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Actualizado: hace 14 horas 57 mins

La conjetura de la “escalada hasta un primo”

Lun, 01/15/2018 - 05:30

Toda conjetura relacionada con números primos tiene, de una forma u otra, gran interés y, por qué no decirlo, cierta belleza. Y la que os presento hoy, la conjetura de “escalada hasta un primo” (en inglés, “climb to a prime”), es otro ejemplo más de ello.

La conjetura de escalada hasta un primo trata, como su propio nombre indica, de, partiendo de un número, ir “escalando” a través de otros números hasta llegar a un número primo. Aunque no he conseguido encontrar el año en el que la planteó, fue propuesta por John Horton Conway, matemático británico del cual ya hemos hablando por aquí en algunas ocasiones, por ejemplo en Look-and-say y la constante de Conway, La circunferencia de Conway, El porqué de la “universalidad cuadrática” del 15 y del 290 y en La Regla del Fin de los Días.

John Horton Conway

John Horton Conway. Fuente.

La conjetura es sencilla de plantear, pero primero vamos a ver qué es eso de escalar hasta un primo. Tomamos un número cualquiera y lo descomponemos en factores primos (colocados en orden ascendente). Si el número era primo, ya hemos acabado; si no era primo, construimos el número formado por los factores primos y los exponentes de los mismos colocados tal cual salen en la factorización. Con el número obtenido hacemos lo mismo que antes. La escalada finaliza cuando obtengamos un número primo.

Como esto puede parecer un poco lioso, veamos un ejemplo. tomemos el número 30. Como 30=2 \cdot 3 \cdot 5, si llamamos f a la función que convierte a un número en el número que resulta al colocar factores primos y exponentes, tenemos que f(30)=235. Este número no es primo, por lo que tenemos que hacer con él lo mismo que hicimos con el 30: 235=5 \cdot 47 y, por tanto, f(235)=547. Como 547 es primo, aquí termina la escalada hasta un primo del número 30.

Veamos un nuevo ejemplo, esta vez con el 333:

  • 333=3^2 \cdot 37 \longrightarrow f(333)=3237
  • 3237=3 \cdot 13 \cdot 83 \longrightarrow f(3237)=31383
  • 31383=3^2 \cdot 11 \cdot 317 \longrightarrow f(31383)=3211317
  • 3211317=3^2 \cdot 17 \cdot 139 \cdot 151 \longrightarrow f(3211317)=3217139151
  • 3217139151=3 \cdot 97 \cdot 2297 \cdot 4813 \longrightarrow f(3217139151)=39722974813

Como 39722974813 es primo, ya hemos terminado la escalada del 333.

Está claro, ¿verdad? Bien, pues la conjetura de Conway sobre “escalada hasta un primo” dice que todo número natural mayor o igual que 2 termina su escalada en un número primo. Como los números primos no tienen que “escalar” (ya han llegado a un número primo, ellos mismos), para dar respuesta a esta conjetura debemos conseguir una de estas dos cosas:

  1. Demostrar que todo número compuesto “escala” hasta un número primo con el proceso mencionado antes.
  2. Encontrar un contraejemplo, que sería un número compuesto que no consiga “escalar” hasta un número primo con el método propuesto.

¿Qué pensáis? El propio Conway decía que parecía que él era el único que creía que era cierta, aunque daba un número pequeño para el cual todavía no se había verificado: el 20. Podéis probar vosotros mismos con otros números, pero no os aconsejo el 20, ya que para él el proceso se alarga más de 100 pasos…¡¡y parece ser que todavía no se sabe si culmina en un primo o no!!

Pero esto no nos vale como contraejemplo, ya que el hecho de no saber si el 20 “escala” hasta un primo no nos asegura nada. ¿Será cierta la conjetura o, por el contrario, existirá algún contraejemplo?

Bien, despejemos ya la incógnita: la conjetura es falsa. Hace pocos meses, James Davis encontró un contraejemplo de la misma: el número 13532385396179. ¿Por qué es un contraejemplo? Pues es muy sencillo de ver si atendemos a su factorización en primos:

13532385396179=13 \cdot 53^2 \cdot 3853 \cdot 96179

Es decir, f(13532385396179)=13532385396179. Como es un número compuesto y f lo convierte en sí mismo (es un punto fijo de f), tenemos ante nosotros un número que no consigue “escalar” hasta un número primo. Señor Conway, estaba usted equivocado, su conjetura sobre “escalada hasta un primo” no es cierta.

