecho de que los números reales forma un conjunto no numerable. Teniendo en cuenta esto, se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable y de ahí se deduce que el de los trascendentes (el resto de número reales) no puede serlo, con lo que la demostración está terminada.

Pero, como decíamos al principio, esto no es una demostración “directa”, no demostramos directamente que los trascendentes son no numerables, sino que los algebraicos sí lo son, y nuestro objetivo se obtiene como consecuencia de esto.

Pero el caso es que dicha prueba “directa” existe, y hoy la vamos a ver aquí. Comencemos definiendo la siguiente función del intervalo [0, + \infty) en los números trascendentes

[0,+ \infty) \longrightarrow \mathbb{R} \backslash \mathbb{A}

de la siguiente forma:

f(x) =     \begin{cases}        \pi+x              & \mbox{, si } \pi+x \not\in \mathbb{A}   \\        \pi-x              & \mbox{, si } \pi+x \in \mathbb{A}     \end{cases}

Veamos para comenzar que nuestra función f(x) está bien definida (es decir, que para todo valor de x obtenemos un número trascendente). Si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x no es algebraico entonces no hay problema, ya que el valor de la función es el propio \pi+x, que como hemos dicho antes no es algebraico (y por tanto es trascendente). Ahora, si x es un número mayor o igual que cero tal que \pi+x sí que es algebraico, entonces \pi-x debe ser obligatoriamente trascendente. ¿Por qué? Muy sencillo. Si \pi-x también fuera algebraico en este caso, y usando que

  • Si sumamos dos algebraicos obtenemos un algebraico.
  • Si dividimos un algebraico entre un número entero obtenemos un algebraico.

tendríamos que

\pi=\cfrac{(\pi+x)+(\pi-x)}{2}

sería algebraico, pero ya sabemos que en realidad \pi es un número trascendente. Por tanto, si \pi+x es algebraico entonces \pi-x no lo es, y en consecuencia la función f(x) está bien definida.

Nos falta el toque final, pero para ello necesitamos comentar algo antes. El intervalo [0,+ \infty) es un conjunto no numerable, por lo que si encontramos otro conjunto que contenga como subconjunto algo tan grande como dicho intervalo entonces ese otro conjunto también será no numerable. Pues eso mismo es lo que vamos a hacer: demostrar que dentro del conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes hay un conjunto tan grande como el intervalo [0,+ \infty). Y eso lo vamos a ver comprobando que nuestra función f(x) es inyectiva, pero antes de nada vamos a definir dicha propiedad de ciertas funciones:

Una función A \longrightarrow B es inyectiva si dados x,y \in A, el hecho de que f(x)=f(y) implica que x=y.

En otras palabras, si x \ne y, entonces f(x) \ne f(y). Es decir, el conjunto B tiene un elemento por cada uno de los elementos de A, por lo que, dicho informalmente, B tiene al menos tantos elementos como tiene A.

Veamos que nuestra función es inyectiva:

Sean x,y \in [0,+ \infty) y supongamos que f(x)=f(y). Hay tres casos:

  1. Tanto \pi+x como \pi+y son algebraicos

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi-y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi-y. De aquí, restando \pi a ambos lados y multiplicando después la expresión completa por -1 llegamos a donde queríamos, x=y.

  2. Tanto \pi+x como \pi+y son trascendentes

    Entonces f(x)=\pi+x y f(y)=\pi+y, por lo que de f(x)=f(y) tenemos que \pi+x=\pi+y. De aquí, restando \pi a ambos lados llegamos también a que x=y.

  3. Uno de ellos, por ejemplo \pi+x, es algebraico y el otro, \pi+y, es trascendente

    Entonces f(x)=\pi-x y f(y)=\pi+y. De f(x)=f(y) tenemos que \pi-x=\pi+y, y restando \pi a ambos lados obtenemos que -x=y. Pero tanto x como y son mayores o iguales que cero, por lo que la única posibilidad real de que esto ocurra es que ambos sean cero, por lo que también llegamos a que x=y.

Es decir, sean cuales sean x,y \in [0,+ \infty) se tiene que partiendo de f(x)=f(y) obtenemos que x=y. Por tanto f(x) es inyectiva, y esto en nuestro caso significa que el conjunto \mathbb{R} \backslash \mathbb{A} de los números trascendentes contiene un conjunto no numerable, por lo que él mismo es también no numerable.