Como alguno habrá pensado ya, éste no es el único contraejemplo, ya que con él podemos construir otros. Tomemos el número 45214884853168941713016664887087462487 y descompongámoslo en factores primos. ¿Os atrevéis? Venga, os doy yo la factorización:

45214884853168941713016664887087462487=13 \cdot 5323^8 \cdot 5396179

Por tanto:

f(45214884853168941713016664887087462487)=13532385396179

que es el número anterior que hemos visto que f transforma en sí mismo. Tenemos entonces un nuevo contraejemplo, el número 45214884853168941713016664887087462487 tampoco es capaz de “escalar” hasta un primo.

Este número está construido a partir del anterior para “forzarlo” a que sea un contraejemplo. Existen otras maneras de construir contraejemplos a partir de alguno ya conocido, y sería magnífico que jugarais con ellos y nos mostrarais vuestros descubrimientos en los comentarios.

Por cierto, esta conjetura de la “escalada hasta un primo” de Conway forma parte de una lista de cinco problemas que el propio Conway propuso, ofreciendo una recompensa de 1000$ para quien consiguiera dar respuesta a alguna de ellas. James Davis ya se ha llevado los 1000$ correspondientes a ésta, pero (hasta donde yo sé) los otros cuatro problemas siguen sin respuesta. Si alguien está interesado en intentar alguno de ellos, aquí los tenéis:

Fuentes y más información:

Michaël Rao termina la búsqueda de polígonos convexos teseladores

Lun, 01/08/2018 - 05:30

Hace poco más de dos años os contaba el descubrimiento de un nuevo pentágono (convexo) que tesela el plano (que lo rellena completamente sin dejar huecos). Dicho pentágono era el siguiente:


Con él podemos crear teselaciones como ésta:

Con este ejemplar eran ya 15 los pentágonos convexos irregulares esencialmente distintos que son capaces de teselar el plano, pero no se sabía si había más. De hecho se sospechaba que la lista estaba incompleta, que quedaba algún pentágono teselador por descubrir.

Los 15 pentágonos convexos irregulares que teselan el plano.

Pues Michaël Rao demostró hace unos meses que la lista está completa, que los únicos pentágonos convexos irregulares que teselan el plano son los 15 que ya se conocían. Con su trabajo Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane, Rao cierra completamente la búsqueda de polígonos convexos teseladores.

Y decimos que la cierra porque con este trabajo ya se conocen todos los polígonos convexos, tanto regulares como irregulares, con los que podemos teselar el plano. Sabiendo (está demostrado) que ningún polígono convexo de 7 o más lados, ya sea regular o irregular, puede teselar el plano, la cosa queda así:

  • En lo relativo a polígonos convexos regulares, solamente el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden teselar el plano.
  • En lo que se refiere a polígonos convexos irregulares, tenemos lo siguiente:
    • Todo triángulo, sean como sean sus lados y sus ángulos, tesela el plano.
    • Todo polígono convexo de cuatro lados puede teselar el plano, independientemente de la medida de sus lados y de sus ángulos.
    • Hay 15 pentágonos convexos irregulares que teselan el plano, que son los 15 que aparecen en la imagen que aparece un poco más arriba.
    • Existen tres hexágonos irregulares que son capaces de teselar el plano. Podéis ver imágenes de los mismos haciendo click en el primer enlace que aparece en esta entrada.

Por tanto, un nuevo problema abierto que se cierra. Pero en lo que se refiere a teselaciones todavía no está todo dicho, todavía quedan cuestiones que no están resueltas. La que posiblemente es la más importante (los que trabajan en teselaciones la llaman el Santo Grial) es la búsqueda del einstein. Este einstein no tiene nada que ver con el bueno de Albert, sino con ein stein, que significa una piedra en alemán, y se trata (si existe) de un polígono que solamente tesela el plano de forma no periódica. Todavía no se ha encontrado un polígono (que, evidentemente, será no convexo) con esta característica, pero tampoco se ha demostrado que no exista. Si hay avances en este tema os los contaremos por aquí.

Más información en Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem, en Quanta Magazine.

Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 50

Jue, 01/04/2018 - 03:30

No podía comenzar mejor el año para las matemáticas en general y para los números primos en particular. Ayer, día 3 de enero de 2018, el grupo GIMPS anunciaba el descubrimiento (y la confirmación) del primo de Mersenne número 50 (podéis leer aquí la nota de prensa). Este primo de Mersenne tiene nada más y nada menos que 23249425 dígitos, y se convierte en el mayor número primo conocido hasta la fecha, superando al anterior, también un primo de Mersenne (el número 49) en casi un millón de dígitos.

Este primo de Mersenne, el número 50 que se encuentra y que se designará como M_{77232917}, es el siguiente:

Este monstruo tiene más de 23 millones de dígitos. Siempre que aparecen números tan exageradamente grandes digo lo mismo, y hoy no va a ser menos. Es prácticamente imposible que nos podamos hacer una idea de las enormes dimensiones de este M_{77232917}, y voy a dejar dos datos para que lo veáis:

  • Imaginad que tenéis un millón de euros. Mucho dinero, ¿verdad? Bien, pues el número 1000000 tiene 7 dígitos…
  • Imaginad que escribís tremendamente rápido, digamos 3 dígitos por segundo. Buena velocidad, ¿verdad? Bien, pues con esa frecuencia de escritura, y sin parar en ningún momento, tardaríais casi 90 días en escribirlo entero…

Por cierto, si alguien quiere verlo podéis decargarlo aquí (es un txt comprimido en zip).

Aquí tenéis la lista completa de los primos de Mersenne. Es interesante destacar que, a día de hoy, se ha confirmado esa lista hasta el primo de Mersenne número 45. Esto significa que hasta ese número ya se sabe que no hay más primos de Mersenne entre los que se conocen. Para el resto, de 46 al 50, podría ocurrir que haya algún otro primo de Mersenne entre dos de ellos que todavía no se ha descubierto. Estaremos pendientes por si hay más novedades.

Os dejo enlaces de algunos artículos de Gaussianos relacionados con los primos de Mersenne:

Por cierto, me enteré de este nuevo descubrimiento gracias a este aviso por Twitter de @SamuelDalva. Muchas gracias compañero.

Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 50 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{77232917-1} \cdot (2^{77232917}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo (posiblemente miles de años), que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene más de 46 millones de dígitos

(Lo que yo considero) Lo mejor de 2017 en Gaussianos

Mar, 01/02/2018 - 05:30

Como he hecho en los últimos tiempos, esta primera semana de 2018 os traigo lo que creo que ha sido lo mejor de este blog en el pasado año 2017.

En el recién acabado 2017, la frecuencia de publicación de artículos en Gaussianos ha seguido, por desgracia, la tendencia a la baja de los últimos años. Las causas de esta bajanda son diversas, pero principalmente tienen que ver con la falta de tiempo por razones laborales y, en ocasiones, por cuestiones personales. Espero y deseo que en el año que acaba de comenzar todo esto se solucione y pueda recuperar un ritmo de publicación más cercano al que este blog tenía hace unos años, porque os aseguro que ganas no me faltan.

De todas formas, en 2017 también he publicado artículos que considero lo suficientemente interesantes como para ser destacados, pero antes voy a hacer un par de comentarios. Por un lado, recordar (aunque no creo que haga falta) que sigo escribiendo El Aleph, blog de divulgación matemática alojado en El País con el que llevo ya año y medio. Sobre ello, comentar que en los últimos días he ordenado todos los artículos escritos allí en una galería que podéis ver en la página de Gaussianos dedicada a “El Aleph”. Si tenéis alguna sugerencia a este respecto no tenéis más que dejarla en un comentario.

Y, por otro lado, quiero volver a recordar a algunas personas relacionadas con las matemáticas que han fallecido este año, y cuyos fallecimientos anunciamos aquí. Si el año 2016 el fallecimiento de Javier Cilleruelo nos llenaba de tristeza, este 2017 han sido los de Raymond Smullyan, Maryam Mirzakhani y Landon Clay, entre otros, los que se han llevado parte de nuestro corazón matemático. Siempre recordaremos todo lo que cada uno de ellos hizo por nuestra amada ciencia, cada uno a su modo.