Espero que la demostración que os traigo hoy os haya parecido interesante, y también espero que si conocéis alguna otra demostración que siga esta línea la compartáis con nosotros en los comentarios.

Fuente: la página de Facebook de The American Mathematical Monthly. Yo lo vi en la página de Facebook de Matgazine.

Esta entrada es la primera aportación de Gaussianos a la edición 4.12310562561 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro amigo Cuentos Cuánticos.

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(Lo que yo considero) Lo mejor de 2013 en Gaussianos

Vie, 01/03/2014 - 04:30

Algo más tarde de lo habitual (ya hemos entrado en 2014) os traigo una pequeña recopilación de los artículos que, humildemente, pienso que han sido los mejores de Gaussianos en cada uno de los meses del ya terminado año 2013. Espero que este recién estrenado 2014 sea, tanto para vosotros como para mí y para el propio blog, un gran año lleno de alegrías y éxitos de todo tipo.

Enero

En Castle no saben la diferencia entre logaritmo y algoritmo
Original manera de cortar una tarta circular en cuatro trozos de igual tamaño
La escala de Richter y un error habitual
El problema de las tres casas y los tres suministros y la banda de Möbius

Febrero

¿Qué poliedro regular es más “esférico”?
Maria Gaetana Agnesi, algo más que su (mal llamada) bruja
Una curiosa propiedad del 123
Nombres matemáticos para empresas

Marzo

¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?
Una interesante manera de obtener buenas estimaciones de los resultados de una encuesta
El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXI
El tamaño (de la muestra) importa, pero quizás no de la manera que pensamos

Abril

Cambiando la regla y el compás por piezas de mecano para bisecar ¡y trisecar! ángulos
Bayes y las pruebas de detección de enfermedades
Grace Murray Hopper, mucho más que la mamá del COBOL
¿Existe algún resultado tipo el teorema de los cuatro colores en tres dimensiones?

Mayo

Demostración sin palabras sobre la suma de una serie numérica
El problema de De Beaune, uno de los primeros que resolvió el Cálculo
¿Se puede construir un mapa perfecto de la Tierra?
La razón matemática de la no existencia de un mapa perfecto de la Tierra

Junio

¿Cuántas razones trigonométricas “existen”?
¿Cómo encontrar el número e en el triángulo de Pascal
Pappus, Hales y Kelvin, Weaire y Phelan, o cómo rellenar el plano y el espacio de la manera más eficiente
Títulos épicos de trabajos matemáticos

Julio

¿Quién dijo que la trisección del ángulo era imposible?
¿Cuál es la manera más efectiva de construir un triángulo equilátero en la práctica?
Nicolaas de Bruijn, del “BEST theorem” al confirmador de teorías matemáticas
Una mejora de Ramanujan para la fórmula de Stirling

Agosto

Cuando hables de salarios utiliza la mediana
Jaime García Serrano vuelve a atribuirse un récord que nunca consiguió
Harald Bohr: fútbol y matemáticas unidos en un gran danés
Las 10 principales razones por las que e es mejor que Pi

Septiembre

GeoGebra para iPad, tablets Android y Windows 8 ya disponible
Las matemáticas y los Ig Nobel
Recordando el verano con #matesplayeras
El teorema de Turan: el comienzo de la teoría de grafos extrema

Octubre

Cosas raras provocadas por el infinito
Matemáticos que han recibido un Premio Nobel
La historia del método de Newton-Raphson y otro caso más de mala documentación en el cine
Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach

Noviembre

ForoGauss: Gaussianos estrena foro
Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa
¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?
Hay que decirlo más: correlación no implica causalidad

Diciembre

Milner y Zuckerberg, o el premio de matemáticas más caro del mundo
¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?
¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?
Lotería de Navidad: probabilidad no es igual a porcentaje

Como siempre os digo, si pensáis que alguna entrada de 2013 que no aparece en esta recopilación merece ser destacada no dudéis en hacerlo en un comentario.

Muchas gracias por continuar ahí, al otro lado de la pantalla.

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