Y ahora vamos con el listado de artículos que creo más interesantes de 2017:

En la sección Archivo tenéis todas las entradas publicadas desde los inicios del blog. Si sois seguidores de Gaussianos desde hace poco, os recomiendo que le echéis un vistazo, seguro que encontraréis artículos curiosos e interesantes.

Y también voy a aprovechar para pediros que si tenéis algún tema del que penséis que podemos hablar por aquí dejéis vuestras sugerencias en un comentario. Intentaré atender a vuestras peticiones en cuanto me sea posible.

Muchas gracias a todos por seguir formando parte de Gaussianos.

“Juego parece…”, nuevo artículo en “El Aleph”

Vie, 12/29/2017 - 05:30

El pasado miércoles 27 de diciembre de 2017 publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que hablo sobre juegos que parecen juegos pero que no son juegos.

Juego parece…

Estoy seguro de que en alguna ocasión te han propuesto jugar a algún juego sencillo y, después de unas cuantas partidas, e independientemente de la estrategia que hayas seguido, no has conseguido ganar ni una sola vez. Es posible entonces que ese juego tenga una estrategia ganadora para uno de los jugadores (ya sea el primero o el segundo) y la persona que te lo propuso conozca dicha estrategia y se haya colocado en la posición del jugador que acabará ganando si “juega bien”.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Luz verde para el rodaje de la historia de un matemático muy conocido

Jue, 12/28/2017 - 08:14

Después de meses de reuniones y negociaciones, por fin os puedo contar en exclusiva la que posiblemente sea la noticia más importante que he contado en este blog.

Animus Films, productora de El hombre que conocía el infinito (película que narra la vida de Srinivasa Ramanujan), arriesgará de nuevo rodando una película basada en la historia de un matemático muy conocido por estos lares: su infancia enamorado de las matemáticas, su brillante paso por la etapa secundaria, sus logros y dificultades en la universidad, la creación desde cero de un blog de éxito de divulgación matemática y su llegada a un medio de comunicación líder nacional.

Sí amigos, Gaussianos ha llegado a un acuerdo con Animus Films para rodar la película de la vida de un servidor. El título, como no podía ser de otra forma, será Porque todo tiende a infinito y, como comentaba, el film versará sobre la vida y obra de este humilde matemático desde su más tierna infancia hasta el momento actual. Por cierto, en la película me interpretaré a mí mismo, lo que claramente es un nuevo reto en mi vida. Espero estar a la altura.

Además, la película incluirá una parte de ficción (o no ficción, el tiempo lo dirá) en la que yo mismo acabo demostrando uno de los grandes enigmas matemáticos que, a día de hoy, siguen sin solución. Cuál será el resultado en cuestión todavía se está debatiendo, aunque se barajan la conjetura de Goldbach, la conjetura de Collatz o alguno de los problemas de la lista de Smale.

Evidentemente, es un honor para mí que una productora cinematográfica se haya fijado en mi historia para hacer una película sobre ella, y sobre todo viendo los antecedentes de la misma en lo que a películas de matemáticos se refiere. Y vosotros tenéis mucha culpa de ello, ya que sin vuestro apoyo nada de esto, ni de lejos, habría sido posible. Conforme vaya teniendo más detalles confirmados os iré informando de los mismos. ¡¡Gaussianos en el cine!!. Todavía no me lo creo…

“Si Dios tuviera un número, ¿cuál sería?”, nuevo artículo en “El Aleph” (y algunos más)

Jue, 12/21/2017 - 08:13

Ayer, miércoles 20 de diciembre de 2017, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que hablo sobre el número de Dios.

Si Dios tuviera un número, ¿cuál sería?

No sé yo si Ernő Rubik tenía siquiera una mínima idea de “la que se iba a montar” con su juguete, pero se montó, vaya si se montó. Si ahora miramos hacia atrás, podemos comprobar que el cubo de Rubik, el rompecabezas que este profesor húngaro inventó en 1974 para ayudar a sus estudiantes a comprender ciertos problemas en tres dimensiones, es el juguete más vendido de la historia.

Estoy convencido de que todos habéis tenido alguna vez en vuestra mano un cubo de Rubik, y también de que la mayoría le habéis dedicado al menos unos minutos a girar sus caras con la esperanza de conseguir que, en cada una de ellas, todos los cuadraditos tuvieran el mismo color.

Os dejo también los enlaces a los artículos publicados en El Aleph que no había anunciado por aquí:

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph (sí, sé que no está actualizada, intentaré actualizarla pronto), por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Lotería de Navidad 2017: mitos, probabilidad y comparación con otros sorteos

Mié, 12/20/2017 - 13:50

En un par de días, como todos los años, tendrá lugar en España el sorteo de la Lotería de Navidad. Y, como siempre, mucha gente estará pendiente del mismo con ilusión de ganar una buena cantidad de dinero después de haber depositado parte de sus esperanzas en el número (o los números) que tiene entre sus manos.

Puerta del Sol durante el sorteo de la Lotería de Navidad de 1910. Foto publicada por “Nuevo Mundo”. Fuente.

No pretende este artículo quitar la ilusión a nadie (de hecho yo mismo juego en la Lotería de Navidad y en otros sorteos), pero no está de más hablar un poquito de probabilidades y, por tanto, de las opciones que tenemos de que nos toque algún premio en este sorteo (o en otros) y, en concreto, de que obtengamos el ansiado Gordo de Navidad, el premio mayor de este sorteo especial que desde hace unos años reporta 400000€ a cada décimo del mismo (menos el 20% que va para Montoro y compañía).

Y como en Gaussianos ya hemos hablado mucho de todo esto, os voy a dejar una pequeña recopilación de los artículos dedicados a la Lotería de Navidad desde la creación de este blog. Ahí va.

  • Lotería de Navidad: ¿qué probabilidad hay de que te toque el gordo?

    Aquí hablábamos de la probabilidad de que nos toque el Gordo de Navidad si jugamos un único número. Obviando la parafernalia del propio sorteo (se saca una bola con un número y otra con el premio que le corresponde), calcular dicha probabilidad es tan sencillo como dividir 1 (jugamos sólo un número) entre 100000 (el número total de números que entran en el bombo:

    P(\mbox{Gordo})=\cfrac{1}{100000}

    En aquel artículo también hablábamos sobre la probabilidad de que nos toque cualquier premio en este sorteo y comentábamos algo sobre la esperanza matemática. Echadle un vistazo.

  • Lotería de Navidad 2011: el Gordo es más suculento pero más difícil

    En esta entrada anunciábamos dos cambios importantes en el sorteo:

    • El premio Gordo pasaba de 300000€ a 400000€.
    • La cantidad de números que entraban en el sorteo aumentaba de 85000 a 100000.

    De nuevo hablábamos sobre esperanza matemática y comentábamos un par de curiosidades sobre el sorteo desde sus inicios.

  • Relación entre la probabilidad de acertar el Gordo de Navidad y la de otras loterías españolas

    En este artículo comparábamos la probabilidad de que nos toque el Gordo de Navidad con la probabilidad de obtener el premio mayor en algunos otros sorteos y loterías que tenemos en España. En él, decidí incluir las gráficas a tamaño real para que se percibiera la magnitud real de la dificultad de obtener el premio mayor en cada sorteo y, también, para que se viera más claramente la diferencia que hay entre el sorteo de la Lotería de Navidad y otros sorteos como la Primitiva o el Euromillón.

    Para muestra, un botón. Aquí tenéis un gráfico en el que se ve la probabilidad de obtener el mayor premio en algunos sorteos (no, el gráfico no está mal, es que la probabilidad es pequeñísima):

  • Gordo de la Lotería de Navidad: algunos mitos y supersticiones desmontados con matemáticas (y un poco de sentido común)

    Creo que el título de esta entrada no necesita aclaraciones. Aquí hablamos sobre algunos mitos relacionados con la Lotería de Navidad (que algunas administraciones dan suerte, que algunos números son mejores que otros…) e intentamos desmontarlos con matemáticas y con algo de sentido común.

    Sé que para mucha gente esto no tendrá valor, que mucha gente seguirá diciendo algo así como:

    – Sí, vale, pero yo me voy a hacer cola a “Doña Manolita” porque allí toca siempre.

    pero oye, uno lo tiene que intentar…

  • Lotería de Navidad: probabilidad no es igual a porcentaje

    Y en esta entrada aclarábamos la diferencia entre probabilidad y porcentaje a raíz de una confusión en una noticia de la agencia EFE que, como casi siempre, muchos otros medios replicaron sin siquiera mirarla. Un pequeño vistazo y unos conocimientos muy básicos de estadística evitarían este tipo de errores.

Os recomiendo que leáis tanto los artículos como los comentarios que los lectores han ido dejando en los mismos. El interés y el valor de muchos de ellos hace que leerlos con detenimiento sea prácticamente una obligación.

Desafíos Matemáticos en El País – Desafío Extraordinario de Navidad 2017: Exitos, fracasos y el 10%

Jue, 12/14/2017 - 07:13

¡¡Tenemos nuevo desafío matemático RSME-El País!! Como viene ocurriendo desde 2012, la Real Sociedad Matemática Española y El País nos proponen un nuevo Desafío Matemático Extraordinario de Navidad. En esta ocasión lo hace Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

Aquí tenéis el vídeo en el que Adolfo nos propone el desafío:

Os lo dejo también en texto:

De vez en cuando, no sólo en Navidad, juego a la lotería. Hace un tiempo calculé que me había tocado algún premio (incluidos reintegros) en el 10,5% de los sorteos en los que había participado. Últimamente me da la sensación de que he tenido menos suerte. Acabo de hacer la cuenta y, en efecto, me encuentro con que ahora mi tasa de éxito desde que empecé a jugar ha bajado al 9,375%. Pero como no lo he calculado cada vez que jugaba, y no apunto las fechas, no sé si necesariamente tengo que haber pasado por la situación de haber ganado un premio exactamente el 10% de las veces que hubiese jugado hasta entonces, o si puedo haber esquivado ese 10%.

El desafío es ayudarme y, o bien encontrar una sucesión de éxitos y fracasos en la que haya podido pasar del 10,5% al 9,375% sin haber estado nunca en el 10%, o bien demostrarme que eso no es posible, y que necesariamente debo haber caído por el camino en el 10%. Como tampoco me acuerdo de en cuántos sorteos he participado, podéis hacerlo con números tan grandes o pequeños como queráis.

¡Ojo! no se trata de encontrar una situación en la que sí haya caído en el 10%, sino de decidir si puedo evitarlo.

También os dejo en enlace al desafío en El País: El desafío matemático de la Lotería de Navidad 2017.

Podéis enviar vuestras propuestas de solución hasta las 00:00 de la madrugada del domingo 17 al lunes 18 de diciembre, y lo tenéis que hacer enviándolas por mail a problemamatematicas@gmail.com.

Y en relación con los comentarios en esta entrada, al igual que hice en los anteriores desafíos RSME-El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas, que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.

Números en progresión geométrica

Mar, 11/14/2017 - 12:00

Buenas de nuevo a todos. Hoy martes os traigo un nuevo problema para que nos entretengamos un rato. Ahí va:

Demostrar que si se cumple que

(xy+yz+zx)^3=xyz \, (x+y+z)^3

entonces los tres números x,y,z están en progresión geométrica.

Que se os dé bien.

Un problema sobre matrices y determinantes

Vie, 10/20/2017 - 15:01

Vuelve el problema semanal al blog. En este caso, la cosa va de matrices y determinantes. Ahí va:

Sea A una matriz con 3 filas y 4 columnas:

A=\begin{pmatrix} | & | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_3 & C_4 \\ | & | & | & | \end{pmatrix}

Supongamos que los determinantes de las matrices formadas por las tres primeras columnas y por las tres últimas columnas son cero. Es decir:

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_3 \\ | & | & | \end{vmatrix}=0

y

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_2 & C_3 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}=0

Demuestra que tanto

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_2 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}

como

\begin{vmatrix} | & | & | \\ C_1 & C_3 & C_4 \\ | & | & | \end{vmatrix}

también valen cero, o da un ejemplo de matrix 3×4 en lo que esto no ocurra.

Que se os dé bien.